建筑結(jié)構(gòu)可靠度分析方法比較

文/馮惠苗 北京中外建建筑設(shè)計(jì)有限公司重慶分公司 重慶 400045

呂長浩 廣東省華城建筑設(shè)計(jì)有限公司重慶分公司 重慶 400045

建筑結(jié)構(gòu)可靠度分析方法比較

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詳細(xì)闡述了結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法，對(duì)一次二階矩法中的中心點(diǎn)法、HL法、JC法、幾何法，二次二階矩法，響應(yīng)面法，蒙特卡羅法，基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算方法進(jìn)行了分析；同時(shí)對(duì)四種常用的方法JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法，根據(jù)影響其結(jié)果精度的因素，以直接的蒙特卡羅法的結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)解，對(duì)其結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

結(jié)構(gòu)可靠度；JC法；幾何法；二次二階矩法；基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法；功能函數(shù)

1 結(jié)構(gòu)可靠度的計(jì)算方法

1.1 一次二階矩法

一次二階矩法計(jì)算簡便，其要點(diǎn)是非正態(tài)隨機(jī)變量的正態(tài)變換及非線性功能函數(shù)的線性化。

1.1.1 中心點(diǎn)法

設(shè)結(jié)構(gòu)構(gòu)件功能函數(shù)為）

式中 Xi（ i = 1 ，2 ，… ，n ） 為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量。

將功能函數(shù)在 X i （i = 1 ，2 ，… ，n ） 的均值點(diǎn) μXi（ i = 1 ，… ，n ） 展 T a y l o r 級(jí)數(shù)，僅保留線性項(xiàng)。有

Z的均值和方差

結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)

該方法對(duì)于非線性功能函數(shù)，因略去二階及更高階項(xiàng)，誤差將隨著線性化點(diǎn)到失效邊界距離的增大而增大，而均值法中所選用的線性化點(diǎn)（均值點(diǎn)）一般在可靠區(qū)而不在失效邊界上，誤差較大[2］。

1.1.2 改進(jìn)一次二階矩法（HL法）

針對(duì)均值一次二階矩法的上述問題，人們把線性化點(diǎn)選在失效邊界上，且選在與結(jié)構(gòu)最大可能失效概率對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)上，以克服均值一次二階矩法存在的問題，提出了改進(jìn)的一次二階矩法。該方法無疑優(yōu)于均值一次二階矩法，為工程實(shí)際可靠度計(jì)算中求解 β 的基礎(chǔ)。

Z的均值和方差

結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠指標(biāo)可表示為

設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)

考慮到設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn) p*應(yīng)位于極限狀態(tài)曲面上，故，因此式（11）可寫為

由于p*未知，不能直接利用上式求β。故β的求取只能采用迭代法。

但該方法只是在隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、正態(tài)分布和線性極限狀態(tài)方程才是精確的，否則只能得到近似的結(jié)果[1］。

1.1.3 JC法

針對(duì)工程結(jié)構(gòu)各隨機(jī)變量的非正態(tài)性，拉克維茨提出了JC法。其基本原理是將非正態(tài)的變量當(dāng)量正態(tài)化，替代的正態(tài)分布函數(shù)要求在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處的累積概率分布函數(shù)（CDF）和概率密度函數(shù)（PDF）值分別和原變量的CDF值、PDF值相等。當(dāng)量正態(tài)化后，采用改進(jìn)一次二階矩法的計(jì)算原理求解結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)。

（1）在驗(yàn)算點(diǎn)處，當(dāng)量前后分布函數(shù)值相等；

（2）當(dāng)量前后概率密度函數(shù)值相等。所以有：

1.1.4 幾何法

用以上方法計(jì)算時(shí)，迭代次數(shù)多，而且極限狀態(tài)方程為高次非線性時(shí)誤差較大，為此專家們提出幾何法即是優(yōu)化算法。根據(jù)可靠指標(biāo)的幾何意義，可靠指標(biāo)的獲得也就是在功能函數(shù)面上尋找一點(diǎn)y*，使該點(diǎn)與均值點(diǎn)的距離最短，從而使問題成為一個(gè)優(yōu)化問題，即：目標(biāo)函數(shù)：β = min （y*T · y*）1/2；約束條件：g（y*） = 0。用幾何法求解可靠指標(biāo)β的思路：先假設(shè)驗(yàn)算點(diǎn)x*，將驗(yàn)算點(diǎn)值代入極限狀態(tài)方程g（x），若g（x*）≠0，則沿著g（x） = g（x*）所表示的空間曲面x*點(diǎn)處的梯度方向前進(jìn)（后退），得到新的驗(yàn)算點(diǎn)x*代入極限狀態(tài)方程，若g （x*） ＞ ε，其中ε為控制精度，繼續(xù)迭代；若g（x*）≤ ε則表示該驗(yàn)算點(diǎn)已在失效邊界上，迭代停止，即可求出β和x*的值。

設(shè)隨機(jī)變量 X=（x1，x2，…，xn）T為相互獨(dú)立的正態(tài)變量，通過變換得到一組相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Y=（y1，y2，…，yn）T。

