王 洪 馬 智 江浩東 高 明

(數(shù)學工程與先進計算國家重點實驗室(信息工程大學) 鄭州 450001)(007jieyong@sina.com)

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測量設備無關量子密鑰分配的綜合參數(shù)估計

王 洪 馬 智 江浩東 高 明

(數(shù)學工程與先進計算國家重點實驗室(信息工程大學) 鄭州 450001)(007jieyong@sina.com)

參數(shù)估計(單光子計數(shù)率與誤碼率)是影響誘騙態(tài)MDI-QKD(measurement device-independent quantum key distribution)成碼率的重要因素.利用綜合估計的方法，研究采用自發(fā)參量下轉換(spontaneous parametric down conversion, SPDC)源的MDI-QKD參數(shù)估計問題.區(qū)別于已有的獨立估計方法，從平均計數(shù)率和誤碼率方程組中得到參數(shù)解析式，然后充分考慮參數(shù)之間的關聯(lián)性，將其作為一個整體函數(shù)進行分析.通過在閉區(qū)間內求函數(shù)最小值，給出了更緊的安全碼率估計.該方法為進一步提升此類MDI-QKD協(xié)議的性能提供了思路.

量子密鑰分配；誘騙態(tài)；測量設備無關；自發(fā)參量下轉換源；統(tǒng)計漲落

量子密鑰分配(quantum key distribution, QKD)具有理論上的無條件安全性，然而，實際系統(tǒng)不可避免地會存在誤差和缺陷，從而帶來安全問題.探測器是QKD系統(tǒng)的重要部件，當前針對實際QKD系統(tǒng)的攻擊方案大部分是基于探測器漏洞開展的.如果能解決探測器漏洞則很大程度上能夠提升實際QKD系統(tǒng)的安全性.Lo等人[1]提出測量設備無關(measurement device-independent, MDI)QKD，該方案對探測端設備沒有任何要求，甚至可以假設其是不可信的.鑒于MDI-QKD良好的安全性和可行性，眾多研究者對其進行了深入的理論與實驗研究.

圖1 基于參量下轉換源的MDI-QKD

MDI-QKD的一個基本安全假設是源可信，然而，在當前技術條件下，理想的單光子源并不具備良好的實用性.因此，采用弱相干源(weak coherent state source, WCSs)或自發(fā)參量下轉換(spontaneous parametric down conversion, SPDC)源，結合成熟的誘騙態(tài)方法成為更好的選擇.在成碼率公式中，關鍵是給出單光子產率(yield)Y11的下界和誤碼率e11的上界.不少研究者對結合誘騙態(tài)方法的MDI-QKD進行了深入研究，給出了各種有效的估計方法.核心思想是在假設相同光子數(shù)脈沖具有相同計數(shù)率和誤碼率的基礎上聯(lián)立方程，分別對隱私放大項中的2個參數(shù)Y11和e11進行估計.事實上，這2個參數(shù)之間存在一定的關聯(lián)，分別估計時，Y11的下界和e11的上界很可能無法同時達到.因此，獨立估計得到的碼率不夠緊致.針對這一問題，我們在前期工作中提出了針對弱相干光源的綜合估計的方法，給出了更好的碼率估計[2].

SPDC源是除WCSs外的另一類實際可用光源，雖然目前沒有后者應用廣泛，但其理論與實驗研究也引起了廣泛關注[3-5].事實上，在Wang(王向斌)等人[6]的研究工作中，并沒有對光子數(shù)分布的具體形式做限定，只是要求其滿足一定的性質.因此，在其框架下，SPDC源與WCSs均可直接應用.

從本質上來說，在誘騙態(tài)MDI-QKD的安全碼率公式中，核心是要估計表達式Y11[1-h(e11)](這里將其稱為隱私放大項)的下界.本文采用綜合估計的方法，研究基于SPDC源的MDI-QKD參數(shù)估計問題.從平均計數(shù)率與誤碼率聯(lián)立方程中直接給出含單光子計數(shù)率Y11和誤碼率e11的隱私放大項解析式，同時在閉區(qū)間內求該解析式的最小值，得到了更緊的估計值，提升了協(xié)議的安全密鑰率.

