摘要基于經(jīng)典的馬克思兩大部類社會(huì)再生產(chǎn)公式，建立了離散確定型的持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型.在生產(chǎn)資料部類的不變資本產(chǎn)出率高于另一部類的條件下，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的指標(biāo)函數(shù)是作為決策變量的生產(chǎn)資料部類積累率的單調(diào)函數(shù)，因而可以使用逆序解法或者順序解法， 獲得唯一的最優(yōu)策略和最優(yōu)指標(biāo)函數(shù).借助《資本論》中的一個(gè)舉例，計(jì)算驗(yàn)證了最優(yōu)解.

關(guān)鍵詞政治經(jīng)濟(jì)學(xué)，持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)；優(yōu)化；動(dòng)態(tài)規(guī)劃；逆序解法

中圖分類號(hào)F224，F(xiàn)014.3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

The Optimization of the Twosector Continuous

Expanded Reproduction

TAO Weiqun

（Nanjing Branch， The Peoples Bank of China， Nanjing， Jiangsu210004， China）

AbstractBased on classical Marx's twosector reproduction scheme， this paper established a dynamic programming model of the optimization problem of the continuous expanded reproduction. The model is a dispersed and determined type. Depending on the condition that the constant capital output ratio of the capital goods sector is higher than that of another sector ， the target function in the dynamic programming is a monotone function of the accumulation rate of the capital goods sector ， which is treated as a decision variable. Therefore， only the optimum strategy and optimum target function can be obtained by the inverted sequence solution. An example from Marx's "Das kapital" was drawn upon to verify the optimum solution.

Key wordspolitical economy； continuous expanded reproduction； optimization； dynamic programming； inverted sequence solution

1引言

馬克思的兩大部類社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)理論與模型對(duì)于研究國(guó)民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)具有重要指導(dǎo)意義，兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題可以為國(guó)民經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長(zhǎng)的優(yōu)化提供理論指導(dǎo).這一優(yōu)化問題本質(zhì)上是一個(gè)兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的靜態(tài)最優(yōu)化問題序列，因此，它的解也是這一序列的靜態(tài)最優(yōu)化問題的序列解.兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)優(yōu)化問題的根本意義，是通過尋求序列化的最優(yōu)策略（控制）而獲得擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)最優(yōu)增長(zhǎng)路徑.李海明、祝志勇（2012）把馬克思擴(kuò)大再生產(chǎn)理論與一般動(dòng)態(tài)均衡分析方法結(jié)合，建立了馬克思社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)動(dòng)態(tài)均衡模型，并運(yùn)用最優(yōu)控制方法推導(dǎo)模型的最優(yōu)解＼[1＼].不過，他們的研究存在兩個(gè)方面的不足，因而很大地削弱了獲得的結(jié)果.第一， 假定了 “兩大部類可變資本之比不變”.鑒于陶為群、陶川（2012）已經(jīng)論證了在“兩大部類可變資本之比不變” 條件下，擴(kuò)大再生產(chǎn)的決策變量取值是被兩大部類可變資本之比所唯一確定的＼[2＼]，因而這個(gè)假定實(shí)際上就把擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題簡(jiǎn)化成為確定狀態(tài)變量的最佳初始值，改變了動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題的根本意義.第二，把兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)動(dòng)態(tài)模型設(shè)計(jì)成一個(gè)連續(xù)確定型模型，因而改變了經(jīng)典的馬克思再生產(chǎn)公式是離散確定型模型的基本設(shè)定.陶為群、陶川（2013） 使用“價(jià)值系數(shù)法” 簡(jiǎn)便地獲得了經(jīng)典的馬克思兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的靜態(tài)優(yōu)化問題的最優(yōu)解＼[3＼]，并且陶為群（2015）證明了兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)持續(xù)進(jìn)行的充分必要條件＼[4＼].事實(shí)上，兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題，是一個(gè)以擴(kuò)大再生產(chǎn)持續(xù)進(jìn)行作為前提的兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的靜態(tài)最優(yōu)化問題序列.他們這兩方面的研究結(jié)果，為求解兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題做了鋪墊.在生產(chǎn)資料部類的不變資本產(chǎn)出率高的條件下，兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題可以構(gòu)成一個(gè)離散確定型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃，并且使用逆序解法求解（編篡委員會(huì)，2001） ＼[5＼].

