物體在變力作用下的直線運(yùn)動分析

劉旭華

摘 ?要 ：通過詳細(xì)推導(dǎo)分析物體（質(zhì)點(diǎn)）在力作用下的運(yùn)動規(guī)律，進(jìn)而得出“另類勻變速直線運(yùn)動”的基本規(guī)律以及和常規(guī)勻變速直線運(yùn)動的區(qū)別，并詳細(xì)討論其在電磁感應(yīng)現(xiàn)象和其他情景下的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：另類勻變速直線運(yùn)動;加速度A;位移中點(diǎn)的速度;沖量I

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2015）9-0042-3

1 ? ?分析推導(dǎo)

如果質(zhì)點(diǎn)受到一個與運(yùn)動速度成正比的力F=±kv，根據(jù)牛頓第二定律：±kv=m，所以有：=±dt，v=Ce，由初始條件t=0時，v=v0得： v=v0e。

令A(yù)=±， v=v0e（1）

由此，我們通過對（1）求導(dǎo)還可以得出加速度：

a=Av0eAt=Av（2）

通過對（1）積分可得位移的關(guān)系：

x=（v-v0）=（eAt-1）（3）

通過對（3）求導(dǎo)得：A=（4）

由（4）可以看出，每通過單位位移，速度的增量相同，這里我們不妨把這樣的運(yùn)動稱為“另類勻變速直線運(yùn)動”，加速度：

A==±=（5）

而力F的沖量：

I=Fdt=kvdt=kx（6）

注：始終x為通過的位移。

根據(jù)以上的推導(dǎo)，我們可以將相關(guān)結(jié)論總結(jié)如表1：

表1 ?“另類勻變速”直線運(yùn)動各量及關(guān)系

2 ? ?相關(guān)應(yīng)用

2.1 ? ?“另類勻變速”直線運(yùn)動（合力F=±kx）

1）作直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，如果受到的合外力與其速度（動量）成正比，則質(zhì)點(diǎn)做“另類勻變速”直線運(yùn)動。

2）“另類勻變速”直線運(yùn)動的“加速度A”為一恒量，其大小等于質(zhì)點(diǎn)任意時刻所受的合外力與質(zhì)點(diǎn)該時刻的動量之比，方向與合外力的方向相同，而其定義式為A=。

3）“另類勻變速”直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)所受的合外力是一個變力，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動是加速度時刻變化的變速直線運(yùn)動。a=Av，如果A>0，速度不斷增大，所以a也不斷增大;如果A<0，速度不斷減小，所以a也不斷減小。

4）“另類勻變速”直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)所受的合外力與位移是線性關(guān)系F=mA2x+mAv0，可用F-x圖像求該合力的功（也可由關(guān)于位移的平均力求功）。

5）“另類勻變速”直線運(yùn)動位移中點(diǎn)的速度為vs/2=，時間中點(diǎn)的速度為vt/2=，由速度v0變?yōu)樗俣葀t經(jīng)歷的時間為t=ln（）。

例1 ?歷史上有些科學(xué)家曾把在相等位移內(nèi)速度變化相等的單向直線運(yùn)動稱為“勻變速直線運(yùn)動”（現(xiàn)稱“另類勻變速直線運(yùn)動”），“另類加速度”定義為A=，其中v0和vt分別表示某段位移s內(nèi)的初速度和末速度。A>0表示物體做加速運(yùn)動，A<0表示物體做減速運(yùn)動。而現(xiàn)在物理學(xué)中加速度的定義式為a=，下列說法正確的是（ ? ? ）

A.若A不變，則a也不變

B.若A>0且保持不變，則a逐漸變大

C.若A不變，則物體在中間位置處的速度為

D.若A不變，則物體在中間位置處的速度為

解析 ?由上面的結(jié)論a=Av可知，A不變，a是變化的，所以A選項(xiàng)錯。因?yàn)锳大于零時，速度v增大，所以加速度a也增大，所以B選項(xiàng)正確。而速度隨位移均勻增大（或減小），所以C選項(xiàng)正確，而D選項(xiàng)錯誤。本題的正確答案為：B、C選項(xiàng)。

例2 ?如圖1所示，MN、PQ是位于同一水平面上、相互平行、足夠長的光滑金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌相距為L，電阻不計(jì)，其左端用導(dǎo)線連接一個阻值為R的定值電阻，將一個質(zhì)量為m，電阻為r的金屬棒垂直于導(dǎo)軌放置，整個裝置處在垂直于導(dǎo)軌平面、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場中，磁感強(qiáng)度的大小為B，現(xiàn)給導(dǎo)體棒一個沿軌道方向向右的水平初速度，且導(dǎo)軌棒沿導(dǎo)軌運(yùn)動過程中始終保持與導(dǎo)軌垂直，且接觸良好。

圖1 ?均勻磁場中的光滑金屬導(dǎo)軌

（1）分析導(dǎo)體棒的運(yùn)動是否為“另類”勻變速直線運(yùn)動，如果是，求出“加速度”A的大小。

（2） 求導(dǎo)體棒在整個過程中的位移s大小。

（3） 求導(dǎo)體棒位移為時，導(dǎo)體棒的速度大小和運(yùn)動的時間。

解析 ?（1）設(shè)時刻t導(dǎo)體棒運(yùn)動的速度為vt，此時導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小為E=BLvt。

