王春勇

【摘 要】闡述數(shù)學(xué)中美的現(xiàn)象和美的規(guī)律，講解在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中滲入數(shù)學(xué)美的幾種方法。通過(guò)展示數(shù)學(xué)美，發(fā)現(xiàn)深層的數(shù)學(xué)美，進(jìn)而提升學(xué)生的審美能力，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)中美的規(guī)律、原理應(yīng)用于解題實(shí)踐之中。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) ?簡(jiǎn)單美 ?內(nèi)涵美 ?對(duì)稱美 ?統(tǒng)一美

【中圖分類號(hào)】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）12B-0117-03

縱觀古今中外的歷史，美育對(duì)于人類社會(huì)的發(fā)展起著必不可少的推動(dòng)作用。數(shù)學(xué)是一門(mén)研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的學(xué)科，從某種角度看，它屬于最基礎(chǔ)的科學(xué)，蘊(yùn)含豐富的內(nèi)涵與美?，F(xiàn)代科學(xué)越來(lái)越進(jìn)步越多元，但是我們也發(fā)現(xiàn)，幾乎所有的自然科學(xué)專家在數(shù)學(xué)方面都有著杰出的數(shù)學(xué)成就，其中就包括很多諾貝爾獲得者。前幾年，日本研究者把祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率化為混小數(shù)后，再把每個(gè)數(shù)字作為對(duì)應(yīng)的音符，通過(guò)樂(lè)器來(lái)演奏，竟然發(fā)現(xiàn)這是一首陶醉人的樂(lè)曲。究竟是什么讓人們感覺(jué)到數(shù)學(xué)如此美妙呢？龐家萊的一句話給出了答案：“在實(shí)際解題、證明過(guò)程中，給我們以美感的是各部分之間的和諧、對(duì)稱，恰到好處的平衡。”

數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，在中職學(xué)校也是一門(mén)必修課，學(xué)好數(shù)學(xué)是學(xué)好其他專業(yè)課的前提。然而，當(dāng)前的中職學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣不高，所以，為了激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，挖掘?qū)W生在數(shù)學(xué)方面的創(chuàng)造潛力，培養(yǎng)他們的邏輯思維，在數(shù)學(xué)教學(xué)中把發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)教學(xué)融合，可以較好地相互補(bǔ)充。下面對(duì)數(shù)學(xué)中展現(xiàn)著怎樣的美與如何進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)中的美育教育這兩個(gè)問(wèn)題加以探究。

一、數(shù)學(xué)中的美

著名的數(shù)學(xué)家羅素說(shuō)：“數(shù)學(xué)如果正確看，不但擁有真理，而且具有至高的美。”數(shù)學(xué)美指的是存在于數(shù)學(xué)中的美的現(xiàn)象和規(guī)律，它的內(nèi)容是非常豐富的。比如，概念的簡(jiǎn)單和統(tǒng)一相結(jié)合，結(jié)構(gòu)的協(xié)調(diào)和對(duì)稱相結(jié)合，命題的概括與典型性相結(jié)合，語(yǔ)言準(zhǔn)確與特殊相結(jié)合等，都是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的具體內(nèi)容。

（一）簡(jiǎn)單美

簡(jiǎn)單是數(shù)學(xué)美組成的基本內(nèi)容。從數(shù)學(xué)理論的邏輯構(gòu)造而言，數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)單性往往包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：一理論結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單性，其概念獨(dú)立、簡(jiǎn)單和明確，以最少的公理、公式來(lái)建立理論;二理論的表現(xiàn)形式簡(jiǎn)單性，以簡(jiǎn)單的方式表現(xiàn)現(xiàn)象的本質(zhì)，使定理和公式更加簡(jiǎn)單明晰。

數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美體現(xiàn)在它的方法上。一個(gè)美的數(shù)學(xué)方法和證明，往往都包含著極其簡(jiǎn)單的涵義。比如希爾伯特解決果爾丹問(wèn)題的存在性所使用證明方法，就是數(shù)學(xué)方法簡(jiǎn)單美體現(xiàn)的一個(gè)范例。希爾伯特的方法是簡(jiǎn)單和深刻的，正因?yàn)檫@樣才使它能應(yīng)用到抽象的代數(shù)中，并把群、環(huán)、域的抽象理論提高到至高的地位。

