陳加明　宋小文　徐　浩

1.杭州職業(yè)技術學院,杭州,310000　　2.浙江大學,杭州,310027

結合模糊聚類和合作競爭博弈的優(yōu)化方法

陳加明1宋小文2徐浩2

1.杭州職業(yè)技術學院,杭州,3100002.浙江大學,杭州,310027

針對多目標優(yōu)化問題轉化為博弈問題的難點，即博弈問題的各博弈方戰(zhàn)略集的確定問題，利用均勻設計試驗法、回歸分析和F檢驗為模糊聚類提供數(shù)據(jù)基礎，將多目標優(yōu)化設計與博弈分析結合起來,提出了一種多目標優(yōu)化方法。以減速器優(yōu)化設計為例，對該方法的性能進行了分析與驗證,并與傳統(tǒng)單目標優(yōu)化方法進行對比分析。結果表明,該方法收斂速度快，計算效率高，無需人為確定各目標權重，具有工程應用價值。

模糊聚類；合作競爭博弈；均勻設計；回歸分析

0　引言

科學實踐、工程設計及社會生產和經(jīng)濟發(fā)展中的許多問題都可以描述為優(yōu)化問題，由于實際問題的復雜性,一般是具有多個優(yōu)化目標、多個約束條件的多目標問題?，F(xiàn)有的經(jīng)典多目標優(yōu)化解法主要都歸結于多目標的線性組合，對Pareto最優(yōu)前沿的形狀很敏感，不能處理前沿的凹部，優(yōu)化效率非常低,時間成本高，計算量巨大，并且求解問題時由于難以獲得與應用背景相關的啟發(fā)式知識信息，從而使優(yōu)化效果差或者無法正常實施優(yōu)化，尤其對于大規(guī)模問題，這些傳統(tǒng)的多目標優(yōu)化方法的應用非常少[1]。

多目標優(yōu)化設計中，各目標之間一般是沖突的[2]。為了調和這些沖突，就需要以某種方式來解決各目標之間的矛盾。而博弈論是研究決策主體的行為在直接相互作用時，如何進行決策以及這種決策如何達到均衡的方法,目前博弈論在工程設計領域的應用已經(jīng)越來越多。鑒于多目標優(yōu)化問題和博弈問題的相似性，可以將博弈論思想和方法引入到工程多目標優(yōu)化設計問題的求解之中，以克服傳統(tǒng)多目標優(yōu)化設計問題求解方法的不足。謝能剛等[3-4]根據(jù)Nash均衡模型和Stackelberg寡頭博弈模型，建立了多目標博弈設計的技術路線和關鍵指標，并在補償滑輪組變幅機構、汽車被動懸架系統(tǒng)的多目標優(yōu)化設計中成功應用。

現(xiàn)有多目標優(yōu)化問題的博弈分析中,將設計變量集合轉化為各博弈方戰(zhàn)略集的一般轉化方法是：采用層次分析法[5]或者直接求解目標對設計變量的偏導數(shù)來得到各設計變量對各目標的影響因子矩陣，再對影響因子矩陣進行模糊分類得到其等價矩陣。層次分析法受主觀影響較大；直接求解偏導數(shù)只能適用于目標函數(shù)可導的情況,適用范圍小。

因此，本文將均勻設計試驗法應用于機械產品多目標優(yōu)化設計博弈分析的博弈方戰(zhàn)略集中,采用均勻設計試驗法得到各設計變量對目標的影響因子指標，然后依據(jù)模糊聚類法對設計變量進行聚類，最終得到各博弈方的戰(zhàn)略集。該方法彌補了現(xiàn)有方法的不足，且不要求目標函數(shù)和各約束連續(xù)可導，可用來分析離散優(yōu)化問題，擴大了方法的適用范圍。

1　博弈戰(zhàn)略集的劃分數(shù)據(jù)基礎

1.1機械產品多目標優(yōu)化的博弈描述

對于一個工程實際問題,目標函數(shù)、設計變量和約束條件都確定以后,其最優(yōu)化數(shù)學模型基本確定，多目標優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型一般表示為[6]:

minF(X)=(f1(X),f2(X),…,fm(X))

s.t.ai≤xi≤bii=1,2,…,n

hl(X)=0l=1,2,…,p

gk(X)≤0k=1,2,…,q

式中,X為設計變量，X=(x1,x2,…,xn);ai、bi為設計變量xi的下限和上限;n為設計變量的個數(shù);m為優(yōu)化目標的個數(shù);fm(X)為第m個子目標；p為等式約束的個數(shù);q為不等式約束的個數(shù)。

