張正青
本章主要研究勾股定理及其逆定理,包括它們的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中,是否能夠利用勾股定理及其逆定理,靈活地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法,找到方便快捷的解題思路,是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵.
一、 巧分類
勾股定理公式的作用在于已知直角三角形三邊中的兩邊,可以求出第三邊,但是當(dāng)題目中沒(méi)有給出圖形或者所給出的邊長(zhǎng)指向不明確時(shí),很有可能造成多解的情況,這時(shí)候需要我們對(duì)已知情況進(jìn)行準(zhǔn)確分類.
例1 ?已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊長(zhǎng)為多少?
【分析】直角三角形邊長(zhǎng)3和4并沒(méi)有表明是直角邊還是斜邊,需分兩種情況進(jìn)行討論.
解:設(shè)第三邊長(zhǎng)為x,
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分類討論思想在勾股定理中的使用,關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的邊準(zhǔn)確分類.
二、 巧轉(zhuǎn)化
勾股定理的應(yīng)用前提是直角三角形,當(dāng)題目所提供給我們的是多邊形或立體圖形時(shí),這就需要我們將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題,將立體圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問(wèn)題,從而利用勾股定理來(lái)解決.
例2 ?如圖1,長(zhǎng)方體的高為3 cm,底面是邊長(zhǎng)為2 cm的正方形. 現(xiàn)有一螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā),沿長(zhǎng)方體側(cè)面到達(dá)頂點(diǎn)C處,小蟲(chóng)走的路程最短為多少厘米?
【分析】螞蟻行走的路線是一條不在同一平面內(nèi)的折線,要計(jì)算它的長(zhǎng)度,就要想法把它放到一個(gè)平面內(nèi).比較幾種展開(kāi)方法,將右側(cè)面展開(kāi)所得的距離最短.如圖2,將右側(cè)面展開(kāi),根據(jù)“兩點(diǎn)間線段最短”找到最短距離是長(zhǎng)方形的對(duì)角線,然后用勾股定理進(jìn)行解答.
解:如圖2,將右側(cè)面展開(kāi),利用“兩點(diǎn)之間線段最短”可得出:
點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短距離即為線段AB的長(zhǎng),而長(zhǎng)方形的高AD和兩條底邊之和DB以及線段AB恰好構(gòu)成了一個(gè)直角三角形,則線段A
∴螞蟻?zhàn)叩穆烦套疃虨? cm.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體圖形上的路線問(wèn)題,我們可以用“化曲為直”的方法找到最短路徑,利用勾股定理來(lái)解決.線路很多,最短路線卻是唯一的.要弄清最短的路線,不妨借助實(shí)物演示,效果將更佳.
三、 巧選擇
用勾股定理求線段的長(zhǎng)度,很多時(shí)候不能直接計(jì)算,題目中給我們的圖形又比較復(fù)雜,存在多個(gè)直角三角形,同學(xué)們總為找不到合適的直角三角形而困惑.這就需要我們仔細(xì)分析圖形之間的關(guān)系,選擇恰當(dāng)?shù)闹苯侨切蝸?lái)構(gòu)造方程,從而順利解題.
例3 ?如圖3,將長(zhǎng)方形紙片ABCD的一邊AD向下折疊,點(diǎn)D落在BC邊的F處,AB=CD=8 cm,BC=AD=10 cm,求EC的長(zhǎng).
【分析】圖3中共有4個(gè)直角三角形,其中的Rt△ABF的三邊都是可求的,設(shè)EC為x后,只有Rt△EFC的三邊是可直接用含有x的式子來(lái)表示的,因此鎖定目標(biāo)為Rt△EFC.然后利用勾股定理建立方程來(lái)解答.
解:設(shè)EC=x,由折疊可知,
AF=AD=10,EF=DE=DC-EC=8-x,
在Rt△ABF中,
則FC=BC-BF=10-6=4,
在Rt△EFC中,EC2+FC2=EF2,
即x2+42=(8-x)2,
解得x=3,∴EC=3 cm.
【點(diǎn)評(píng)】本題呈現(xiàn)的問(wèn)題背景為長(zhǎng)方形中的折疊類問(wèn)題,解此類題型需要我們由折疊尋找其中的等量關(guān)系,關(guān)鍵卻是選擇恰當(dāng)?shù)闹苯侨切?,然后運(yùn)用勾股定理列出方程進(jìn)行解答.
四、 巧構(gòu)造
運(yùn)用勾股定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題時(shí),找到題目中所隱藏的數(shù)學(xué)模型往往是其中的難點(diǎn).需要我們認(rèn)真審題,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與直角三角形有關(guān)的模型,然后利用勾股定理解直角三角形.
例4 ?如圖4,某公園有這樣兩棵樹(shù),一棵樹(shù)高8 m,另一棵樹(shù)高2 m,兩樹(shù)之間相距為8 m,請(qǐng)問(wèn)一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢沿直線飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢,需要飛行多少米?
【分析】根據(jù)題意,要以AB為邊構(gòu)建合適的直角三角形,把求線段的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直角三角形邊長(zhǎng)的問(wèn)題解答.
解:連接點(diǎn)A、點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B向較高的樹(shù)所在的直線作垂線段,垂足為C,可得到Rt△ABC,其中AC=8-2=6,BC=8.
在Rt△ABC中,
∴小鳥(niǎo)需要飛行10 m.
【點(diǎn)評(píng)】勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛,我們應(yīng)對(duì)實(shí)際問(wèn)題仔細(xì)分析,并恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立與直角三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)模型,然后通過(guò)勾股定理解決問(wèn)題.
(作者單位:江蘇省常州市蘭陵中學(xué))