劉遠(yuǎn)輝

摘 ? 要：指出通常資料上對一道圓周運(yùn)動中的臨界問題的錯誤解法，并通過嚴(yán)謹(jǐn)分析，給出正確完整的解法。

關(guān)鍵詞：勻速圓周運(yùn)動;圓盤;最大靜摩擦力;相對滑動

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2015）9-0040-2

在很多教學(xué)資料中，常出現(xiàn)這樣一道題：如圖1所示，傾斜放置的圓盤繞著中軸勻速轉(zhuǎn)動，圓盤的傾角為37 °，在距轉(zhuǎn)動中心r=0.1 m處放一個小木塊，小木塊跟隨圓盤一起轉(zhuǎn)動，小木塊與圓盤間的動摩擦因數(shù)μ=0.8，假設(shè)木塊與圓盤的最大靜摩擦力與相同條件下的滑動摩擦力相同。若要保持小木塊不相對圓盤滑動，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度最大不能超過（ ）

A.2 rad/s ? ? ? B.8 rad/s

C.?rad/s ? ? D.rad/s

幾乎所有的資料都是給出類似如下的解答：

“只要小木塊轉(zhuǎn)過最低點(diǎn)時不發(fā)生相對滑動就能始終不發(fā)生相對滑動，設(shè)其經(jīng)過最低點(diǎn)時所受靜摩擦力為f，由牛頓第二定律有f-mgsinθ=mrω2;為保證不發(fā)生相對滑動，需要滿足f≤μmgcosθ，聯(lián)立解得ω≤2 rad/s。故A正確，B、C、D錯誤?！?/p>

上述解法的前提是：“只要小木塊轉(zhuǎn)過最低點(diǎn)時不發(fā)生相對滑動就能始終不發(fā)生相對滑動”，只要知道了這個前提，接下來的解答過程就簡單了，只要按照上述資料的解法就可以了。但是，這個前提是怎么來的呢？幾乎所有資料的解答都沒有給出。筆者認(rèn)為，此題應(yīng)從一般情況入手分析，才夠嚴(yán)謹(jǐn)。解答過程如下：

解析：作沿轉(zhuǎn)軸方向的俯視圖，如圖2所示。

過O點(diǎn)作圓周軌跡的水平直徑AOB。顯然，最易滑動的位置應(yīng)在直徑AOB之下的半圓部分。在下半圓任意位置P，對小木塊受力分析如圖。其中，G1是小木塊重力沿斜面向下的分力，有G1=mgsin37 °。f1是小木塊所受靜摩擦力在圓半徑方向的分力，f2是小木塊所受靜摩擦力在圓切線方向的分力。二者的合力為小木塊實(shí)際所受靜摩擦力f（圖中未畫出）。

因小木塊做勻速圓周運(yùn)動，所以在切線方向上，應(yīng)有：

f2=G1cosθ（1）

在半徑方向上，應(yīng)有：

f1-G1sinθ=mω2r （2）

實(shí)際靜摩擦力可表示為：

f=f+f（3）

設(shè)最大靜摩擦力為fm，則應(yīng)有：

f2≤f（4）

再結(jié)合（1）（2）（3）式，可得：

（G1sinθ+mω2r）2+（G1cosθ）2≤f，

其中，fm=μmgcos37 °。

將所有已知數(shù)據(jù)代入后，并化簡可得方程：

ω4+120sinθω2-496≤0

或sinθ≤（5）

依照題意，θ的取值范圍是0≤θ≤90 °，因而0≤sinθ≤1。欲使（5）式恒成立（即小木塊相對圓盤始終靜止），只需1≤，或ω4+120ω2-496≤0。

此不等式的解為：0≤ω2≤4。

所以，小木塊的角速度的取值范圍應(yīng)該是：0≤ω≤2 rad/s。顯然角速度的最大值為2 rad/s，且此時對應(yīng)的sinθ=1，即θ=90 °。也就是說，小木塊在最低點(diǎn)位置時最易滑動，且在ω=2 rad/s時開始滑動。本題選A，解畢。

如果按照上述完整解法來解決此題，難度較大。但如果因?yàn)殡y度大，就忽略了對問題的嚴(yán)謹(jǐn)分析，而是粗略地認(rèn)為最低點(diǎn)先達(dá)到最大靜摩擦力，顯然不利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思考的習(xí)慣。所以筆者建議，在日常教學(xué)中，為學(xué)生選題要慎重，給學(xué)生留作業(yè)之前教師自己應(yīng)該先做一遍。

參考文獻(xiàn)：

[1]物理課程教材研究開發(fā)中心 課程教材研究所·物理·必修2[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2]孫慧.物體做圓周運(yùn)動的向心力[J].物理教學(xué)探討，2007，25（3）：11-13，15.

（欄目編輯 ?羅琬華）