對于n個博弈方的博弈可以表示如下[7]:①有限集P表示博弈方；②Si={s1,s2,…,sm}表示博弈方i的戰(zhàn)略集；③S={S1,S2,…,Sn}為所有博弈方的戰(zhàn)略空間;④收益函數(shù)U為所有博弈方戰(zhàn)略效用到實數(shù)空間的一個函數(shù)映射。因此,可以用G={P,S,U}來表示該博弈。

1.2基于均勻設計、回歸分析和F檢驗的數(shù)據(jù)分析

要采用均勻設計試驗法[8]得到各設計變量對目標的影響因子指標,首先要根據(jù)試驗目的確定試驗指標，然后選擇試驗因素水平和均勻設計表，制定試驗方案,對試驗結果進行回歸分析和檢驗。

均勻設計的關鍵是要建立多因素的回歸模型?；貧w分析統(tǒng)計分析方法可以定量地分析多種變量的相互依賴關系。通過自變量和因變量的回歸模型可以對設計變量進行重要性分析，可以估算新型條件下的試驗結果，還可以對已有結果進行優(yōu)化。若設計試驗有m個因素，優(yōu)化目標y關于因素集X的二次多項式回歸模型為[9]

其中,β0、βi、βi i、βi j為回歸系數(shù);ε為隨機誤差。

通過F檢驗可以對均勻設計試驗進行檢驗。F檢驗服從F分布，可以用來檢驗均數(shù)差別的顯著性,分析多個因素的相互作用大小以及分離各個因素,檢驗方差齊性等[10]。

2　結合模糊聚類和合作競爭博弈分析方法

2.1模糊聚類方法

模糊聚類的數(shù)學模型如下:

n個樣本數(shù)據(jù)集矢量X=(x1,x2,…,xn)聚合為m個類別,模糊聚類矩陣U=[uj f]m×n,其中uj f代表該樣本xf對第j個類別的同意度。通常，最高的同意度決定了該樣本應該屬于哪一類。

基于模糊等價關系的模糊聚類法，其傳遞閉包方法一般是：建立數(shù)據(jù)矩陣并將數(shù)據(jù)標準化，進而建立模糊相似矩陣，再傳遞閉包聚類。

2.2合作競爭博弈優(yōu)化

結合模糊聚類和合作競爭博弈分析方法步驟如下：

(1)建立多目標問題的數(shù)學模型，確立多目標優(yōu)化問題的設計變量、目標函數(shù)和約束條件，通過均勻設計試驗和回歸分析得到各設計變量對各設計目標的影響因子矩陣，并進行傳遞閉包轉化，成功轉化多目標問題為博弈優(yōu)化問題，求得策略集組合S={S1,S2,…,Sm}。

i,j=1,2,…,m

3　減速器高速級傳動的優(yōu)化設計

以帶式輸送機減速器的高速級齒輪傳動為例進行優(yōu)化設計。已知輸出功率P1=10 kW,小齒輪轉速為n1=960 r/min,傳動比i=3.2(齒數(shù)比u=i)。驅動方式為電動機驅動,假設每年365個工作日,工作15年，兩班倒。假設工況是帶式輸送機工作平穩(wěn)，轉向保持不變。

減速器的三個設計目標為齒輪嚙合重合度(f1)、齒輪體積(f2)、接觸疲勞安全度(f3,即接觸疲勞極限應力與接觸疲勞許用應力之比)。理想的狀態(tài)是通過優(yōu)化設計變量，使得重合度達到最大，同時減小體積并使安全度盡可能大。4個設計變量分別為模數(shù)x1、主動輪齒數(shù)x2、載荷系數(shù)x3、齒寬系數(shù)x4。因此，選用均勻設計試驗U7(74),對應因素水平得到均勻試驗結果，如表1所示。對均勻設計試驗進行回歸分析計算，回歸分析結果中，目標函數(shù)f1、f2、f3的回歸分析F值分別為F1=29.7220，F(xiàn)2=111.4113，F(xiàn)3=48.2889，查F檢驗表，得到F(4,3)=9.12，回歸分析F值結果與檢驗表數(shù)據(jù)對比，F(xiàn)1>9.12,F2>9.12,F3>9.12,因此均勻試驗設計結果可靠，由此可以得到減速器4個設計變量對3個目標函數(shù)的回歸分析的系數(shù)結果矩陣為