數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美也體現(xiàn)在它的形態(tài)上。數(shù)學(xué)的形態(tài)美是數(shù)學(xué)美的外部表現(xiàn)的形態(tài)和形式，是數(shù)學(xué)定理、定理外在結(jié)構(gòu)中呈現(xiàn)出來(lái)的美。塔的主要特征，體現(xiàn)在于它的簡(jiǎn)單性。如，牛頓用一個(gè)簡(jiǎn)單的公式F=ma，就概括了力、質(zhì)量、加速度之間的定量關(guān)系;愛(ài)因斯坦也是用一個(gè)簡(jiǎn)單的公式E=mc2，就揭示了自然界的質(zhì)量和能量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。這里F=ma和E=mc2就外在形式而論，都是非常簡(jiǎn)潔的，都是為數(shù)學(xué)形態(tài)美的表現(xiàn)的范例。

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單美以其極簡(jiǎn)潔的形式和思想，把大量復(fù)雜的事實(shí)變得簡(jiǎn)單而深遠(yuǎn)，充分顯示其作為一門(mén)自然科學(xué)的理論美。

（二）對(duì)稱美

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，一切空間圖形中，最美的是球形;一切平面圖形中，最美的是圓形。這樣的稱贊，原因在于球形、圓形都具有強(qiáng)烈的對(duì)稱性和勻稱性。眾多的幾何圖形、代數(shù)中的方程式也都表現(xiàn)了一種對(duì)稱美。

例如：高次方程3x5+7x4-13x3-13x2+7x+3=0

方程中首尾對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的系數(shù)是對(duì)稱的，這一特征為求解高次方程帶來(lái)了極大的方便。

數(shù)學(xué)中體現(xiàn)對(duì)稱美的地方很多，這種對(duì)稱的美也不但只有數(shù)學(xué)家獨(dú)自欣賞的，人們?nèi)粘Ｉ钌a(chǎn)中也常常追求對(duì)稱美。如我們看到的對(duì)數(shù)螺線、煙花，只要你知道它的一部分，就可以推斷出它的全部。

這一切表明，對(duì)稱性在數(shù)學(xué)中作為一種方法、作為一種審美，發(fā)揮著巨大的作用。

（三）統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一性代表了客觀世界的一種和諧，它實(shí)質(zhì)上是一種理性統(tǒng)一的藝術(shù)結(jié)晶。從《幾何原本》、微積分的發(fā)現(xiàn)到近代科技數(shù)學(xué)的成果，無(wú)一不體現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美。

例如，拋物線方程：y=ax2+bx+c （a≠0），當(dāng)b=c=0時(shí)，得到方程y=ax2 （a≠0），它可以用來(lái)描述自然界的質(zhì)能方程（E=mc2），也可以用來(lái)描述物理學(xué)中的自由落體現(xiàn)象（），還可以描述幾何學(xué)中的圓面積計(jì)算公式（S=πr2）。還有很多這類的例子，無(wú)法想象萬(wàn)千的事物規(guī)律統(tǒng)一于一個(gè)相同的數(shù)學(xué)式子，毫無(wú)疑問(wèn)，這彰顯了數(shù)學(xué)的偉大和它的完美性。

例如，中職數(shù)學(xué)中，圓、橢圓、雙曲線、拋物線簡(jiǎn)單地統(tǒng)一于極坐標(biāo)方程：

其中e是離心率，e的變化表達(dá)了差異的本質(zhì)。

統(tǒng)一性不僅僅是一種數(shù)學(xué)美的特征，它實(shí)際上表現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)的本質(zhì)，如果把數(shù)學(xué)看作是一種理性建構(gòu)的世界，那么統(tǒng)一性就是人們理性世界中的擎天石。

（四）數(shù)學(xué)內(nèi)涵的美

數(shù)學(xué)具有一種理性美，內(nèi)涵的美。人們都知道數(shù)學(xué)和物理是一對(duì)孿生姊妹，數(shù)學(xué)和物理的結(jié)合點(diǎn)是美的疊加。下面我們舉幾個(gè)例子，看看它的美之所在。