1 基于參量下轉換源的MDI-QKD

對于采用SPDC源的MDI-QKD方案，其基本原理如圖1所示.圖1中，PDC表示非退化的SPDC過程，BS是分束比為50∶50的分束器，PM是相位調制器.Alice和Bob分別控制其光源發(fā)送脈沖，經過非線性晶體后，自發(fā)產生非退化的參量下轉換過程.根據(jù)標記探測器工作狀態(tài)的不同會產生2類信號：一類是標記量子態(tài)；另一類信號經過分束器BS，分成參考量子態(tài)和信號量子態(tài).信號量子態(tài)經過相位調制器PM加載相位信息后，完成信號編碼過程.隨后，參考量子態(tài)和信號量子態(tài)均經過不安全的量子信道，發(fā)送給非可信第三方進行Bell測量.最后，進行后處理過程，提取安全密鑰.事實上，脈沖自Alice和Bob發(fā)出后，這種方案和標準的MDI-QKD基本框架是一致的.值得注意的是，在這類方案中，量子態(tài)的制備會涉及探測過程，即標記探測器.這里對探測的要求和最終的第三方Bell測量不同，必須保證是可信的.這和MDI-QKD本身的要求并不矛盾，因為這里的標記探測屬于信號源的范疇，可以置于可信區(qū)域.

本文主要分析對象是已有的主被動三強度MDI-QKD協(xié)議[7]，該協(xié)議實際上是在標準的被動誘騙態(tài)協(xié)議中主動增加一個誘騙態(tài).下面對其進行簡單描述.

Alice和Bob分別選擇3種不同的光強：真空態(tài)0，誘騙態(tài)vA，信號態(tài)μA(0，vB，μB)，并制備對應的量子態(tài)；取決于標記探測器的工作狀態(tài)，不同光強的脈沖均被分為2部分：標記脈沖和非標記脈沖.Alice和Bob的脈沖信號進一步經過分束器BS后，其中一路利用相位調制器PM進行相位信息的加載，然后2路信號通過不安全信道發(fā)送給非可信第三方，完成聯(lián)合Bell測量.協(xié)議的基本前提：即使是不同強度的光信號(信號態(tài)和誘騙態(tài))，其相同光子數(shù)脈沖具有相同的計數(shù)率和誤碼率.

2 隱私放大項的綜合估計

在上述協(xié)議中，如果只考慮Z基下的標記脈沖成碼，則碼率公式為

(1)

如果同時考慮非標記脈沖，則碼率公式為

(2)

因此，協(xié)議的最終安全密鑰率為

R=max{RT,R*}.

(3)

2.1 單光子計數(shù)率和誤碼率

基本思路：通過分析發(fā)現(xiàn)，已有工作均是將單光子計數(shù)率Y11和誤碼率e11當作獨立的變量，分別考慮其上下界.然而，正如我們之前指出的，這2個參數(shù)存在一定的關聯(lián)性，很可能無法同時取到最優(yōu)值，因而導致碼率估計不夠緊致.事實上，我們可以采取綜合估計的辦法，即綜合考慮2個參數(shù)構成的整體函數(shù).綜合考慮后，可以將求隱私放大項下界轉換為求閉區(qū)間內連續(xù)函數(shù)最小值問題，從而充分提取參數(shù)間的關聯(lián)信息，最終改進碼率估計.

針對第1節(jié)的主被動三強度協(xié)議，在估計參數(shù)時，僅考慮雙方同為標記誘騙態(tài)和同為非標記信號態(tài)的情形，列出平均計數(shù)率與誤碼率的方程.事實上，可以同樣考慮信號態(tài)與誘騙態(tài)的不同組合，得到更多的方程，從而進一步改進參數(shù)估計過程.本文的重點是綜合估計方法，因此不再深入討論更多方程的估計問題.