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第 32卷第3期

陶為群：兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化

2兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的當(dāng)年資本

積累均衡和結(jié)構(gòu)狀態(tài)變化

馬克思社會(huì)再生產(chǎn)理論在兩大部類社會(huì)再生產(chǎn)公式得到集中體現(xiàn).按照馬克思社會(huì)再生產(chǎn)理論，社會(huì)生產(chǎn)部門劃分成生產(chǎn)生產(chǎn)資料、消費(fèi)資料的兩個(gè)部類，分別記為第Ⅰ、Ⅱ部類.第j部類（j=Ⅰ，Ⅱ.下同）在t年初的總資本分解成用于購(gòu)買生產(chǎn)資料的不變資本、購(gòu)買勞動(dòng)力的可變資本兩個(gè)部分，分別記為 C（t）j， V（t）j，按照經(jīng)典的馬克思再生產(chǎn)公式中的假定，設(shè)C（t）j和V（t）j都是每年周轉(zhuǎn)一次；那么，當(dāng)年C（t）j作為中間消耗轉(zhuǎn)移到產(chǎn)品當(dāng)中，V（t）j在產(chǎn)品當(dāng)中新創(chuàng)造出來，并帶來它的剩余價(jià)值M（t）j.社會(huì)產(chǎn)品的價(jià)值當(dāng)中包含了由生產(chǎn)資料消耗轉(zhuǎn)移的價(jià)值、重新生產(chǎn)出的勞動(dòng)力的價(jià)值，分別與不變資本的轉(zhuǎn)移、可變資本的再生產(chǎn)對(duì)應(yīng)，第j部類產(chǎn)品當(dāng)中消耗的不變資本對(duì)于可變資本的固定不變倍數(shù)hj表示該部類的資本有機(jī)構(gòu)成.剩余價(jià)值M（t）j與可變資本V（t）j之間保持固定不變的比率，以ej表示，是第j部類的剩余價(jià)值率.以Y（t）j，X（t）j分別表示第j部類新創(chuàng)造價(jià)值、總產(chǎn)值，對(duì)確定了含義的字母前面加符號(hào)Δ表示在當(dāng)年再生產(chǎn)過程中所形成的增量，以M（t）xj表示第j 部類企業(yè)所有者把本部類的剩余價(jià)值中用于個(gè)人消費(fèi)的部分.由于剩余價(jià)值M（t）j是形成本部類的新增資本和企業(yè)所有者的剩余價(jià)值消費(fèi)的唯一來源，所以社會(huì)再生產(chǎn)公式中有剩余價(jià)值使用的行為方程：

ΔC（t）j+ΔV（t）j+M（t）xj=M（t）j，

j=Ι，ΙΙ. （1）

根據(jù)式（1）和每個(gè)部類內(nèi)部，總產(chǎn)值的各構(gòu)成部分之間保持固定不變關(guān)系，可以獲得社會(huì)再生產(chǎn)的當(dāng)年資本積累均衡方程：

ΔC（t）Ι+ΔC（t）ΙΙ=Y（t）Ι-C（t）ΙΙ. （2）

擴(kuò)大再生產(chǎn)是有剩余價(jià)值用作資本積累，成為新增不變資本和可變資本.以μ（t）j表示第j部類的剩余價(jià)值積累率，那么μ（t）j是擴(kuò)大再生產(chǎn)的決策變量，式（1）可以改寫成：

ΔC（t）j+ΔV（t）j=μ（t）jM（t）j.（3）

用兩大部類新創(chuàng)造價(jià)值之間的比例

φ（t）=Y（t）11/Y（t）1（4）

表示兩大部類總產(chǎn)品之間的結(jié)構(gòu)狀態(tài)，φ（t）是社會(huì)再生產(chǎn)系統(tǒng)中的狀態(tài)變量.φ（t）與資本有機(jī)構(gòu)成、剩余價(jià)值率參數(shù)hj，ej共同體現(xiàn)了兩大部類再生產(chǎn)系統(tǒng)的完整結(jié)構(gòu).由于總產(chǎn)值增量的各構(gòu)成增量之間也保持同樣的固定不變關(guān)系，將式（3）和φ（t）的表達(dá)式代入資本積累均衡方程式（2），得到：

