楊思燕

(陜西廣播電視大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息管理系，陜西西安 710119)

水平集(Level Set)方法是一種基于偏微分方程的曲線演化方法，該方法由Sethian和Osher于1988年提出［1］，近年得到廣泛的推廣與應(yīng)用。簡單地講，Level Set方法是將一些低維的計(jì)算上升到更高一維，將N維的描述看作是N+1維的。Level Set方法的基本思想是將平面閉合曲線隱含地表達(dá)為二維曲面函數(shù)的水平集，即具有相同函數(shù)值的點(diǎn)集，通過Level Set函數(shù)曲面的進(jìn)化隱含地求解曲線的運(yùn)動。盡管這種轉(zhuǎn)化使得問題在形式上變得復(fù)雜，但在問題的求解上帶來便利，其最大的優(yōu)點(diǎn)在于曲線的拓?fù)渥兓軌虻玫阶匀坏靥幚?，且可獲得唯一滿足熵條件的弱解。

Level Set最初始的應(yīng)用領(lǐng)域就是隱含曲線的運(yùn)動，現(xiàn)在Level Set已廣泛應(yīng)用于圖像恢復(fù)、圖像增強(qiáng)、圖像分割、物體跟蹤、形狀檢測與識別、曲面重建、最小曲面、最優(yōu)化以及流體力學(xué)中等。

已有的研究成果成功地將Level Set方法應(yīng)用于圖像分割、圖像去噪、圖像恢復(fù)、圖像配準(zhǔn)、圖像的邊緣檢測等方面。Level Set方法應(yīng)用于圖像處理時(shí)，雖然針對不同的圖像處理，應(yīng)用的算法有所不同，但它們的基本思想都用到了偏微分方程的曲線演化方法。引入Level Set方法后，因?yàn)樯仙礁咭痪S計(jì)算，在高維中，拓?fù)渥兓悴辉偈请y題，并且在高維中計(jì)算更精確、魯棒。對于較復(fù)雜、拓?fù)渥兓黠@的圖像，Level Set方法比其他常用的經(jīng)典算法更具優(yōu)勢、效果更突出。

1 Level Set方法簡介

Sethian和Osher提出的Level Set方法實(shí)質(zhì)上是一種基于偏微分方程的曲線演化。這里將曲線演化用隱式方程表示，將如圖1所示的運(yùn)動曲線嵌入一個(gè)二維曲面，借曲面的演化實(shí)現(xiàn)曲線的演化，這樣，從低維上升到高維后，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化的問題便迎刃而解。

為使演化曲線成為引進(jìn)曲面的零Level Set，定義曲面方程

式中，d為點(diǎn)(x，y)到曲線C(s，t)的距離;正負(fù)表示點(diǎn)(x，y)在曲線的內(nèi)部和外部，由此方程可滿足

式(2)表示在任何時(shí)刻的演化曲線都可看作運(yùn)動曲面的零Level Set。此處，需要關(guān)注和感興趣的正是零Level Set的演化情況，對式(2)關(guān)于t微分

其中，F(xiàn)表示曲線上各點(diǎn)在其法線方向上的速度，F(xiàn)一般與圖像數(shù)據(jù)和曲線的幾何性質(zhì)有關(guān);n表示曲線的單位法向量。式(6)被稱為Hamilton－Jacobi方程，Paragios給出了其數(shù)值解法［2］。

圖1 演化的Level Set及其嵌入的曲面

2 Level Set在圖像處理的應(yīng)用

當(dāng)Level Set方法應(yīng)用于圖像處理時(shí)，因?yàn)樵摲椒ㄊ菍⒍S(三維)的曲線曲面的演化問題轉(zhuǎn)化為三維(四維)空間中的Level Set函數(shù)曲面演化的PDE隱含方式來求解，解決了以往算法不能解決的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化問題，且隨著計(jì)算機(jī)軟硬件的不斷更新，Level Set方法計(jì)算量偏大的問題也得到了比較好的解決，所以Level Set方法的應(yīng)用前景廣闊。

2.1 圖像分割

圖像分割的各種算法可分為兩種類型:基于邊界的方法和基于區(qū)域的方法。Level Set方法是一種基于區(qū)域的方法，其是利用馬爾可夫隨機(jī)場模型形成的全局標(biāo)注問題，并對能量函數(shù)進(jìn)行最小化來求解。