回路中的感應(yīng)電流為 I=。

由安培力計(jì)算公式可知，此時導(dǎo)體棒受到的安培力（即合外力）為 Ft=BIL。

由上面三個式子可得Ft==vt ，即與速度成正比，所以是“另類勻減速直線運(yùn)動”，加速度A=-。

（2）由“另類”運(yùn)動“加速度”的定義式可得到導(dǎo)體棒的位移為s=。

當(dāng)vt=0時，導(dǎo)體棒達(dá)到最大位移，其最大位移為s=。

將上小題結(jié)果代入上式得 s=。

（3）當(dāng)導(dǎo)體棒位移為時，由A=可得vt=v0+As。

將上兩小題結(jié)果代入上式得 vt=v0。

設(shè)導(dǎo)體棒速度由v0減小到v0的過程所用的時間為t，由“另類”運(yùn)動的速度公式可得vt=v0eAt 可得v0 =v0eAt。

將上式兩邊約去v0，取自然對數(shù)得-ln2=At。

將（1）小題結(jié)果代入上式得t=。

例3 ?如圖2所示，MN與PQ是放在水平面上的光滑的足夠長的金屬導(dǎo)軌，相距為L=1 m，MP端接有一個電阻，阻值R=1 Ω，垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場為B=1 T，質(zhì)量為m=1 kg的金屬桿ab橫放在導(dǎo)軌上且始終垂直導(dǎo)軌并接觸良好。不計(jì)其他一切電阻，桿在水平向右的拉力作用下向右運(yùn)動，測得流過金屬桿ab的電流與位移的關(guān)系如圖3所示，試：

圖2 ?勻強(qiáng)磁場中的金屬導(dǎo)軌 ? ? ? ?圖3 ?A-x曲線

（1）證明導(dǎo)體桿做“另類勻加速”直線運(yùn)動，并求出桿的初速度和“另類加速度”A;

（2）求桿從初始位置移動1 m的過程中拉力F的功及電阻上產(chǎn)生的熱量;

（3）桿從初始位置移動1 m經(jīng)歷的時間。

解析 ?（1）由圖像可知，電流與位移的關(guān)系為：I=I0+kx ?（I0=1 A，k=1 A/m）

由歐姆定律得：I=，所以由以上兩式可得：v=+x，代入數(shù)據(jù)得：v=1+x（m/s），所以是“另類勻加速”直線運(yùn)動，與“另類勻變速”直線運(yùn)動的速度公式v=v0+Ax對比可知：

初速度v0=1m/s，“另類加速度”A=1/s。

（2）安培力（阻力）f=，代入數(shù)據(jù)得：f=v（N）。

而F-f=ma，而a=Av，所以F=mAv+f，代入數(shù)據(jù)和關(guān)系可得：F=2+2x（N）。

所以F與位移x成線性關(guān)系，運(yùn)動1 m的平均力為F= N=3 N，可得：

W=Fx=3 J。

由I=得電流I=2 A時，速度v=2 m/s，根據(jù)功能關(guān)系W-Q=mv2-mv，可得：

Q=1.5 J。

（3）初始速度v0=1 m/s，運(yùn)動1 m時的速度為v=2 m/s，由前面的結(jié)論可得：

t=ln（）=ln2 s≈0.693 s。

2.2 ? ?合力不等于±kv

一個物體所受的合力并不等于±kv，但其中某個力f=±kv，此時物體并不做“另類勻變速”直線運(yùn)動，所以位移、速度、加速度A不滿足前面所列的關(guān)系，但力f的沖量依然滿足關(guān)系I=±kv。

例4 ?一個小球以速度v0的大小豎直上拋，落回原處的速度大小為v，如果所受空氣的阻力與速度成正比，那么從拋出到落回的時間為多少？

解析 ?設(shè)所用的時間為t，整個運(yùn)動過程中阻力f的沖量為If=kx=0（位移x為零），而重力的沖量為IG=mgt，所以有IG-If=mv-m（-v0），即：t=。

例5 ?質(zhì)量為m的物體從足夠高處由靜止開始豎直下落，所受空氣阻力與速度成正比，其運(yùn)動的速度時間圖像如圖4所示，圖中t0時刻前速度已達(dá)最大速度vm，試求：

圖4 ?下落質(zhì)點(diǎn)的v-t圖

（1）到t0時，物體下落的高度是多少？

（2）從開始下落到t0時刻，克服阻力做了多少功？

解析 ?（1）到t0時刻，阻力的沖量為-kh，根據(jù)動量定理有：

mgt0-kh=mvm。

所以有：h=。

因?yàn)閙g=kvm，所以h=vmt0-。

（2）根據(jù)動能定理：mgh-Wf=mv，得：

Wf=mgvmt0-mv。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙凱華，羅蔚英.力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1995.

（欄目編輯 ?羅琬華）