例如，中職數(shù)學(xué)解析幾何中的橢圓，是人們司空見(jiàn)慣的曲線。但當(dāng)人造地球衛(wèi)星進(jìn)入軌道時(shí)的水平速度大于 7.9 千米/秒而小于 11.2 千米/秒時(shí)，它繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓，且地球恰好處在這個(gè)橢圓中的一個(gè)焦點(diǎn)上。

又例如，一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c。這也是中職數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的函數(shù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)這個(gè)函數(shù)時(shí)并不感覺(jué)到美的存在。但是如果把它跟初速度不為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的公式結(jié)合起來(lái)，一元二次函數(shù)的內(nèi)涵美就體現(xiàn)出來(lái)了，它客觀地把勻變速直線運(yùn)動(dòng)的自然規(guī)律表現(xiàn)出來(lái)。

這一公式完美地體現(xiàn)了 S （變量）的大小與時(shí)刻 t 的關(guān)系。這就是一元二次函數(shù)對(duì)作勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述。

通過(guò)以上事例，我們可以知道，數(shù)學(xué)和美學(xué)是緊緊相連的，它正以一種獨(dú)特的方式來(lái)詮釋美，它把美學(xué)刻畫(huà)得深刻透徹。這正是數(shù)學(xué)內(nèi)涵的美的規(guī)律體現(xiàn)。

二、在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中如何運(yùn)用數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)充滿豐富的美，數(shù)學(xué)美常常能對(duì)人類進(jìn)步產(chǎn)生巨大的推動(dòng)力。它能夠激發(fā)人們產(chǎn)生創(chuàng)造發(fā)明數(shù)學(xué)的激情，啟發(fā)人的智慧，從而提高人的探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要使得學(xué)生更多地理解和認(rèn)知數(shù)學(xué)的美，使他們?cè)谡n堂中潛移默化地產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)美的追求，進(jìn)而促進(jìn)他們?cè)跀?shù)學(xué)方面潛能的發(fā)展。下面就多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)中如何進(jìn)行美育教學(xué)。

（一）在教學(xué)中展示數(shù)學(xué)之美，提升學(xué)生感知美的能力

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家徐利治教授曾說(shuō)過(guò)：“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是主動(dòng)的、富有美感的智力活動(dòng)，學(xué)習(xí)材料的興趣和美學(xué)價(jià)值乃是學(xué)習(xí)的最佳刺激，強(qiáng)烈的心智活動(dòng)所帶來(lái)的美的愉悅和享受是推動(dòng)學(xué)習(xí)的最好動(dòng)力?！睂W(xué)生只有在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)、感知、體驗(yàn)和運(yùn)用的過(guò)程，才能真正地感受到數(shù)學(xué)美的力量，得到知識(shí)和心靈提升的雙重滿足。

課堂中可以借助直觀的模型教具，如圓柱、圓錐、球、棱臺(tái)等，讓學(xué)生在直觀中欣賞數(shù)學(xué)的美;也可以借助動(dòng)畫(huà)或者多媒體技術(shù)，領(lǐng)會(huì)到一些數(shù)學(xué)圖形的產(chǎn)生過(guò)程，欣賞到數(shù)學(xué)的圖形美。這種表象中的美可以加深學(xué)生對(duì)具體知識(shí)特征的認(rèn)識(shí)，在潛意識(shí)中培養(yǎng)了學(xué)生的審美感覺(jué)。

讓學(xué)生在相關(guān)概念、公式的學(xué)習(xí)中感受美。例如，物理中的許多公式，如上面所講到的力學(xué)公式F=ma，質(zhì)量公式E=mc2。這些都不失為數(shù)學(xué)形態(tài)美的范例。在課堂學(xué)習(xí)中運(yùn)用美的思想進(jìn)行擴(kuò)展和補(bǔ)充，使之和諧統(tǒng)一。久而久之，學(xué)生的審美感覺(jué)就會(huì)潛滋暗長(zhǎng)。