h1e1（1+h1）（1+e1）μ（t）1

+h11e11（1+h11）（1+e11）φ（t）μ（t）11

=1-h111+e11φ（t）.（5）

式（5）是以兩個(gè)部類積累率為擴(kuò)大再生產(chǎn)的待定決策變量的資本積累均衡方程.可以把μ（t）Ι作為自由變量，從式（5）解出μ（t）ΙΙ：

μ（t）ΙΙ=1+hΙΙeΙΙ{1+eΙΙhΙΙφ（t）[1-hΙeΙ（1+hΙ）（1+eΙ）μ（t）Ι]-1}. （6）

式（6）就是擴(kuò)大再生產(chǎn)的解.陶為群（2015）證明了＼[4＼]，對(duì)于任何t年，在第Ⅰ部類資本利潤(rùn)率不高于第Ⅱ部類即eΙ/（1+hΙ）≤eΙΙ/（1+hΙΙ）的情形下，社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)持續(xù)進(jìn)行的充分必要條件是

φmin≤φ（t）<φmax， 式中φmin=11+eΙ（1+eΙΙhΙΙ）1+eΙ/（1+hΙ）1+eΙΙ/（1+hΙΙ）；φmax=1+eΙΙhΙΙ. （7）

并且決策中的自由變量μ（t）Ι的定義域是

Max0，（1+hΙ）（1+eΙ）hΙeΙ[1-φ（t）φmax（1+eΙΙ1+hΙΙ）]

≤μ（t）Ι≤Min（1+hΙ）（1+eΙ）hΙeΙ（1-φ（t）φmax），1 （8）

和μ（t）Ι>0.在第Ⅰ部類利潤(rùn)率高于第Ⅱ部類即eΙ/（1+hΙ）>eΙΙ/（1+hΙΙ）的情形下，社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)持續(xù)進(jìn)行的充分必要條件是

φ**≤φ（t）<φmax，式中

φ**=φmax1+eΙΙ/（1+hΙΙ）[1-hΙ1+eΙ（eΙΙ1+hΙΙ）]. （9）

并且決策中的自由變量μ（t）Ι的定義域是

Max0，（1+hΙ）（1+eΙ）hΙeΙ[1-φ（t）φmax（1+eΙΙ1+hΙΙ）]

≤μ（t）Ι≤MinμΙ*，（1+hΙ）（1+eΙ）hΙeΙ（1-φ（t）φmax）.（10）

式中μ*Ι=eΙΙ（1+hΙ）eΙ（1+hΙΙ） 和μ（t）Ι>0.

擴(kuò)大再生產(chǎn)的最一般結(jié)果就是有新增的產(chǎn)出.新創(chuàng)造價(jià)值Y（t）j是該部類凈額意義上的增加值，能夠一般地代表該部類的產(chǎn)出.該部類的第t+1年相對(duì)于第t年的新增產(chǎn)出是ΔY（t）j.根據(jù)總產(chǎn)值的各構(gòu)成部分之間保持固定不變關(guān)系以及式（3），可獲得各個(gè)部類的新增產(chǎn)出與積累率之間的確定關(guān)系式.

ΔY（t）j=ej1+hjμ（t）jY（t）j，j=Ι，ΙΙ. （11）

2個(gè)部類的新增產(chǎn)出總和是

ΔY（t）=ΔY（t）Ι+ΔY（t）ΙΙ. （12）

能夠最一般地表示社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)的結(jié)果.因而第t+1年相對(duì)于第t年全社會(huì)的產(chǎn)出增長(zhǎng)率是

ΔY（t）Y（t）=ΔY（t）Ι+ΔY（t）ΙΙY（t）Ι+Y（t）ΙΙ. （13）

將式（11）和φ（t）的表達(dá)式（4）代入式（13），得到：

ΔY（t）Y（t）=μ（t）ΙeΙ1+hΙ（11+φ（t））

+μ（t）ΙΙeΙΙ1+hΙΙ（φ（t）1+φ（t））. （14）

將式（6）所表示的擴(kuò)大再生產(chǎn)的解代入式（14），得到全社會(huì)的產(chǎn)出增長(zhǎng)率與狀態(tài)變量φ（t）和唯一的決策變量μ（t）Ι之間的關(guān)系式.

ΔY（t）Y（t）=1+hΙΙ+eΙΙhΙΙ（1+φ（t））-1

+μ（t）ΙeΙ（1+hΙ）（1+φ（t））[1-hΙ（1+eΙΙ）hΙΙ（1+eΙ）]. （15）

資本積累使下一年社會(huì)再生產(chǎn)的產(chǎn)出增加，而2個(gè)部類的新增產(chǎn)出會(huì)使2大部類結(jié)構(gòu)狀態(tài)發(fā)生變化.下一年的兩大部類結(jié)構(gòu)狀態(tài)與當(dāng)年的狀態(tài)和下一年的兩個(gè)部類產(chǎn)出增長(zhǎng)率有關(guān).