對SPDC源來說，在標記使用時，Alice和Bob需要利用探測器對其中一個模式的脈沖進行標記,這取決于標記探測器的工作狀態(tài).另一個脈沖有2種使用方式：第1種是主動使用方式，即舍棄未標記成功的量子信號，而標記成功的量子信號用于成碼；第2種稱為標記使用方式，其中標記和非標記信號均用于產生原始密鑰.

類似文獻[7]，我們同樣要求標記信號態(tài)和非標記誘騙態(tài)脈沖的光子數(shù)分布滿足條件：

(4)

此時，可列出2個平均計數(shù)率方程：

(5)

Y11=

(7)

事實上，式(6)中雙方光子數(shù)之和大于等于3的部分可以單獨考慮，分析可知，λ1≥0，λ2≥0，ωdA,dB≥0，因此可將公式重新記為：

Y11=Q+ρYρ，

(8)

(9)

其中，J={(m,n)|m≥1,n≥1,m+n≥3}.

(10)

這里，為了進行聯(lián)合估計，我們采用與計數(shù)率估計類似的方法，列出2個誤碼率方程，求解得到：

e11Y11=QE+ρeρYρ，

(11)

由于ρYρ≥0，因此在已有分析中，為估計單光子計數(shù)率Y11的下界，可以在式(8)中直接取ρYρ=0，即取單光子計數(shù)率的下界Y11=Q；而對于誤碼率e11的上界估計，通常由式(10)估計，或者在式(11)中取eρYρ=1求出上界.顯然，ρYρ=0和eρYρ=1不可能同時成立，因此，這種方法并不能得到緊的參數(shù)估計.

2.2 參數(shù)綜合估計

根據(jù)上面給出的解析式可知:

F(eρ,Yρ)

Y11(1-H(e11)).

(12)

可以看出，如果采取對2個參數(shù)Y11和e11進行獨立估計的方法，則函數(shù)F(eρ,Yρ)無法取到最優(yōu)值.因此，我們綜合考慮2個參數(shù)之間可能存在的關聯(lián)，直接從雙變元函數(shù)F(eρ,Yρ)出發(fā)，求整體的最優(yōu)值.

從文化生態(tài)學理論的角度看，“非遺”的傳承、保護和發(fā)展成效主要受代表性傳承人，傳承保護的內容、方式、機制，以及整體機理的構建等因素的影響。這些要素綜合起來，構成了“非遺”傳承保護的生態(tài)環(huán)境。它們以不同的方式組合起來，構成了“非遺”傳承保護模式。江蘇的“非遺”傳承保護主要存在以下四種模式。

首先需要引入我們之前證明過的一個引理[2]：

則函數(shù)的非零最小值可在3種情形下取到：

1)U-bL-a，則最小值為

2)U-b

3)U-b≥c，則最小值為

結合引理1，可以直接估計隱私放大項的最優(yōu)值：

(13)

3 性能分析

3.1 統(tǒng)計漲落分析

正如本文之前提到的，實際條件下的QKD安全必須考慮有限碼長因素，在碼率公式中分析統(tǒng)計漲落帶來的影響.為了與已有結果進行公平比較，我們采用標準誤差分析方法.

統(tǒng)計漲落分析，重點是對由實驗觀測得到的平均計數(shù)與誤碼率進行誤差估計.采用標準誤差分析方法，通常認為觀測值服從某個區(qū)間內的正態(tài)分布.對于平均計數(shù)率QμAμB，可以得到其取值區(qū)間為

QμAμB(1-α

QμAμB(1-α，

其中，NμAμB是給定光強下，發(fā)送的總脈沖數(shù)，α與具體安全參數(shù)有關，通常取α=5.