式中[T］，｛B｝分別為

于是得到如下所示的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)

式中mxi為隨機(jī)變量xi的均值，σxi為隨機(jī)變量xi的標(biāo)準(zhǔn)差。

可用下面的迭代公式求得結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)β

式中｛a｝和a分別為迭代點(diǎn)的移動(dòng)方向及步長，即

幾何法與一般的一次二階矩法相比，具有迭代次數(shù)少、收斂快、精度高的優(yōu)點(diǎn)，但其結(jié)果亦為近似解。

1.2 二次二階矩法

假設(shè)功能函數(shù)Z（X）= g（X）對(duì)于相關(guān)隨機(jī)變量 X = （X1，X2，...，Xn）T的相關(guān)系數(shù)為 ρXi，Xj（i≠j），根據(jù)邊際概率分布函數(shù)相等的原則，可以將其轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量 Y= （Y1，Y2，...，Yn）T，假設(shè)其相關(guān)系數(shù)矩陣為（25），顯然，當(dāng)X為正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，ρYi，Yj= ρXi，Xj（i≠j），當(dāng)X為非正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，ρYi，Yj≈ ρXi，Xj（i≠j）。

從而結(jié)構(gòu)失效概率表達(dá)式為：

最終可以近似為：

其中：

β為一階矩可靠指標(biāo)；y*為驗(yàn)算點(diǎn)；I 為單位矩陣；H′為正交變換矩陣，用于對(duì)隨機(jī)變量Y′（=AY） 做正交變換：Y′=H′U；A 為相關(guān)系數(shù)矩陣ρY分解得到的下三角矩陣，即有ρY=AAT。

利用曲率κ （即 （H′TQ′H′）n-1的特征值矩陣），式（27）可以改寫為：

從公式的表達(dá)上可以看出，二次二階矩法的結(jié)果是在一次二階矩法結(jié)果的基礎(chǔ)上乘一個(gè)考慮功能函數(shù)二次非線性影響的系數(shù)，所以可以看作是對(duì)一次二階矩法結(jié)果的修正。需要強(qiáng)調(diào)的是，在廣義隨機(jī)空間中，對(duì)于隨機(jī)變量變換前后相關(guān)系數(shù)的取值依據(jù)的是變換前后的相關(guān)系數(shù)近似相等，這相當(dāng)于一次二階矩法隨機(jī)變量間的一次變換，對(duì)于二次二階矩法是否考慮隨機(jī)變量間的二次變換項(xiàng)，以及二次變換項(xiàng)如何考慮是需要進(jìn)一步研究的問題。

1.3 響應(yīng)面法

對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言，常難以寫出功能函數(shù)的顯式，而直接的數(shù)值模擬工作量太大，為此一些學(xué)者提出用響應(yīng)面法確定結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。該方法的基本思想是采用有限次的數(shù)值試驗(yàn)，通過回歸擬合解析表達(dá)式來代替真實(shí)功能函數(shù)曲面 Z= G（X1，X2，… ，XN），用二次多項(xiàng)式不含交叉項(xiàng)表示響應(yīng)面函數(shù)的形式為

然后用插值方法來確定表達(dá)式中的未知參量，關(guān)鍵在于確定響應(yīng)面函數(shù)的系數(shù)。多項(xiàng)式系數(shù)的確定一般以試驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，應(yīng)用二水平因子設(shè)計(jì)或中心復(fù)合設(shè)計(jì)回歸得到特定因子的最小二乘估計(jì)。響應(yīng)面法用二次多項(xiàng)式代替大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)，并且通過系數(shù)的迭代調(diào)整，一般都能滿足實(shí)際工程精度，具有較高的效率，很有使用價(jià)值，是一個(gè)很有發(fā)展前景的計(jì)算方法。

1.4 蒙特卡羅法

蒙特卡羅法又稱隨機(jī)抽樣技巧、概率模擬方法和統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法。其理論基礎(chǔ)是概率論中的大數(shù)定理，因此它的優(yōu)點(diǎn)是其應(yīng)用范圍幾乎沒有什么限制。對(duì)基本變量相互獨(dú)立的情況，設(shè)基本變量X1，X2，…，Xn的分布函數(shù)分別為Fx1（x1），F(xiàn)x2（x2），…，F(xiàn)xn（xn），令Fxi（xi） = rj，rj是由蒙特卡羅法產(chǎn)生的隨機(jī)序列中的一個(gè)數(shù)。由此得到xi= F-1

xi（rj），i=1，2，…，n。對(duì)于每個(gè) rj值可產(chǎn)生每個(gè)基本變量的相互獨(dú)立的子樣xi，將這些值帶入失效函數(shù)g（x）得出一個(gè)取值。若g（x）≤0，則在計(jì)算機(jī)程序中記入一次失效函數(shù)的實(shí)現(xiàn)；若 g（x）＞0，則不記入，這樣就完成了一次計(jì)算，再產(chǎn)生下一隨機(jī)數(shù)，重復(fù)上面的計(jì)算，直至完成預(yù)定的試驗(yàn)次數(shù)為止。