自從 Malladi，Sethian 等［3］將 Level Set引進(jìn)到曲線進(jìn)化中來以后，事實(shí)證明，Level Set法在解決圖像分割問題時(shí)，是一個(gè)有力的工具。其優(yōu)點(diǎn)是可以處理尖銳的角落，并具有強(qiáng)大的改變拓?fù)淠芰Γ蓪⑾鄬?fù)雜的物體邊界分割出來，這是活動輪廓等方法所難以達(dá)到的。尤其是在處理具有復(fù)雜外形的醫(yī)學(xué)圖像時(shí)，其優(yōu)點(diǎn)更為明顯。

Level Set方法用于圖像分割的基本思想是先給定一個(gè)封閉初始輪廓，然后初始輪廓在一系列外力和內(nèi)力的相互作用下一步逼近目標(biāo)，最后根據(jù)一定的初始條件停止在物體的邊緣上，直到完成最后的分割。

文中對邊界較為模糊，灰度值較接近，用傳統(tǒng)的圖像分割算法來分割效果并不理想的醫(yī)學(xué)圖像，采用Level Set方法進(jìn)行處理。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Level Set方法處理醫(yī)學(xué)圖像分割，具有良好的效果，如圖2所示。

圖2 腦白質(zhì)分割圖像

2.2 圖像去噪

在圖像形成與傳輸過程中，由于設(shè)備不完善及物理限制，所獲得的圖像通常達(dá)不到期望質(zhì)量。這種退化經(jīng)常產(chǎn)生在一些應(yīng)用科學(xué)與工程領(lǐng)域，如視覺通訊、機(jī)器人導(dǎo)向、醫(yī)學(xué)診斷、大氣遙感和天文觀測等。許多濾波技術(shù)已用于圖像去噪與增強(qiáng)。然而，僅使用線性濾波技術(shù)并不能得到較好的結(jié)果，雖線性濾波能有效濾除噪聲，但同時(shí)區(qū)域邊界被模糊化。

Level Set方法是一種非線性技術(shù)，應(yīng)用于圖像去噪時(shí)在圖像濾噪與邊緣增強(qiáng)之間做到較好的折中。Perona等［4］給出非線性異質(zhì)擴(kuò)散方程模型用于圖像處理。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Level Set方法應(yīng)用于圖像去噪，也取得了較好的效果。

2.3 圖像復(fù)原

圖像復(fù)原需找出圖像質(zhì)量降低的原因，使圖像恢復(fù)本來面目。常見的圖像損傷是由噪聲引起的，這時(shí)的修復(fù)就是去除噪聲(Denoise)，許多成熟的線性濾波技術(shù)己用于圖像去噪與圖像復(fù)原。然而，僅僅使用線性技術(shù)不能得到良好的結(jié)果，雖然線性濾波能有效消除噪聲，但區(qū)域邊界被模糊化。作為改進(jìn)，非線性技術(shù)成功地協(xié)調(diào)了這一點(diǎn)。目前常用的方法有小波，偏微分方程等。

黃外斌等［5］提出了一種基于Level Set的復(fù)原方法。通過對被遮擋圖像Level Set的分析，利用Meaningful直線探測技術(shù)和測地線連接斷開的水平線。針對所連接的水平線有多種方案，利用水平線上能量最小進(jìn)行優(yōu)化，從而達(dá)到恢復(fù)的目的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法對于圖像復(fù)原具有良好的效果，如圖3所示，在檔案管理和照片保存方面有著較好的實(shí)用性。

圖3 圖像復(fù)原效果圖

2.4 圖像配準(zhǔn)

Vemuri等［6］提出了一種簡單有效的基于Level Set方法的圖像配準(zhǔn)方法，其基本思想是與進(jìn)化源圖像和目標(biāo)圖像差異成比例的速度沿著各自的法線方向演化，當(dāng)進(jìn)化源成為目標(biāo)圖像時(shí)，進(jìn)化將會自動停止。圖像的配準(zhǔn)問題可公式化為運(yùn)動估計(jì)問題，特殊情況下，還可是兩個(gè)給定圖像的光流估計(jì)問題。從曲線演化的角度看，配準(zhǔn)2幅圖像可直觀地看作為一幅圖像演化到另一幅圖像的過程。在源圖像向目標(biāo)圖像的演化過程中，曲線始終滿足Level Set方法的曲線演化形式。其中源圖像向目標(biāo)圖像的配準(zhǔn)過程中，曲線同時(shí)受到內(nèi)力和外力的作用，外力吸引著源圖像向目標(biāo)圖像運(yùn)動，內(nèi)力保持源圖像的光滑性和拓?fù)湫浴膱D4的實(shí)驗(yàn)效果可看出，用Level Set方法進(jìn)行的圖像配準(zhǔn)，具有良好的配準(zhǔn)效果。

