盧梅霞 孫祥娥

摘要：離散傅里葉變換是計(jì)算機(jī)對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行分析的理論基礎(chǔ)，在《數(shù)字信號(hào)處理》這門課程中進(jìn)行了詳細(xì)的理論推導(dǎo)。學(xué)生在對(duì)這部分內(nèi)容做實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，往往會(huì)忽視實(shí)驗(yàn)結(jié)果里面出現(xiàn)的一些由柵欄效應(yīng)引起的細(xì)小差別。本文重點(diǎn)闡述連續(xù)周期信號(hào)頻譜由柵欄效應(yīng)導(dǎo)致的誤差并提出相應(yīng)的改善方法。文章還結(jié)合了實(shí)際的例子在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行了分析和驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：柵欄效應(yīng)；周期信號(hào)；DFT；譜分析

中圖分類號(hào)：TN911 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2015）26-0196-03

Study on the Effect of Fence in the Signal Spectrum Analysis of Continuous Cycle

LU Mei-xia， SUN Xiang-e*

（Yangtze University ，College of Electronic and Information， Jingzhou 434100， China）

Abstract： Discrete Fourier Transform （DFT） is the theoretical basis for the analysis of the signal spectrum， with the theory derived in detail in the course of Digital Signal Processing. Students tend to ignore some minor differences caused by the fence effect in experimental results when conducting the experiment. This paper mainly elaborates on the error caused by the fence effect in the periodic signal spectrum analysis and the corresponding improving methods are proposed. Practical examples are also combined to be analyzed and verified in the MATLAB environment.

Key words： fence effect； periodic signal； DFT； spectral analysis

DFT是一種時(shí)域和頻域均離散化的傅里葉變換，為計(jì)算機(jī)處理信號(hào)提供了理論支撐。對(duì)自然界中的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，需要進(jìn)行離散化和時(shí)間域的截取，再進(jìn)行離散傅里葉變換得到信號(hào)的頻譜。這樣的信號(hào)頻譜只是實(shí)際頻譜的近似，因此在對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析時(shí)就有必要去采取一些措施來(lái)減小這種近似帶來(lái)的影響。本文主要針對(duì)大家容易忽視的誤差原因—柵欄效應(yīng)作深入地探究，解決連續(xù)信號(hào)譜分析過(guò)程中容易產(chǎn)生疑問(wèn)的地方。

在對(duì)離散周期信號(hào)做頻譜分析時(shí)，對(duì)信號(hào)的截取不當(dāng)會(huì)使得頻譜中出現(xiàn)多余的頻率值，下圖是對(duì)單頻率信號(hào) [x（t）=cos（2πt/8）]（周期為8s，則頻率[f]=1/8）作采樣頻率為[fs]=2[Hz]的DFT，在結(jié)果圖中出現(xiàn)了多個(gè)頻率值，針對(duì)這種現(xiàn)象本文從理論上作了推導(dǎo)，并通過(guò)例子進(jìn)行了深入的分析。

1 連續(xù)信號(hào)譜分析的基本原理

利用數(shù)字的方法對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析，需要信號(hào)在時(shí)間域和頻率域都是離散信號(hào)或者數(shù)字信號(hào)。對(duì)連續(xù)信號(hào)[x（t）]進(jìn)行等間隔采樣能夠得到時(shí)間域的數(shù)字信號(hào)[x（n）]，對(duì)[x（n）]進(jìn)行傅里葉變換能夠得到信號(hào)的頻譜[X（ejω）]：

[X（ejω）=n=-∞∞x（n）e-jωn][2] （1）

[X（ejω）]是周期為[2π]的連續(xù)函數(shù)。對(duì)[X（ejω）]進(jìn)行離散化，得到頻域的數(shù)字信號(hào)[X（k）]：