（二）在實(shí)際教學(xué)中深入挖掘數(shù)學(xué)美，把趣味學(xué)習(xí)和美學(xué)教育相結(jié)合

在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，在正確掌握數(shù)學(xué)概念、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)中的美學(xué)因素，應(yīng)用“補(bǔ)美”方法探索解題技巧。

例如，當(dāng) n 是自然數(shù)時(shí)，“n！”表示從 1 到 n 的 n 個(gè)自然數(shù)的乘積，即 n！=1×2×3×…（n-1）×n。而當(dāng) n=0 時(shí)，“0！”顯然沒(méi)有意義，這怎么辦呢？

為了使 m=n 時(shí)，公式仍舊成立，就必須補(bǔ)充規(guī)定 0！=1。補(bǔ)充規(guī)定 0！=1 是補(bǔ)美思想的體現(xiàn)，同時(shí)，保證了更高層次中的和諧性。學(xué)生在學(xué)習(xí)這個(gè)公式的過(guò)程中獲得了數(shù)學(xué)和諧美的感受，這既啟發(fā)了學(xué)生的思維，又使得學(xué)生對(duì)知識(shí)深化了理解。

把數(shù)學(xué)的美作為一種引導(dǎo)，往往能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與鞏固，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)充滿了趣味性。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，不但感受了數(shù)學(xué)美，而且能夠創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)中的問(wèn)題。

（三）在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生探索與創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的能力

學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時(shí)，常會(huì)遇到數(shù)量和圖形關(guān)系復(fù)雜的情況，這種時(shí)候?qū)W生比較難發(fā)現(xiàn)題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)“美”的形式，這時(shí)我們引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)特點(diǎn)，按照數(shù)學(xué)的規(guī)律來(lái)凸顯數(shù)學(xué)之美，從解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例如，請(qǐng)證明，在任意三角形中，三個(gè)內(nèi)角的平分線連乘積小于三條邊的連乘積。

證明 ?如圖所示，三角形的三條邊分別為AB、BC、AC，取△ABC的外接圓O。延長(zhǎng)三條角平分線分別交圓O于點(diǎn)M、N、L，連接BM、CN、AL。

∵∠BAM=∠MAC，且∠M=∠ACB

∴△ABM∽△ADC

∴

∴AB·AC=AD·AM>AD·AD=AD2 ? ①

同理

AB·BC>BE2 ? ?②

AC·BC>CF2 ? ?③

①②③三式相乘得到

（AB·BC·AC）2>（AD·BE·CF）2

∴AB·BC·AC>AD·BE·CF。問(wèn)題解決。

解決該數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心在于通過(guò)輔助線關(guān)系找到三角形相似性這一過(guò)渡過(guò)程，這過(guò)程其實(shí)就是設(shè)計(jì)一個(gè)“美”的途徑來(lái)達(dá)到“美”的解題結(jié)果。這樣既創(chuàng)造了“美”的形式，又為學(xué)生解題提供了途徑。

對(duì)學(xué)生而言，解數(shù)學(xué)題是一個(gè)獲得探索愉悅的過(guò)程，只要他們通過(guò)正確的方式和思維邏輯去探索，最終會(huì)獲得正確的答案。在這個(gè)探索的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的能力起著關(guān)鍵的作用。學(xué)生把題目信息和數(shù)學(xué)審美情感結(jié)合起來(lái)，就會(huì)激發(fā)他們的靈感，使得他們能夠迅速準(zhǔn)確地找到突破口進(jìn)而順利作答。

數(shù)學(xué)中的美是千姿百態(tài)、豐富多彩的，充分領(lǐng)略和認(rèn)識(shí)它的美，能夠使人獲得賞心悅目體驗(yàn)，并產(chǎn)生美的情懷和智慧，能夠使得人類的生活獲得巨大的改變。通過(guò)在中職數(shù)學(xué)課堂中滲入和展示更多的數(shù)學(xué)美，抓好學(xué)生審美感知能力的培養(yǎng)，學(xué)生的智力和情趣就能夠得到很好地開(kāi)發(fā)。

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（責(zé)編 盧建龍）