φ（t+1）=Y（t+1）ΙΙY（t+1）Ι=Y（t）ΙΙ（1+ΔY（t）ΙΙ/Y（t）ΙΙ）Y（t）Ι（1+ΔY（t）Ι/Y（t）Ι）

=φ（t）1+ΔY（t）ΙΙ/Y（t）ΙΙ1+ΔY（t）Ι/Y（t）Ι. （16）

當(dāng)?shù)趖年實(shí)現(xiàn)了擴(kuò)大再生產(chǎn)，可將式（11）代入式（16），得到：

φ（t+1）=φ（t）1+μ（t）ΙΙeΙΙ/（1+hΙΙ）1+μ（t）ΙeΙ/（1+hΙ）. （17）

再將2個(gè)部類積累率之間的關(guān)系式（6）代入式（17），得到下一年的結(jié)構(gòu)狀態(tài)與當(dāng)年決策變量μ（t）Ι之間的函數(shù)關(guān)系，也就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程.

φ（t+1）=1+eΙΙhΙΙ（1+eΙ）[1+hΙ+eΙ1+μ（t）ΙeΙ/（1+hΙ）-hΙ]. （18）

持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)是一序列靜態(tài)意義下的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)的前后銜接.由于資本積累會(huì)使兩大部類結(jié)構(gòu)狀態(tài)發(fā)生變化或者不發(fā)生變化，因而狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可以作為紐帶，通過第Ⅰ部類的資本積累把前后2個(gè)相鄰年份的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)的銜接起來.

3兩大部類持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的

動(dòng)態(tài)規(guī)劃及逆序解法

全社會(huì)的產(chǎn)出增長(zhǎng)能夠代表經(jīng)濟(jì)發(fā)展.以y（t）表示第t+1年相對(duì)于第t年的經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度.則

y（t）=1+ΔY（t）Y（t）. （19）

將式（15）代入式（19），得到經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度與決策變量之間的關(guān)系式：

y（t）=1+hΙΙ+eΙΙhΙΙ（1+φ（t））+μ（t）ΙeΙ（1+hΙ）（1+φ（t））[1-hΙ（1+eΙΙ）hΙΙ（1+eΙ）]. （20）

第t+1年的產(chǎn)出與當(dāng)年的經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度和第t年的產(chǎn)出具有確定的關(guān)系：

Y（t+1）=Y（t）y（t） （21）

考察持續(xù)n+1年的擴(kuò)大再生產(chǎn)，對(duì)于k=1，2，…， n，根據(jù)式（21），第k+1年的全社會(huì)產(chǎn)出是被第1年的產(chǎn)出和此后各年的全社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度所確定.

Y（k+1）=Y（1）∏kt=1y（t），k=1，2，…， n.（22）

根據(jù)式（20），決策變量影響著發(fā)展速度，因而經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度可以作為指標(biāo)函數(shù).

當(dāng)考察持續(xù)n+1年的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)，根據(jù)式（22）需要確定n個(gè)年份對(duì)于前一年的發(fā)展速度， 因而階段變量是n.擴(kuò)大再生產(chǎn)的狀態(tài)變量從第k年的φ（k）到第k+1年的φ（k+1）之間，對(duì)應(yīng)的階段指標(biāo)是第k+1年相對(duì)于第k年的經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度y（k）（k=1，2，…， n）.當(dāng)從第k年的兩大部類的結(jié)構(gòu)狀態(tài)φ（k）出發(fā)，采用后部k段子策略，則后部指標(biāo)函數(shù)是：

∏nt=ky（t） k=1，2，…， n. （23）

由于指標(biāo)函數(shù)是階段指標(biāo)的乘積，因而可以分離，根據(jù)式（23），有：

∏nt=ky（t）=y（k）∏nt=k+1y（t），

k=1，2，…， n-1. （24）

在一定條件下，式（18）、（20）和（24）可以構(gòu)成一個(gè)持續(xù)n+1年的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃，并且可以使用逆序解法求解.

