建立不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題

王祥平

下面兩例分別取材于實(shí)際生活的節(jié)水問(wèn)題和個(gè)人收入所得稅的問(wèn)題，它能通過(guò)建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型使問(wèn)題獲解，是考察建模能力的好題。但遺憾的是一些參考解答的建模不夠合理，甚至由于建模不合理出現(xiàn)解答錯(cuò)誤的情況。本人認(rèn)為此類應(yīng)用題易建立不等式模型解之。

例1.為加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，某城市制定了以下水費(fèi)收費(fèi)辦法：每戶每月用水未超過(guò)7立方米時(shí)，每立方米收費(fèi)1.0元并加收0.2元的城市污水處理費(fèi)；超過(guò)7立方米的部分每立方米收費(fèi)1.5元并加收0.4元的城市污水處理費(fèi)。設(shè)某戶每月用水量為x（立方米），應(yīng)交水費(fèi)y（元）。

（1） 分別寫出用水未超過(guò)7立方米和超過(guò)7立方米是y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2） 如果某單位共有用戶50戶，某月共交水費(fèi)541.6元，且每戶的用水量均未超過(guò)10立方米，求這個(gè)月用水未超過(guò)7立方米的用戶最多可能有多少戶？

說(shuō)明其中式子8.4x表示x戶用水7立方米的水費(fèi)，它應(yīng)大于或等于x戶這個(gè)月的實(shí)際用水水費(fèi)；式子（5.7+8.4）（50-x）則表示（50-x）戶用水10立方米的水費(fèi)，同樣也應(yīng)大于或等于（50-x）戶這個(gè)月的實(shí)際用水水費(fèi)。

在有些參考解答中對(duì)第（2）題的解法是：

設(shè)有x戶用水未超過(guò)7立方米，那么要使x的取值最大，則這x戶用水應(yīng)剛好為7立方米，而另外（50-x）戶用水量應(yīng)盡可能大，不妨設(shè)為10立方米。依題意得

8.4x+（5.7+8.4）（50-x）=41.6

解得，x≈28.67

若x=29，此時(shí)交費(fèi)的最大總額為298.4+21×14.1=537.9<541.6.所以取x=28.

在這個(gè)解答中，“要使x的取值最大，則這x戶用水應(yīng)剛好為7立方米，而另外（50-x）戶用水量應(yīng)盡可能大，不妨設(shè)為10立方米”使人很難看懂；在建立方程解出x≈28.67后，如何取近似值？為什么要對(duì)x=29進(jìn)行試驗(yàn)，而x=28不需檢驗(yàn)，也讓同學(xué)們感到難以把握。此題在“未超過(guò)7立方米”“未超過(guò)10立方米”及“求最多可能有多少戶”等諸多信息的提示下很容易聯(lián)想到建立不等式模型去解。事實(shí)上建立不等式模型去解，就可以克服以上弊端。

例2例2.《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定個(gè)，公民全月工資，薪金所得不超過(guò)1600元的部分不必納稅，超過(guò)1600元的部分為全月應(yīng)納稅所得稅，此項(xiàng)稅款按小表分段累計(jì)計(jì)算：

（1） 若某人3月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款為115元，則他的當(dāng)月工資薪金為多少？

（2） 如果沙鎮(zhèn)溪初級(jí)中學(xué)共有教職工100人，某月交納稅款5000元，且每人的當(dāng)月工資薪金都在超過(guò)1600元而不超過(guò)2500元之間，求當(dāng)月工資薪金不超過(guò)2100元的教職工最多可能有多少人？

從以上兩例可以看出當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)“不超過(guò)”“最多”“至少”等關(guān)鍵詞的實(shí)際應(yīng)用題，可考慮建立不等式的數(shù)學(xué)模型解之。