[X（k）=X（ejω）ω=2πNk] （2）

在進(jìn)行連續(xù)信號(hào)的頻譜分析時(shí)，我們是以[X（k）]來(lái)表示待分析連續(xù)信號(hào)[x（t）]的頻譜[X（ejω）]。時(shí)域采樣定理指出了由離散時(shí)間信號(hào)恢復(fù)連續(xù)信號(hào)的條件，頻率采樣定理指出了由離散頻域信號(hào)恢復(fù)離散時(shí)間信號(hào)的條件。在滿足這兩個(gè)采樣定理?xiàng)l件的前提下，離散化后得到的[X（k）]是否一定能夠正確反映連續(xù)信號(hào)的頻譜是本文需要討論的問(wèn)題。

2 連續(xù)周期信號(hào)的譜分析

設(shè)單一頻率為[f0]的連續(xù)周期信號(hào)，周期[T=1/f0]，截?cái)嗪笮盘?hào)的時(shí)域長(zhǎng)度為[Tp]，采樣時(shí)間間隔為[Ts]，則采樣頻率[fs=1/Ts]，采樣點(diǎn)數(shù)[N=TP/TS]。頻譜分析中的頻譜分辨率F為：

[F=fs/N=1/TP] （3）

設(shè)截取時(shí)長(zhǎng)內(nèi)有[m]個(gè)周期，即

[Tp=m?T] [Tp=m?T=mf0] （4）

其中[m]為任意數(shù)。將式（3）帶入式（4），可得：

[f0=fs?m/N=m?F] （5）

由于頻譜分辨率F表示兩條譜線所表示的頻率間隔，所以只有當(dāng)[m]為整數(shù)時(shí)，信號(hào)原有頻率[f0]才會(huì)落在譜線上，即在時(shí)間域上對(duì)信號(hào)采用整周期截取。如果[m]不為整數(shù)時(shí)，頻率[f0]落在兩譜線之間，只能用相鄰的譜線來(lái)近似，因此譜分析結(jié)果只能是信號(hào)頻率的近似。含有多個(gè)頻率成分時(shí)的推導(dǎo)類似。

因此對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行譜分析時(shí)，確保截取信號(hào)中含有整數(shù)個(gè)周期信號(hào)，才能獲得對(duì)該連續(xù)信號(hào)頻譜成分的準(zhǔn)確分析。

3 實(shí)例分析[3]

分析正弦信號(hào)[x（t）=sin（πt/6）+cos（πt/3）]的頻譜。信號(hào)包含兩個(gè)頻率成分[f1]=1/12，[f2]=1/6，信號(hào)的周期為12s.設(shè)采樣間隔[T]=0.5s，則采樣頻率[fs]=2[Hz]。分別對(duì)該正弦信號(hào)截取18s、24s和54s進(jìn)行信號(hào)的頻譜分析。

a.時(shí)間域截取18s，具有1.5個(gè)周期，采樣點(diǎn)數(shù)[N]=36

分析：圖2中截取的是1.5個(gè)周期，得到的頻譜與實(shí)際頻譜相比，誤差較大，原始信號(hào)只有兩個(gè)頻率分別為1/12Hz和1/6Hz，而此頻譜中出現(xiàn)了多個(gè)頻率成分，這樣使得無(wú)法區(qū)分出原始信號(hào)中真正的頻率成分。

b.時(shí)間域截取24s，具有2個(gè)周期，采樣點(diǎn)數(shù)[N]=48

分析：圖3中截取兩個(gè)周期，得到的頻譜與實(shí)際頻譜相比較沒(méi)有誤差，很好地反映了真實(shí)的頻譜。

c.時(shí)間域截取78s，具有6.5個(gè)周期，采樣點(diǎn)數(shù)[N]=156

分析：圖4截取的是4.5個(gè)周期，得到的頻譜與實(shí)際頻譜相比，有誤差，得到的頻譜在無(wú)信號(hào)的地方出現(xiàn)了頻率成分，但是能夠區(qū)分出原始信號(hào)中的真正的頻率。

