雙無(wú)限環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的極限定理

萬(wàn)成高，趙琦

（湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062）

0 引言

20世紀(jì)80年代初，Cogburn R等人開始研究隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的一般理論，取得了一系列深刻的結(jié)果［1-3].Orey S［4]在Cogburn R等人的研究基礎(chǔ)上對(duì)隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈進(jìn)行了深入的研究，并提出了一系列的問(wèn)題，引起了眾多概率論學(xué)者的廣泛關(guān)注，使得隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈一般理論的研究成為國(guó)際上又一新的研究方向.國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)這一領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究［5-8].大家知道，隨機(jī)變量加權(quán)和的強(qiáng)收斂性的研究一直是經(jīng)典極限理論研究中的熱門課題，取得的結(jié)果已十分深入.這種研究不僅僅是受到大數(shù)定律研究的推動(dòng)，而且在考慮線性模型最小二乘估計(jì)的相容性時(shí)就要討論隨機(jī)變量加權(quán)和的強(qiáng)收斂性，因此這種研究無(wú)疑是非常重要的.對(duì)隨機(jī)環(huán)境情形，馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和強(qiáng)收斂性的研究結(jié)果并不多見.筆者研究了雙無(wú)限環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)極限定理，得到了雙無(wú)限環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和強(qiáng)收斂性成立的一系列充分條件.本文中約定：C總表示正常數(shù)，且在不同的地方可以表示不同的值.集合A的示性函數(shù)記為ⅠA.

除特別說(shuō)明外，本文中沿用文獻(xiàn)[1-4]中的符號(hào)和術(shù)語(yǔ).設(shè)(Ω,?,P)是一概率空間，(X,A)和(Θ,?)均為任意的可測(cè)空間，ξ?={ξn,n=…,-1,0,1,…}和X?={Xn,n≥0}分別是(Ω,?,P)上取值于Θ和X的隨機(jī)序列，{P(θ):θ∈Θ}是 (X,A)上的一族轉(zhuǎn)移函數(shù)，且假設(shè)對(duì)任意的A∈A,P(·;·,A)是 ?×A 可測(cè)的.設(shè)記定義Ξ→Ξ上推移算子T:(Tθ?)n=θn+1.記Pn(C)=P((Xn,Tnξ?)∈C)，其中C∈A×??.

如果對(duì)任意A∈A,n≥0有

則稱X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ?中的馬氏鏈，稱ξ?為雙無(wú)限環(huán)境序列.若ξ?是一馬氏序列，則稱X?為馬氏環(huán)境ξ?中的馬氏鏈.

設(shè){Xn,n≥0}是隨機(jī)變量序列，X為一非負(fù)隨機(jī)變量，C＞0為常數(shù)，若對(duì)任意的x＞0,n≥0，都有則稱{Xn,n≥0}為概率一致有界于X，并記為{Xn}＜X.

1 引理和主要結(jié)論

引理 1[7]設(shè)X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ? 中的馬氏鏈，則 {(Xn,Tnξ?):n≥0}是一步轉(zhuǎn)移概率為Q(x,θ?,A×B)=P(θ0;x,A)ⅠB(Tθ?)的馬氏雙鏈.

引理2設(shè)X為隨機(jī)變量，且對(duì)任意的x＞0，都有P(|X|＞x)≤CP(V＞x)，其中V為非負(fù)隨機(jī)變量，C＞0為常數(shù)，則對(duì)任意的x＞0,q＞0，有

引理3[7]設(shè)X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ?中馬氏鏈，{gn:n≥0}是(X,A)上的有界可測(cè)函數(shù)列.對(duì)任意的k≥1，記

其中m=0,1,…,k-1，則{Yn,σn:n≥0}是鞅差序列.

下面我們研究雙隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的強(qiáng)收斂性.

定理1設(shè)X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ?中馬氏鏈，{an,n≥0}和{bn,n≥0}是任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)列，cn=bn/an,bn↑∞,{fn:n≥0}是(X,A)上的可測(cè)函數(shù)列，若有：

則對(duì)任意的k≥1，有

及

這里我們約定：對(duì)任意的k≥1,X-k≡0.