此時(shí)，失效概率為

式中，n是試驗(yàn)的總次數(shù)，k是試驗(yàn)中g(shù)（x）≤0的次數(shù)，比值k/n是統(tǒng)計(jì)變量，對(duì)于低的失效概率或n較小時(shí)，估算Pf值容易發(fā)生相當(dāng)大的不定性。但當(dāng)模擬次數(shù)很大時(shí)，直至趨于無窮大時(shí)，能夠得出精確的 Pf值；若基本隨機(jī)變量相關(guān)時(shí)，利用條件概率密度，把多維問題化為一維問題來解決。

2 算例及各算法精度比較

2.1 函數(shù)非線性程度的影響

對(duì)于式（32）形式的功能函數(shù)，其非線性程度主要取決于系數(shù)k的大小，取k=1，2，3，4，5，6共六種工況進(jìn)行分析。

假設(shè)X1為正態(tài)隨機(jī)變量，X1的均值μx1=20，標(biāo)準(zhǔn)差σx1=4，對(duì)JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如下表所示。

表1 HL法與幾何法迭代次數(shù)比較

表2 不同非線性各算法精度比較

由表 1的數(shù)據(jù)可以看出，一次二階矩法中的幾何法在計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)時(shí)，其迭代次數(shù)與JC法相當(dāng)。

由表2的數(shù)據(jù)可以看出，幾何法的計(jì)算結(jié)果與JC法的計(jì)算結(jié)果相同；k=1時(shí)，即功能函數(shù)為線性時(shí)，JC法、幾何法、二次二階矩法、優(yōu)化的 MC法的計(jì)算結(jié)果相同且都很接近于標(biāo)準(zhǔn)解；當(dāng)功能函數(shù)為非線性函數(shù)時(shí)，二次二階矩法的計(jì)算結(jié)果均大于一次二階矩法的計(jì)算結(jié)果；當(dāng)1＜k＜3時(shí)，此時(shí)功能函數(shù)非線性程度較小，幾何法、JC法、二次二階矩法、優(yōu)化的MC法的計(jì)算結(jié)果有較小誤差，仍接近標(biāo)準(zhǔn)解；k≥3時(shí)，隨著功能函數(shù)非線性程度的增大，四種方法的計(jì)算結(jié)果的誤差有所增大，優(yōu)化的MC法誤差最大；但k=5時(shí)，幾何法、JC法、二次二階矩法的結(jié)果接近于標(biāo)準(zhǔn)解。

2.2 函數(shù)變量類型的影響

對(duì)式（32）的功能函數(shù)，針對(duì)不同的變量類型，X1分別取對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量、極值I型隨機(jī)變量，取 k=1，X1的均值 μx1=20，標(biāo)準(zhǔn)差σx1=4，分別運(yùn)用JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)，并與上述正態(tài)隨機(jī)變量情況下對(duì)比，如下表所示。

表3 不同變量類型各算法精度比較

由表3的數(shù)據(jù)可知，k=1時(shí)，此時(shí)功能函數(shù)為線性函數(shù)：當(dāng)X1為正態(tài)隨機(jī)變量和對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果接近于標(biāo)準(zhǔn)解，但正態(tài)隨機(jī)變量的結(jié)果精度要優(yōu)于對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量的結(jié)果；當(dāng)X1為極值I型隨機(jī)變量時(shí)，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的結(jié)果誤差較大。

2.3 函數(shù)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)的影響

假設(shè)X1為正態(tài)隨機(jī)變量，X1的均值μx1=20，取 k=1，2，X1標(biāo)準(zhǔn)差 σx1=4，5，6，7，8，9。以六種工況比較JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果，如下表所示。

表4 變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)不同各算法精度比較（k=1）

表5 變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)不同各算法精度比較（k=2）

由表4數(shù)據(jù)可知，k=1，功能函數(shù)為線性函數(shù)時(shí)，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果相同，都很接近于標(biāo)準(zhǔn)解，且隨著變量X1標(biāo)準(zhǔn)差的增大，精度變化不大。

由表5數(shù)據(jù)可知，k=2，功能函數(shù)為非線性函數(shù)時(shí)，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果的精度隨著變量X1標(biāo)準(zhǔn)差的增大而降低，且小于對(duì)應(yīng)的表4的數(shù)據(jù)。

3 結(jié)論

通過以上對(duì)可靠度理論的常用的四種計(jì)算方法的研究，有如下結(jié)論：

（1）當(dāng)功能函數(shù)為線性函數(shù)或非線性程度較低，變量為正態(tài)隨機(jī)變量或?qū)?shù)正態(tài)隨機(jī)變量，且變異系數(shù)較小時(shí)，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果均可滿足工程需要；

（2）當(dāng)功能函數(shù)非線性程度較高，變量為極值I型隨機(jī)變量，且變異系數(shù)較大時(shí)，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果均有較大誤差。

[1]李典慶，周建方.結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法述評(píng) [J］.河 海 大 學(xué) 常 州 分 校 學(xué)報(bào)，2000，14（1）：34-42.