冪指函數(shù)導數(shù)的計算方法探討

李宏杰

摘 要：冪指函數(shù)具有特殊的結(jié)構(gòu)，既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，但與冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有一定的關(guān)系。對于冪指函數(shù)的求導問題，初學者往往會套用冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的求導公式，從而發(fā)生錯誤。我們知道，對函數(shù)大部分性態(tài)的研究，離不開其導數(shù)。因此，很有必要對冪指函數(shù)導數(shù)的計算方法進行探討。該文對冪指函數(shù)的結(jié)構(gòu)進行剖析，給出了四種求冪指函數(shù)導數(shù)的方法：指數(shù)求導法、對數(shù)求導法、“疊加”求導法和偏導數(shù)求導法，并揭示了冪指函數(shù)與冪函數(shù)及指數(shù)函數(shù)導數(shù)間的關(guān)系。最后，通過實例驗證了我們給出求導方法的有效性。

關(guān)鍵詞：冪指函數(shù) 導數(shù) 對數(shù)函數(shù) 偏導數(shù)

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）05（b）-0020-02

1 冪指函數(shù)相關(guān)的定義

定義1形如的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)。它是一類重要的基本初等函數(shù)，在定義域內(nèi)單調(diào)且無上界。

定義2形如（為常數(shù)）的函數(shù)稱為冪函數(shù)。冪函數(shù)也是一類非常重要的基本初等函數(shù)。

定義3形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)。

從形式上看，冪指函數(shù)既像冪函數(shù)，又像指數(shù)函數(shù)，二者特點兼而有之。當為常數(shù)，為變量時，冪指函數(shù)就退化為具有指數(shù)函數(shù)的形式；當為變量，為常數(shù)時，冪指函數(shù)就退化為具有冪函數(shù)的形式。從下文可以看出，這三個函數(shù)的導數(shù)之間有一定關(guān)系。

2 冪指函數(shù)的求導方法

2.1 指數(shù)求導法

利用對數(shù)恒等式先將冪指函數(shù)化為指數(shù)函數(shù)形式，然后利用復合函數(shù)求導法

求導，具體過程如下：

2.2 對數(shù)求導法

將兩邊取自然對數(shù)，我們有，然后使用隱函數(shù)求導法則，兩邊同時對求導，可得

從而有

2.3 “疊加”求導法

將冪指函數(shù)的求導問題轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的求導問題。首先，將冪指函數(shù)看作指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)求導公式進行求導，可得其導數(shù)為；其次，再把冪指函數(shù)看作冪函數(shù)，利用冪函數(shù)求導公式進行求導，可得；最后，把上面得到的兩個結(jié)果相加即可得到冪指函數(shù)的導數(shù)

。

上面的結(jié)果，可以利用導數(shù)的定義證明，其證明過程如下：

證明：由導數(shù)的定義，有

其中

從上面的式子可以看出，即為把冪指函數(shù)看做冪函數(shù)時求解的導數(shù)，下面證明為把冪指函數(shù)看作指數(shù)函數(shù)時求解的導數(shù)，令，則有

由于，因此

所以

命題得證。

2.4 偏導數(shù)求導法

將冪指函數(shù)看作由，，復合而成，利用二元函數(shù)求全導數(shù)的方法，可得

利用上面的四種方法，均可以求出冪指函數(shù)的導數(shù)，而且也可以利用冪指函數(shù)的求導方法或結(jié)果，求出指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的導數(shù)，即指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的導數(shù)，是冪指函數(shù)導數(shù)的特例。

3 應用舉例

求冪指函數(shù)的導數(shù)。

3.1 指數(shù)求導法

解：

3.2 對數(shù)求導法

解：將等式兩邊同時取自然對數(shù)

利用隱函數(shù)求導法則，兩邊同時對求導

整理得

3.3 “疊加”求導法

解：把看做冪函數(shù)求導，其導數(shù)為；將看作指數(shù)函數(shù)求導，其導數(shù)為，因此冪指函數(shù)的導數(shù)為

3.4 偏導數(shù)求導法

解：將冪指函數(shù)看作由，，復合而成，利用二元函數(shù)求全導數(shù)的方法，可得

4 結(jié)語

冪指函數(shù)是高等數(shù)學中一類非常重要的函數(shù)，對其性態(tài)的研究離不開它的導數(shù)，本文對冪指函數(shù)的求導方法進行了歸納和總結(jié)，有利于學生多方位、多途徑去分析和思考問題。

參考文獻

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