一種基于遺傳算法的混合濾波器組設(shè)計(jì)方法

譚富春，呂幼新，楊皓翔

(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院， 成都611731)

0 引言

模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)作為數(shù)字化電子系統(tǒng)的重要組成部分，是決定整個(gè)系統(tǒng)性能優(yōu)劣的一個(gè)很重要的模塊單元。隨著現(xiàn)代電子技術(shù)的發(fā)展，對(duì)數(shù)據(jù)采集的精度和速率都提出了越來(lái)越高的要求，而受目前器件本身的限制，單片ADC很難同時(shí)滿足高精度、高速率的采樣要求。

Velazquez［1］提出了利用混合濾波器組(Hybrid Filter Banks，HFB)來(lái)實(shí)現(xiàn)高精度、高速率的模數(shù)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，這也是目前備受學(xué)者們關(guān)注的研究重點(diǎn)和難點(diǎn)。文獻(xiàn)［2］應(yīng)用Z-S變換方法設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了模擬分解濾波器組，利用IFFT算法設(shè)計(jì)得到了數(shù)字綜合濾波器的系數(shù)。此方法雖可實(shí)現(xiàn)不錯(cuò)的系統(tǒng)性能，但是在低頻區(qū)域，濾波器組不具有很好的誤差性能。文獻(xiàn)［3-4］利用功率互補(bǔ)條件，通過(guò)兩個(gè)全通濾波器相加減的形式完成了模擬分解濾波器的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)過(guò)程較為繁瑣。而且盡管混疊誤差可達(dá)到-100 dB以下，但是失真誤差很難滿足高精度的ADC系統(tǒng)要求。

本文提出一種基于遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)5階模擬分解濾波器的方法，利用IFFT設(shè)計(jì)了數(shù)字綜合濾波器。通過(guò)仿真結(jié)果驗(yàn)證，所設(shè)計(jì)的混合濾波器組理論上可以滿足24 bits的ADC系統(tǒng)要求。

1 基于功率互補(bǔ)的HFB的基本原理

HFB實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)原理圖如圖1所示。輸入的信號(hào)為帶限信號(hào)，由模擬分解濾波器組將輸入信號(hào)x(t)按照頻率劃分成M個(gè)子頻帶，然后用M片采樣速率為f1=f/M=1/(MT)的ADC進(jìn)行采樣，其中，f為系統(tǒng)采樣頻率，f1為單片ADC采樣頻率。經(jīng)過(guò)AD采樣后的序列x1［n］通過(guò)內(nèi)插，在序列之間均勻地插入M-1個(gè)0值。而綜合濾波器將輸入序列中含有的鏡像頻譜濾除掉，重構(gòu)信號(hào) y［n］。

在不考慮量化噪聲情況下，輸出y［n］的頻域表示如下［5］

式中:ω=ΩT，ω為數(shù)字角頻率，Ω為模擬頻率;

圖1 M通道混合濾波器組的結(jié)構(gòu)原理圖

輸出信號(hào)y［n］是由輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣后頻移后疊加而成的。如果要想獲得理想的信號(hào)輸出，則系統(tǒng)的傳輸函數(shù)Tp(ejω)必須滿足一定的條件，即

式中:c為尺度常數(shù);d為系統(tǒng)延時(shí)。其中，T0(ejω)為系統(tǒng)失真函數(shù)，T1(ejω)，T2(ejω)，…，TM-1(ejω)為系統(tǒng)混疊函數(shù)。式(2)即為HFB ADC系統(tǒng)的完全重構(gòu)條件。

1.1 基于功率互補(bǔ)的雙通道混合濾波器組

當(dāng)M=2時(shí)，忽略式(2)中的尺度常數(shù)，在不影響整體性能的前提下，為了便于推導(dǎo)分析，將定義采樣周期T=1 s，雙通道的HFB完全重構(gòu)條件可以表示為［6］

當(dāng)數(shù)字綜合濾波器的頻率響應(yīng)可以設(shè)計(jì)成模擬濾波器頻率響應(yīng)的共軛，則在-π≤ω≤π范圍內(nèi)滿足

結(jié)合式(3)、式(4)可得

式(6)稱為功率互補(bǔ)條件，滿足此條件的模擬分解濾波器組稱為功率互補(bǔ)型模擬分解濾波器組。

1.2 模擬分解濾波器的設(shè)計(jì)

根據(jù)上節(jié)功率互補(bǔ)條件，我們?cè)O(shè)計(jì)兩個(gè)模擬濾波器的傳遞函數(shù)定義如下［7］

式中:E(s)和O(s)分別是分母多項(xiàng)式D(s){D(s)=的偶次項(xiàng)和奇次項(xiàng)。根據(jù)E(s)和O(s)的奇偶性和式(6)、式(7)很容易得到

將式(10)、式(7)比較，如果模擬分解濾波器滿足式(13)，則可以滿足完全重構(gòu)的HFB

注意到模擬濾波器的頻率響應(yīng)是關(guān)于0頻率點(diǎn)對(duì)稱，因此，在實(shí)際設(shè)計(jì)中只需要滿足其中一式即可。

1.3 應(yīng)用遺傳算法的模擬分解濾波器優(yōu)化

遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)起源于用計(jì)算機(jī)對(duì)自然界生物做的仿真研究，在20世紀(jì)中后期，由密歇根大學(xué)的Holland教授所在的科研團(tuán)隊(duì)在基于生物遺傳和自然選擇的啟示下提出了一種適合在繁雜系統(tǒng)優(yōu)化應(yīng)用的自適應(yīng)概率技術(shù)——遺傳算法［8］。其算法實(shí)質(zhì)是一種并行、全局搜索的方法，可以在搜索過(guò)程自行積累有關(guān)搜索范圍的經(jīng)驗(yàn)，而且能夠自適應(yīng)地調(diào)整搜索方式以得問(wèn)題的最優(yōu)解。