推論1設(shè)X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ?中馬氏鏈，{an,n≥0}和{bn,n≥0}是任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)列，cn=bn/an,bn↑∞,{fn:n≥0}是 (X,A)上的可測(cè)函數(shù)列且 {fn(Xn)}＜V.對(duì)任意的x＞0,定義N(x)=Card{n:cn≤x},若V滿足：

（a）EN(V)＜∞;

則對(duì)任意的k≥1，有（2）式，（3）式成立.

推論2設(shè)X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ?中馬氏鏈，{an,n≥0}和{bn,n≥0}是任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)列，cn=bn/an,bn↑∞,{fn:n≥0}是 (X,A)上的可測(cè)函數(shù)列且 {fn(Xn)}＜V.對(duì)任意的x＞0,定義N(x)=Card{n:cn≤x},若V滿足：

（a）EN(V)＜∞;

則對(duì)任意的k≥1，有（2）式，（3）式成立.

推論3設(shè)X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ?中馬氏鏈，{an,n≥0}和{bn,n≥0}是任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)列，cn=bn/an,bn↑∞,{fn:n≥0}是 (X,A)上的可測(cè)函數(shù)列且 {fn(Xn)}＜V.對(duì)任意的x＞0,定義N(x)=Card{n:cn≤x},若V滿足：

（a）EN(V)＜∞;

則對(duì)任意的k≥1，有（2）式，（3）式成立.

定理2在定理1或推論1或推論2或推論3的條件下，若

則對(duì)任意的N≥1，有

其中

定理3在定理2的條件下，若

則

2 主要結(jié)論的證明

引理2的證明 由積分等式

有

定理1的證明 先考慮k=1的情況.對(duì)任意的m≥0，記

由條件（i）及Borel-Cantelli引理知Z′m僅有限項(xiàng)成立 a.s..因此

由條件（ii）知

故

對(duì)任意的δ≥0，令則τ為0時(shí)，并且有

從而

由單調(diào)收斂定理知

所以

即

由δ的任意性及（8）式得

因此

綜合（6～7）及（10）式知（2）式對(duì)k=1的情形成立，又由Kronecker引理知（3）式對(duì)k=1的情形也成立.

下面再考慮k＞1的情形.對(duì)任意的n=1,2,3,…,k-1,對(duì){Xmk+n:m≥0}完全類似于k=1的證明有

從而

亦即（2）式對(duì)k＞1成立，又由Kronecker引理知（3）式對(duì)k＞1也成立.

推論1的證明只須驗(yàn)證定理1的（i）、（ii）、（iii）成立即可.由于

由（a）知（i）成立.

因?yàn)?/p>

由（a）、（b）知（ii）成立.

由引理2有

以及

上面最后一個(gè)不等式成立基于下列事實(shí)：

由（13～14）式及（a），（c）知（iii）成立，推論1證畢.

推論2的證明 沿用推論1的證明方法，由（13）式，我們只需證

推論3的證明沿用推論1的證明方法，由（e）我們有

從而推論3成立.

定理2的證明由定理1可知對(duì)任意的N≥1和k=1,2,…,N，有

注意到

從而有

而

其中

于是有

類似于（10）式的證明有

從而

由（11）式，完全類似地可以證明

再由 Hο¨lder不等式

及

知

綜合（17）～（20）式，并利用條件，對(duì)所有k≥1,s≥1，就有

定理3的證明由于

由定理2，欲證（6）式成立，只需證

而

從而由（5）式知（21）式成立，繼而（6）式成立.

［1]Cogburn R.The ergodic theory ofMarkov chains in random environments［J].ZWahrsch Verw Gebiete，1993，66（2）：109-128.

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［5]王漢興，戴永隆.馬氏環(huán)境中馬氏鏈的Poisson極限律［J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1997，40（2）：265-270.

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［9]李應(yīng)求，王蘇明，胡楊利.馬氏環(huán)境中馬氏鏈的一類強(qiáng)極限定理［J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2008，27A（5）：539-550.

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