根據(jù)式（23）可以確定，在從第k年的狀態(tài)φ（k）到第n+1年的終止?fàn)顟B(tài)的后部子過程，最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)是

fkφ（k）=Max∏nt=ky（t） k=1，2，…， n. （25）

使用逆序解法，根據(jù)式（24）和（25）可以列出持續(xù)n+1年的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)的逆序動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程：

fk（φ（k））=fk+1（φ（k+1））Max（y（k）），fn+1（φ（n+1））=1.

k=n，n-1，…，2，1 （26）

式（26）當(dāng)中的第二式為邊界條件.式（20）和（26）構(gòu)成動(dòng)態(tài)規(guī)劃的逆序解法的基本方程.

根據(jù)每個(gè)部類內(nèi)部總產(chǎn)值的各構(gòu)成部分之間的固定不變關(guān)系，第j 部類的不變資本產(chǎn)出率是Y（t）j/C（t）j=（1+ej）/hj，于是根據(jù)經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度與決策變量之間的關(guān)系式（20），在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高于第Ⅱ部類， 即

1+eΙhΙ>1+eΙΙhΙΙ （27）

的條件下，指標(biāo)y（t）是決策變量μ（t）Ι的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)；是狀態(tài)變量φ（t）的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù).現(xiàn)在根據(jù)逆序動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程式（26），首先確定從第n年到第n+1年的后部子過程最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)，最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)是Max（y（n）），也就是第n+1相對(duì)于n年的發(fā)展速度取得最大值.根據(jù)式（20），這就要求第n年決策變量μ（n）Ι取最大值并且狀態(tài)變量φ（n）取最小值.

根據(jù)第Ⅰ部類資本利潤(rùn)率不高于第Ⅱ部類或者高于第Ⅱ部類的兩種不同情形，擴(kuò)大再生產(chǎn)持續(xù)進(jìn)行的充分必要條件，分別是各年?duì)顟B(tài)變量的取值滿足式（7）或者式（9）.又根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程式（18），當(dāng)年決策變量將決定下一年的狀態(tài)變量，所以，各年?duì)顟B(tài)變量的取值滿足式（7）或者式（9）的約束條件又導(dǎo)致對(duì)于前一年決策變量取值的約束條件式（8）或者式（10），并且決策變量取值大于零.無論按照式（8）或者式（10）， 決策變量μ（t）Ι的最大值Max（μ（t）Ι）都是狀態(tài)變量φ（t）的單調(diào)減函數(shù)，記為Max（μ（t）Ι）=qΙ（φ（t））.根據(jù)式（8）和式（10），可以明確地寫出qΙ（φ（t））.在第Ⅰ部類資本利潤(rùn)率不高于第Ⅱ部類即eΙ/（1+hΙ）≤eΙΙ/（1+hΙΙ）的情形下，

qΙ（φ（t））=1，φmin≤φ（t）≤φmax11+eΙ（1+eΙ1+hΙ）；（1+hΙ）（1+eΙ）hΙeΙ（1-φ（t）φmax），

φmax11+eΙ（1+eΙ1+hΙ）≤φ（t）<φmax；

t=1，2，…， n. （28）

在第Ⅰ部類利潤(rùn)率高于第Ⅱ部類即eΙ/（1+hΙ）>eΙΙ/（1+hΙΙ）的情形下，

qΙ（φ（t））

=（1+hΙ）（1+eΙ）hΙeΙ（1-φ（t）φmax），

φmax[1-hΙ1+eΙ（eΙΙ1+hΙΙ）]≤φ（t）<φmax；μΙ*，φ**≤φ（t）<φmax[1-hΙ1+eΙ（eΙΙ1+hΙΙ）]；

t=1，2，…， n. （29）

于是在第n年的最優(yōu)決策是：

μ（n）Ι*=qΙ（φ（n））. （30）

而根據(jù)式（30）與式（28）或者式（29），最優(yōu)決策μ（n）Ι*又是第n年的狀態(tài)變量φ（n）的單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)φ（n）取最小值時(shí)μ（n）Ι*取得最大值.而根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程式（18），φ（n）是第n-1年的決策變量μ（n-1）Ι的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，因而φ（n）取最小值又逆向要求第n-1年的決策變量μ（n-1）Ι取最大值.歸結(jié)起來，第n年的最優(yōu)決策是決策變量μ（n）Ι取最大值并且狀態(tài)變量φ（n）取最小值；同時(shí)又逆向要求前一年也就是第n-1年的決策變量取最大值.繼續(xù)確定從第n-1年到第n+1年的后部子過程最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fn-1（φ（n-1））.根據(jù)逆序動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程式（26）和剛剛得到的解析結(jié)果，

fn-1φ（n-1）=1+hΙΙ+eΙΙhΙΙ（1+φ（n））

+μ（n）Ι*eΙ（1+hΙ）（1+φ（n））[1-hΙ（1+eΙΙ）hΙΙ（1+eΙ）]