圖4 圖像配準(zhǔn)的效果

2.5 3D動畫

物體的變形是計(jì)算機(jī)動畫中的一個(gè)基本問題，即物體由初始狀態(tài)逐漸地變化到終結(jié)狀態(tài)，產(chǎn)生一系列連續(xù)變化的運(yùn)動圖像，傳統(tǒng)的動畫技術(shù)需要指定物體的運(yùn)動和物體的一系列形狀。目前一種流行的方法是采用形變模型的3D動畫技術(shù)，用一個(gè)形變模型表示物體的表面，在模擬的外力作用下，由模型的變形來實(shí)現(xiàn)動畫。但這種方法的缺點(diǎn)是形變模型是參數(shù)化的，若不進(jìn)行重新參數(shù)化，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)難以改變，而重新參數(shù)化是一個(gè)復(fù)雜的過程。一種較好的辦法是選取隱式模型，這種模型具有自動適應(yīng)物體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)。

Besl等［7］將 Level Set方法引入 3D 動畫中，提出了一種新的動畫方法。為使模型能自適應(yīng)地改變其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，在此可將模型的進(jìn)化問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的Level Set進(jìn)化問題。圖5的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Level Set方法能用于復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的物體動畫。

圖5 球演變成一對環(huán)鏈

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，由于采用了Level Set方法，模型能自動地將球分裂成兩個(gè)圓環(huán)，因?yàn)榍娴淖冃斡汕娓鼽c(diǎn)的速度決定，而這些速度取決于曲面各點(diǎn)的位置和目標(biāo)物體的形狀，這意味著曲面的融合或分裂取決于目標(biāo)形狀，這就是保證了曲面能合理地按照目標(biāo)形狀進(jìn)行融合或分裂，從而也證明該方法有改變模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的能力。利用Level Set方法的低維計(jì)算上升到高維計(jì)算的特性，還可解決圖像處理中如物體跟蹤［8］、曲面重建［9］、最小曲面、最優(yōu)化以及流體力學(xué)中［10］等其他問題。

3 結(jié)束語

本文研究并總結(jié)了如何用Level Set方法的特性進(jìn)行圖像處理，介紹了其在圖像分割、圖像去噪、圖像恢復(fù)、圖像配準(zhǔn)、3D動畫等方面的應(yīng)用。研究發(fā)現(xiàn)，Level Set方法可以有效地解決圖像處理中，例如圖像比較模糊的醫(yī)學(xué)圖像分割、對拓?fù)渥兓筝^嚴(yán)格的圖像處理等問題。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Level Set方法可以處理尖銳的角落，對噪聲不敏感，并具有較強(qiáng)的拓?fù)淠芰?。因此，與傳統(tǒng)方法相比，Level Set方法在處理外形復(fù)雜、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)改變的目標(biāo)具有較大的優(yōu)勢。

但Level Set方法計(jì)算復(fù)雜度比較高，計(jì)算量較大。如何選取好的擴(kuò)展速度函數(shù)F以加快尋找邊緣的速度，而又不能出現(xiàn)邊界泄漏和邊緣提取的失真現(xiàn)象，是接下來重點(diǎn)研究的內(nèi)容。對于不同特性的圖像，要考慮不同的速度函數(shù)，這樣才能在圖像處理中較好地利用Level Set方法，以取得最佳效果。

［1］ Osher S，Sethian J A．Fronts propagation with curvature dependent speed:Algorithms based on hamilton－jacobi formulations ［J］．Journal of Computational Physical，1988，79(1):12－49．

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［3］ Ravikanth Malladi，James A Sethian，Baba C Vemuri．Shape modeling with front propagation:A Level－Set approach［J］．IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intellegence，1995，17(2):158 －175．

［4］ Perona P，Malik J．Scale space and edge detection using anisotropic diffusion［J］．IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1990，12(7):629 －639．

［5］ 黃外斌．基于水平集圖像恢復(fù)的若干研究［D］．杭州:浙江大學(xué)，2003．

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［7］ Besl P J，McKay N D．A method for registration of 3 － D shapes［J］．IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，2000，14(2):239 －256．

［8］ Michael E Leventon，Olivier Faugeras，W Eric L Grimson，et al．Level－ Set based segmentation with intensity and curvature priors［C］．Kauai，Hawaii，USA:Proceedings of IEEE Workshop on Mathematical Methods in Biomedical Image A-nalysis，2000:4 －10．

［9］ Maute K，Langelaar M，Van F Keulen．Level－ Set methods for structural topology optimization:a review［J］．Structural and Multidisciplinary Optimization，2013，48(3):437 －472．

［10］ Zubin C Bhaidasna，Sheetal Mehta．A review on Level－ Set method for image segmentation［J］．International Journal of Computer Applications，2013，63(11):20 －22．