本文設(shè)計(jì)的5階模擬分解濾波器，定義D(s)=s5+as4+bs3+cs2+ds+e。則其中一路模擬分解濾波器的幅頻響應(yīng)可表示為

為進(jìn)一步簡(jiǎn)化分解濾波器的傳遞函數(shù)，對(duì)其模擬濾波器的幅度值做出合理的約束，令濾波器幅頻響應(yīng)滿足

由式(13)可推導(dǎo)出分解濾波器傳遞函數(shù)的代數(shù)關(guān)系，可用 a，b，e來(lái)表示 c，d，如式(14)所示

定義

同時(shí)，在分解濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，應(yīng)使分解濾波器的幅頻響應(yīng)滿足在0≤ω≤π為一平滑的曲線。則通過(guò)式(15)可表現(xiàn)為:f1(ω)和f2(ω)在0≤ω≤π滿足相應(yīng)單調(diào)性質(zhì)的要求。通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)化，可將要求具體表示為代數(shù)不等式，如下所示

式中:Aineq為3×3的矩陣;bineq為3×1的列向量。

在應(yīng)用遺傳算法優(yōu)化解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候，首要是初始設(shè)置好種群適應(yīng)度評(píng)價(jià)函數(shù)。根據(jù)模擬分解濾波器組的優(yōu)化設(shè)計(jì)因素，再根據(jù)式(16)的約束濾波器傳遞函數(shù)的系數(shù)的取值范圍。依據(jù)前面所述，可得出模擬分解濾波器的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

式(17)則為遺傳算法的適應(yīng)度評(píng)價(jià)函數(shù)，適應(yīng)度評(píng)價(jià)函數(shù)只存在a、b、e三個(gè)獨(dú)立變量，而后可多次應(yīng)用遺傳算法［8］比較得出最優(yōu)的系數(shù)解，最終得到目標(biāo)函數(shù)的極小值4.16E-6。應(yīng)用遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的模擬分解濾波器系統(tǒng)傳遞函數(shù)的系數(shù)為:a=1.947 1，b=69.084 8，c=141.009 8，d=566.845 1，e=4 385.449 8。

兩路分解濾波器的幅頻響應(yīng)如圖2所示，功率互補(bǔ)結(jié)構(gòu)分解濾波器組的特性可由式(7)表現(xiàn)出來(lái)，也可如圖3所示，可以得出基于遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的分解濾波器組符合功率互補(bǔ)特性的結(jié)論。

圖2 優(yōu)化設(shè)計(jì)的5階模擬分解濾波器的幅頻響應(yīng)

1.4 數(shù)字綜合濾波器的設(shè)計(jì)

對(duì)于上節(jié)已經(jīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的模擬分解濾波器，可以通過(guò)式(4)、式(5)得到數(shù)字綜合濾波器的頻率響應(yīng)，利用逆快速傅里葉變換的算法設(shè)計(jì)N階數(shù)字綜合濾波器［9］。在允許一定誤差的情況下對(duì) FIR數(shù)字綜合濾波器的長(zhǎng)度進(jìn)行截取，通常采用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的矩形窗，矩形窗表達(dá)式如下

圖3 功率互補(bǔ)結(jié)構(gòu)分解濾波器組特性

那么通過(guò)加窗后的數(shù)字綜合濾波器的截取系數(shù)為

在實(shí)際數(shù)字濾波器組的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，還需要對(duì)HFB ADC系統(tǒng)中延時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，以得到最佳延時(shí)d，使得失真函數(shù)逼近純延時(shí)，在確定了濾波器的長(zhǎng)度L后，HFB ADC系統(tǒng)的最佳延時(shí)d為L(zhǎng)/2。

2 仿真結(jié)果

應(yīng)用上述優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)了雙通道5階功率互補(bǔ)的模擬分解濾波器，32階的數(shù)字綜合濾波器，其中，系統(tǒng)延時(shí)，d=16。經(jīng)過(guò)仿真后得到的混合濾波器組的最大失真誤差為4.761 8×1011dB，最大混疊誤差為-154.563 4 dB;平均失真誤差為-9.268 3×10-14dB，平均混疊誤差為-200.537 8 dB。混合濾波器組的失真誤差和混疊誤差幅度如圖4、圖5所示。

圖4 混合濾波器組的失真誤差

圖5 混合濾波器組的混疊誤差

如圖4、圖5所示，利用遺傳算法優(yōu)化的功率互補(bǔ)的5階模擬分解濾波器在低頻段也同樣很好的誤差特性。利用本文方法設(shè)計(jì)的混合濾波器組和現(xiàn)有其他方法設(shè)計(jì)的混合濾波器組［10］的系統(tǒng)誤差比較如表1所示。

表1 混合濾波器組方法設(shè)計(jì)的比較

3 結(jié)束語(yǔ)

在基于混合濾波器組的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中，本文針對(duì)模擬濾波器系數(shù)的約束條件，提出了基于遺傳算法的優(yōu)化方法設(shè)計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)高階模擬分解濾波器。實(shí)驗(yàn)仿真表明，相比其他方法，采用本文方法優(yōu)化設(shè)計(jì)的混合濾波器組在失真誤差和混疊誤差方面表現(xiàn)出了更好的性能，可以有效提高數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的采樣精度和采樣速度，可以滿足24 bits的ADC系統(tǒng)的需要，而且整個(gè)系統(tǒng)對(duì)模擬偏差的敏感度有了很大的降低。

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