(14)

(15)

(16)

包含統(tǒng)計漲落的單光子誤碼率上界也可類似進行討論，最終可以給出其取值的上界：

(17)

3.2 數(shù)值模擬

本節(jié)主要通過數(shù)值仿真比較綜合估計方法與原始方法的性能.為了比較的公平性，采用與文獻[7]一致的理論方法計算參數(shù)估計過程中涉及到的平均計數(shù)率與誤碼率.

首先，在標記使用時，取決于標記探測器的工作狀態(tài)，SPDC源發(fā)出的脈沖可以分為2類：標記脈沖和非標記脈沖，其對應的光子數(shù)分布與文獻[7]一致.

根據(jù)文獻結論，標記使用時，平均計數(shù)率公式為

Qα β=[Dr0(1-Dr1)+(1-Dr0)Dr1][Ds0(1-

Ds1)+(1-Ds0)Ds1],

(18)

其中，α∈{0,vA,μA}，β∈{0,vB,μB}.

因此，只需要計算各類情形下，探測器成功探測到光子的概率Dri，Dsi，i∈{0,1}，即可得到具體的平均計數(shù)率.對于非標記脈沖，根據(jù)其光子數(shù)分布(文獻[7]中的式(9)和式(10))，可以直接計算得到每個探測器成功探測到光子的概率為

(19)

(20)

類似地，標記脈沖也可同樣進行計算.需要注意的是，對于Alice或Bob選擇真空態(tài)光強，即α=0或者β=0時，探測器成功探測到光子的概率Dri，Dsi，i∈{0,1}需要根據(jù)對應的光子數(shù)分布重新計算，不能直接套用式(19)和式(20)的結論.

數(shù)值模擬采用的基本實驗參數(shù)參見表1.其中，光纖信道的衰減系數(shù)α=0.2 dBkm，實際糾錯算法的效率f=1.16，(光學組件和探測設備)探測效率ηD=0.145，探測系統(tǒng)發(fā)生錯誤的概率為ed=0.015，探測系統(tǒng)的背景噪聲計數(shù)率pd=3×10-6.

表1 基于參量下轉換源的MDI-QKD數(shù)值模擬參數(shù)

此外，雙方的誘騙態(tài)和信號態(tài)光源基本參數(shù)為

圖2中對雙方發(fā)送的總脈沖數(shù)分別為N=1013和N=1014時，原始估計方法與本文估計方法的成碼率進行了比較.其中，曲線Global 14表示發(fā)送脈沖為N=1014時，本文綜合估計方法給出的碼率，單光子計數(shù)率和誤碼率分別由式(14)和式(17)給出；曲線Separate 14表示脈沖為N=1014時，原始的分離估計方法對應的碼率，其中，單光子計數(shù)率由式(15)給出，誤碼率由式(10)結合標準誤差分析方法給出；曲線Global 13和曲線Separate 13表示發(fā)送脈沖為N=1013時，2種不同方法給出的碼率.

圖2 不同估計方法的性能比較

從圖2可以看出，通過綜合估計，有效地利用了單光子計數(shù)率與誤碼率之間的關聯(lián)信息，提高了安全密鑰率.此外，圖2也顯示，在數(shù)據(jù)量較小時，綜合估計方法對碼率的提升效果較好.

為進一步說明2種估計方法的不同，我們對綜合估計和分離估計方法得到的單光子計數(shù)率Y11與單光子誤碼率e11進行比較.為描述方便，記綜合估計方法得到的參數(shù)分別為Y11,G與e11,G；而分離估計方法得到的參數(shù)為Y11,S與e11,S.

圖3給出了2種估計方法得到的單光子計數(shù)率與誤碼率比值關系.圖3(a)表示計數(shù)率比值：Y11,SY11,G，圖3(b)表示誤碼率比值：e11,Ge11,S.