小結(jié)：圖2與圖3相比較，整周期截取可以精確的得到真實(shí)的頻譜。圖2與圖4相比較，在非整周期截取的情況下，增加截取的長(zhǎng)度可以減小由于非整周期截取所帶來(lái)的柵欄效應(yīng)。提高頻譜分析的精確度。圖3與圖4相比較，整周期截取比增加采樣長(zhǎng)度后的非整周期截取得到的頻譜更精確。所以，對(duì)周期信號(hào)截取時(shí)，應(yīng)該以整周期截取。

但是圖2、圖3、圖4三個(gè)圖中都不是從過(guò)零點(diǎn)開始截取的，那么對(duì)于信號(hào)從過(guò)零點(diǎn)開始截取對(duì)信號(hào)頻譜會(huì)有怎樣的影響，這將在下面討論。

4 周期信號(hào)是否過(guò)零點(diǎn)采樣的討論

分析：圖5中a，b采用整周期截取時(shí)，是否過(guò)零點(diǎn)采樣對(duì)得到的頻譜沒(méi)有影響。c，d采用非整周期截取時(shí)，過(guò)零點(diǎn)采樣與非過(guò)零點(diǎn)采樣得到的頻譜有差別。所以，對(duì)于連續(xù)的周期信號(hào)應(yīng)該對(duì)信號(hào)進(jìn)行整周期截取。如果周期不可知，應(yīng)該盡量增大截取長(zhǎng)度和采用過(guò)零點(diǎn)采樣。

5 連續(xù)周期信號(hào)的頻域恢復(fù)分析

連續(xù)的周期信號(hào)[x（n）]經(jīng)過(guò)非整周期截取后，在滿足時(shí)間域采樣定理的條件下，其DFT得到的[X（k）]能否恢復(fù)序列[x（n）]需要做進(jìn)一步的分析。

對(duì)[X（k）]進(jìn)行IDFT得到

[xN（n）=IDFT[（XN（k））]N=[r=-∞+∞x（n+rN）]RN（n）] [1] [r]為整數(shù)

則在滿足頻率域采樣定理的條件下，[xN（n）]是截?cái)嗪蟮男蛄幸圆蓸狱c(diǎn)數(shù)[N]為周期的周期延拓，此時(shí)[xN（n）≠x（n）]。

正弦信號(hào)[x（t）=sin（πt/6）+cos（πt/3）]包含兩個(gè)頻率成分f1=1/12，f2=1/6，信號(hào)的周期為12s.設(shè)采樣間隔[T]=0.5s，則采樣頻率[fs]=2[Hz]。一個(gè)周期內(nèi)包含的采樣點(diǎn)數(shù)為24.現(xiàn)截取18s的信號(hào)，具有1.5個(gè)周期，采樣點(diǎn)數(shù)[N]=36，對(duì)其先做DFT后再做IDFT，得到[xN（n）]。

分析：圖6中的下圖一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)是36，周期為18s，與[x（n）]的周期相比周期發(fā)生了改變，不再是原來(lái)的12s。因此對(duì)連續(xù)的周期信號(hào)進(jìn)行非整周期截取后，做DFT得到的頻域信號(hào)不能恢復(fù)連續(xù)的周期信號(hào)，這也解釋了非整周期截取得到的頻譜與真實(shí)的頻譜有較大誤差的原因。

6 結(jié)束語(yǔ)

柵欄效應(yīng)很難克服，有時(shí)候甚至?xí)饑?yán)重的誤差，同時(shí)根據(jù)不同的信號(hào)特點(diǎn)所采用的減小柵欄效應(yīng)方法的有效性也不同，所以找到信號(hào)的基本特性對(duì)我們得到誤差較小的頻譜是非常有幫助的。對(duì)于周期信號(hào)能有效地改善柵欄效應(yīng)的方法就是整周期截取且過(guò)零點(diǎn)采樣。對(duì)于周期未知的信號(hào)需要增大DFT點(diǎn)數(shù)來(lái)改善柵欄效應(yīng)[4-5]。

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