×Max（y（n-1））. （31）

使用與上述同樣的道理解析，式（31）中的Max（y（n-1））要求第n-1年的最優(yōu)決策是決策變量取最大值，這一點(diǎn)與第n年的最優(yōu)決策逆向要求第n-1年的決策變量取最大值一致；并且第n-1年的最優(yōu)決策還要求狀態(tài)變量φ（n-1）取最小值，從而根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程式（18）也逆向要求前一年也就是第n-2年的決策變量取最大值.同樣道理，根據(jù)逆序動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程式（26）逆推下去，直到確定持續(xù)n+1年的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)的原過程的整體最優(yōu)函數(shù)f1（φ（1））.對(duì)于原過程的整體最優(yōu)決策的要求是各年份的決策變量μ（t）j都取最大值（t=1，2，…， n）并且第1年（初始年）的狀態(tài)變量φ（1）取最小值.

4兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃

最優(yōu)策略和整體最優(yōu)函數(shù)

根據(jù)后部子過程的最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)式（25）和逆序動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程式（26），原過程的整體最優(yōu)函數(shù)是：

f1（φ（1））=∏nt=1Max（y（t））. （32）

由于初始年?duì)顟B(tài)變量φ（1）是既定的，因而根據(jù)以上解析結(jié)果以及式（28）或者式（29），可以確定：

μ（1）Ι*=qΙφ（1）. （33）

進(jìn)而根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程式（18）和式（28）或者式（29），可以順序逐年迭代確定：

φ（t+1）=1+eΙΙhΙΙ（1+eΙ）[1+hΙ+eΙ1+eΙ1+hΙμ（t）Ι*-hΙ]，

μ（t+1）Ι*=qΙφ（t+1）；

t=1，2，…， n-1 .（34）

將式（33）和（34）代入整體最優(yōu)函數(shù)f1（φ（1）），f1（φ（1））就得以最終確定.

f1（φ（1））=∏nt=1{1+hΙΙ+eΙΙhΙΙ（1+φ（t））

+μ（t）Ι*eΙ（1+hΙ）（1+φ（t））[1-hΙ（1+eΙΙ）hΙΙ（1+eΙ）]}.

（35）

根據(jù)式（33）和（34），也最終確定從第1年到第n+1年原過程的最優(yōu)策略.

p1，n+1*=μ（n）Ι*，μ（n-1）Ι*，…，μ（1）Ι*. （36）

式（36）清晰地表明：持續(xù) n+1年擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題的最優(yōu)解，是一序列的靜態(tài)最優(yōu)化問題的序列解.擴(kuò)大再生產(chǎn)的初始狀態(tài)φ（1）和原過程的最優(yōu)策略共同確定了持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的最優(yōu)增長(zhǎng)路徑.

從以上解析的過程看到，持續(xù)n+1年的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)規(guī)劃也可以使用順序解法求解.

綜合以上解析的結(jié)果，在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高于第Ⅱ部類的條件下，只要初始年?duì)顟B(tài)變量φ（1）滿足擴(kuò)大再生產(chǎn)的充分必要條件式（7）或者式（9），那么式（20）、（25）、（26）可以構(gòu)成一個(gè)持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)規(guī)劃，并且可以使用逆序解法或者順序解法求解.全部過程的最優(yōu)策略由式（33）、（34）和（36）表示；整體最優(yōu)函數(shù)的取值由式（33）、（34）和（35）共同表示.最優(yōu)策略和整體最優(yōu)函數(shù)的取值都是被兩個(gè)部類的資本有機(jī)構(gòu)成、剩余價(jià)值率參數(shù)和初始年結(jié)構(gòu)狀態(tài)φ（1）唯一確定.