圖3 2種估計方法的計數(shù)率與誤碼率取值對比

為了更好地對2種方法進行比較，我們在圖3中不考慮統(tǒng)計漲落因素，僅對協(xié)議參數(shù)的估計值進行對比.其中，橫軸均表示傳輸損耗，圖3(a)縱軸是分離估計方法(由式(15)給出)與本文綜合估計方法得到的單光子計數(shù)率(式(14))的對比值；圖3(b)縱軸是本文綜合估計方法(式(17))與分離估計方法單光子誤碼率(式(10)結合標準誤差分析方法給出)的對比值.

從圖3可以看出：本文估計方法得到的單光子計數(shù)率Y11,G高于分離估計方法計數(shù)率Y11,S；另一方面，其單光子誤碼率e11,G則低于分離估計方法得到的誤碼率e11,S.且隨著傳輸損耗增大，2個比值Y11,SY11,G和e11,Ge11,S均迅速減小.

4 總 結

本文主要研究了基于SPDC源的MDI-QKD協(xié)議參數(shù)估計問題.通過綜合考慮的方法改進了碼率公式中的單光子計數(shù)率與誤碼率的估計，將求隱私放大項下界的過程規(guī)約為求解閉區(qū)間內連續(xù)函數(shù)的最小值問題，得到了更緊的參數(shù)估計.數(shù)值模擬顯示，該方法能夠提高基于SPDC源的誘騙態(tài)MDI-QKD協(xié)議安全碼率.如果能夠進一步考慮不同光強組合的方程，綜合參數(shù)估計會得到更緊的碼率公式.本文方法本身不需要對實驗方案進行任何硬件上的改進，僅依靠理論方法即可改善協(xié)議的性能，因而具有較好的應用價值.

[1]Lo H K, Curty M, Qi B. Measurement-Device-Independent quantum key distribution[J]. Physical Review Letters, 2012, 108, 130503: 1-5

[2]Jiang H D, Gao M, Wang H, et al. A global estimation of the lower bound of the privacy amplification term for decoy-state quantum key distribution[EB/OL]. [2015-10-10]. http://arxiv.org/abs/1502.04427

[3]Shan Y Z, Sun S H, Ma X C, et al. Measurement-device-independent quantum key distribution with a passive decoy-state method[J]. Physical Review A, 2014, 90, 042334: 1-9

[4]Zhou C, Bao W S, Li H W, et al. Tight finite-key analysis for passive decoy-state quantum key distribution under general attacks[J]. Physical Review A, 2014, 89, 052328: 1-9

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王 洪

博士，講師，主要研究方向為量子密碼與量子計算.

007jieyong@sina.com

馬 智

博士，教授，主要研究方向為量子密碼與量子編碼.

ma_zhi@163.com

江浩東

碩士研究生，主要研究方向為量子密碼.

tusidike@163.com

高 明

博士，講師，主要研究方向為量子密碼與量子計算.

gaoming@nudt.edu.cn

Global Parameters Estimated of Measurement-Device-Independent Quantum Key Distribution

Wang Hong, Ma Zhi, Jiang Haodong, and Gao Ming

(StateKeyLaboratoryofMathematicalEngineeringandAdvancedComputing,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450001)

Parameter estimation (the yield and the phase error rate of the single photon) is a major factor that affects the key rate of decoy-state MDI-QKD. This paper investigates the issues of parameter estimation in MDI-QKD with a spontaneous parametric down conversion (SPDC) source with a joint estimation method. Different from the existing separate estimation method, we derive analytical solutions to the parameters from the equation set of the average count rate and error rate, and then analyze it as a unitary function conceding the relevance between the two parameters. Through looking at the minimum of the function in the closed interval, a tighter estimation of the secure key rate is obtained. This method provides a new way to increase the performance of the MDI-QKD protocol.

quantum key distribution; decoy state; measurement device-independent; spontaneous parametric down conversion source; statistical fluctuation

2015-10-06

國家“八六三”高技術研究發(fā)展計劃基金項目(2011AA010803);國家自然科學基金項目(61472446,11175170,U1204602)

TP309.7