表1　均勻設計試驗結果

由得到的回歸系數(shù)矩陣，可以得到模糊相似矩陣為

用MATLAB編程，根據(jù)模糊聚類傳遞閉包的原則可以得到，減速器模糊聚類的傳遞閉包矩陣為

由傳遞閉包矩陣可以看出,令置信度λ=0.99,模糊聚類矩陣為

因此，可以對4個設計變量聚類為：{1,2}、{3}、{4},應用本文的方法，得到優(yōu)化結果如表2所示。合作競爭博弈優(yōu)化迭代的過程設計變量x1、x2、x3、x4如圖1所示，目標f1、f2、f3的博弈迭代結果如圖2所示。

表2　減速器博弈優(yōu)化結果

圖1　4個設計變量的合作競爭博弈優(yōu)化迭代過程

4　計算結果比較及結論

本文設計得到的結果與傳統(tǒng)的減速器設計結果[11]進行對比,如表3所示?；跈嘀氐亩嗄繕藘?yōu)化方法中，對于三個目標權重分別為0.333，編程求得的優(yōu)化結果見表4。該優(yōu)化結果表明，本文的方法在齒面接觸、齒根彎曲強度等多種約束條件下，通過增大齒數(shù)，增加了減速器傳動的重合度，使得傳動的時候嚙合更平穩(wěn)，減少了減速器的跑偏、漏料以及異常噪聲等現(xiàn)象。增大齒數(shù)的同時，減少模數(shù)，減小了齒輪加工的時候金屬的切削量，節(jié)省了制造費用，提高了減速器的工程經(jīng)濟性能。降低齒寬系數(shù)使得體積減少很多，但是因為齒數(shù)的增大，齒寬影響不大，不影響齒輪的承載能力。

表3　本文設計和傳統(tǒng)優(yōu)化設計結果對比

表4　本文設計和基于權重的多目標優(yōu)化結果對比

本文通過均勻設計試驗得到各設計變量對所有目標的影響因子指標，再利用模糊聚類進行分類，實現(xiàn)各博弈方戰(zhàn)略集的劃分，將多目標優(yōu)化問題轉化為博弈問題;在此基礎上提出一種機械產品多目標優(yōu)化設計方法(即多目標優(yōu)化設計博弈分析方法),算例結果驗證了該方法的可行性。與傳統(tǒng)的優(yōu)化設計方法相比，該方法不需要人為確定各目標的權重，可以用于離散問題的優(yōu)化，計算效率高，具有工程應用價值。

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(編輯王旻玥)

Optimization Method Based on Fuzzy Clustering and Cooperative Competition Game

Chen Jiaming1Song Xiaowen2Xu Hao2

1.Hangzhou Vocationaland Technical College,Hangzhou,310000 2.Zhejiang University,Hangzhou,310027

Aiming at the difficulty of transforming multi-objective optimization problem to game problem which was about determining the strategy set for each partition of game players,a multi-objective optimization method was proposed by using uniform design experimentation,regression analysis and F test statistic to obtain data bases for fuzzy clustering and combining cooperative competition game.Taking reducer design optimization as an example,performance of the method was analyzed and verified.Compared with the traditional single-objective optimization method,the experimental results show that the multi-objective method has fast convergence rate and high computational efficiency,and it is unneccessary to determine the weight of each target,which has engineering application values.

fuzzy clustering;cooperative competition game;uniform design;regression analysis

2015-04-02

TG122DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.16.009

陳加明,男,1970年生。杭州職業(yè)技術學院友嘉機電學院副教授。主要研究方向為模具設計、模具CAD/CAM等。獲國家教學成果2等獎1項，浙江省教學成果1等獎1項，發(fā)表論文10余篇。宋小文,女,1967年生。浙江大學機械工程學院副教授。徐浩,女,1990年生。浙江大學機械工程學院碩士研究生。