文深圳市布吉高級(jí)中學(xué) 李金晟

優(yōu)化例題設(shè)計(jì)，提升學(xué)生思維

文深圳市布吉高級(jí)中學(xué) 李金晟

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，要讓學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式，要鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)，通過(guò)課堂的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成理性的思維能力.這就需要教師精心設(shè)計(jì)課堂的每一個(gè)環(huán)節(jié)，特別是每一個(gè)例題，幫助學(xué)生落實(shí)每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，把學(xué)生的思維提升到一定的深度、廣度和寬度，使學(xué)生真正達(dá)到“融會(huì)貫通，舉一反三”的狀態(tài).

一、例題梯度化，突破學(xué)生的思維深度

高中數(shù)學(xué)中會(huì)遇到很多的難題，比如函數(shù)、圓錐曲線等都會(huì)出現(xiàn)綜合性的題目，如果學(xué)生對(duì)于分塊的知識(shí)沒(méi)有學(xué)好，在解決難題的過(guò)程中就會(huì)出現(xiàn)思維斷層的情況，所以平時(shí)設(shè)置例題時(shí)應(yīng)由易到難、由簡(jiǎn)到繁、由基本到變式、由低級(jí)到高級(jí)的梯度發(fā)展順序去安排，讓不同的學(xué)生都學(xué)有所得.比如例題：若函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a（a∈R）區(qū)間［-1，1］上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.如直接講解，在短時(shí)間內(nèi)學(xué)生無(wú)法理解和掌握，并且印象不深，因此可以先分解成一系列的例題串：

例1.若二次函數(shù)f（x）=2ax2+ 2x-3-a（a∈R）有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

例2.若函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a（a∈R）有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

例3.若函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a（a∈R）區(qū)間［-1，1］上有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

例4.若函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a（a∈R）區(qū)間［-1，1］上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

例5.若函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a（a∈R）區(qū)間［-1，1］上有零點(diǎn)，求的取值范圍.

通過(guò)以上幾個(gè)例題的梯度遞進(jìn)，將復(fù)雜的問(wèn)題一一進(jìn)行分解，起到化整為零的效果.加深了學(xué)生對(duì)于零點(diǎn)分布的整體性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)能進(jìn)行剖析和分解，從各種角度、各個(gè)方面形成遞進(jìn)的思維習(xí)慣，從而逐步提升學(xué)生思維的深度.

二、例題體系化，擴(kuò)展學(xué)生的思維廣度

新課程要求從不同的角度培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.設(shè)計(jì)例題時(shí)，可根據(jù)具體內(nèi)容，通過(guò)一堂課或者是幾堂課將數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行體系化，設(shè)置系統(tǒng)的、全面的、多角度的例題體系，讓學(xué)生能在有限的題目中舉一反三，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體化的建構(gòu)過(guò)程.如利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決曲線切線問(wèn)題時(shí)學(xué)生容易思維混亂，以致于出現(xiàn)不知從何入手的情況，這就需要教師利用不同的例題類型全面地強(qiáng)化學(xué)生對(duì)切線的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而形成認(rèn)知體系.

例1.求曲線y=x3-3x2+1在（1，-1）點(diǎn)處的切線方程.

例2.求與直線2x-y+4=0的平行的拋物線的y=x2切線方程.

例3.求過(guò)曲線y=x3-2x上的點(diǎn)（1，-1）的切線方程.

例5.已知函數(shù)y=x3-3x，過(guò)點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程.

例6.已知函數(shù)y=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值，過(guò)點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程.

例8.設(shè)函數(shù)y=x3+ax2-9x-1 （a＜0），若曲線y=f（x）的斜率最小的切線與直線12x+y=6平行，求a的值.

利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決切線問(wèn)題可以有四種類型：已知切點(diǎn)、已知斜率、已知過(guò)曲線上一點(diǎn)、已知過(guò)曲線外一點(diǎn)等求切線方程.分別通過(guò)例1至例5強(qiáng)化每一種情況的使用技巧，進(jìn)而總結(jié)出利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決切線問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵步驟：一是找切點(diǎn)（確定切點(diǎn)在不在曲線上，不在或未知就設(shè)出切點(diǎn)），二是寫(xiě)出切線的斜率（就是切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值），三是寫(xiě)切線（或代點(diǎn)求切點(diǎn)再寫(xiě)切線）.經(jīng)過(guò)以上例題系列的訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)有了完整的認(rèn)識(shí)，以后碰到切線相關(guān)題目就能夠作出清晰的分析過(guò)程.例6、例7、例8是對(duì)切線問(wèn)題的綜合應(yīng)用，進(jìn)一步擴(kuò)展了學(xué)生思維的廣度.

例題是課堂的主干，是課堂的“脈絡(luò)”，抓住了課堂的“脈絡(luò)”，就抓住了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體系.通過(guò)精細(xì)化的例題設(shè)計(jì)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在梯度、體系、層次的例題設(shè)計(jì)中，完成一次思維的飛躍，不斷建構(gòu)學(xué)生自己的數(shù)學(xué)能力體系，才能變“被動(dòng)學(xué)習(xí)”為“主動(dòng)學(xué)習(xí)”，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知程度，進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.

責(zé)任編輯 羅 峰