考慮連續(xù)n+1年的擴(kuò)大再生產(chǎn)優(yōu)化，應(yīng)當(dāng)以在n+1年里相對(duì)于初始產(chǎn)出Y（1）的各年新增產(chǎn)出總和最大作為目標(biāo)函數(shù)；也就是以n+1年里的各年產(chǎn)出總和最大作為目標(biāo)函數(shù).根據(jù)式（22），n+1年里各年產(chǎn)出總和是

∑n+1t=1Y（t）=Y（1）+∑nk=1Y（1）∏kt=1y（t）. （37）

在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高于第Ⅱ部類的條件下，只要初始年?duì)顟B(tài)變量φ（1）滿足擴(kuò)大再生產(chǎn)的充分必要條件式（7）或者式（9），則第k+1年的最大產(chǎn)出是

Max（Y（k+1））=Y（1）∏kt=1{1+hΙΙ+eΙΙhΙΙ（1+φ（t））

+μ（t）Ι*eΙ（1+hΙ）（1+φ（t））[1-hΙ（1+eΙΙ）hΙΙ（1+eΙ）]}，

k=1，2，…， n. （38）

各年產(chǎn)出的總和最大值是

Max∑n+1k=1Y（k）=Y（1）+∑nk=1MaxY（k+1）. （39）

將獲得的μ（t）Ι*代入式（6），就相應(yīng)確定μ（t）ΙΙ*；將獲得的μ（t）Ι*，μ（t）ΙΙ*代入式（3）以及式（1），可以確定第t年的每個(gè)部類新增不變資本、可變資本、企業(yè)所有者剩余價(jià)值消費(fèi)，也就是第k年兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)的一種具體安排（t=1，2，…， n）.

5數(shù)值計(jì)算兩大部類持續(xù)擴(kuò)大

再生產(chǎn)的最優(yōu)解

下面借助馬克思《資本論》第二卷第二十一章中的第二例＼[6＼]，對(duì)以上獲得的持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)解，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證.此例設(shè)定兩個(gè)部類結(jié)構(gòu)參數(shù)hⅠ=5，hⅡ=5.017 5，eⅠ=eⅡ=1，滿足第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高于第Ⅱ部類的條件.馬克思用此例做了連續(xù)三年的計(jì)算，說明一般情形下兩個(gè)部類的擴(kuò)大再生產(chǎn)過程.該例是本文所論析的第Ⅰ部類的資本利潤(rùn)率高于第Ⅱ部類即eΙ/（1+hΙ）>eΙΙ/（1+hΙΙ）的情形.直接引用該例中的第1年（起始年）數(shù)據(jù)，列在表1中的第1年的前3列.根據(jù)式（9），計(jì)算出φ**=0.199 8，φmax=0.398 6；于是兩大部類社會(huì)再生產(chǎn)的結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量取值區(qū)間是半開區(qū)間[0.199 8， 0.398 6 ）.第1年兩大部類社會(huì)再生產(chǎn)的結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量φ（1）=0.285， 處于上述半開區(qū)間內(nèi)，滿足兩大部類擴(kuò)大再生產(chǎn)持續(xù)進(jìn)行的充分必要條件式（9）.

現(xiàn)計(jì)算持續(xù)5年優(yōu)化擴(kuò)大再生產(chǎn)的結(jié)果，于是在動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型中n=4.根據(jù)式（33）和（34）計(jì)算出μ（t）Ι*和φ（t+1）（t=1，2，3，4）.再根據(jù)式（3）計(jì)算出ΔC（t）j*，ΔV（t）j*和ΔY（t）j*.結(jié)果列在表1.根據(jù)發(fā)展速度的定義計(jì)算出的各年發(fā)展速度實(shí)際值與按照式（20）計(jì)算出的各年發(fā)展速度最大值完全一致.于是，計(jì)算驗(yàn)證了所獲得的多年擴(kuò)大再生產(chǎn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù)正確.將表1中第1至5年的全社會(huì)新創(chuàng)造價(jià)值相加，總和是16 205，是5年全社會(huì)產(chǎn)出的最大值.

6結(jié)論

綜合以上研究結(jié)果表明，基于經(jīng)典的馬克思兩大部類社會(huì)再生產(chǎn)公式，可以建立離散確定型的持續(xù)擴(kuò)大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，并且在生產(chǎn)資料部類的不變資本產(chǎn)出率高的條件下，使用逆序解法或者順序解法獲得唯一的最優(yōu)解.最優(yōu)解是被兩個(gè)部類的資本有機(jī)構(gòu)成、剩余價(jià)值率參數(shù)和初始年結(jié)構(gòu)狀態(tài)所確定.

參考文獻(xiàn)

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