李　婧, 竇家維

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安　710062)

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具有擴散及功能性反應(yīng)的周期脈沖捕食-被捕食系統(tǒng)研究

李婧, 竇家維*

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安710062)

摘要：主要研究了一類具有擴散及功能性反應(yīng)的周期脈沖捕食-被捕食系統(tǒng), 系統(tǒng)由一個具有脈沖的反應(yīng)擴散方程組描述.首先通過拋物偏微分方程的不變矩形理論獲得了解的正性性質(zhì),然后利用比較原理研究系統(tǒng)解的有界性及持續(xù)生存性質(zhì);最后應(yīng)用緊性準則討論了系統(tǒng)周期解的存在唯一性及全局漸近穩(wěn)定性.

關(guān)鍵詞：捕食-被捕食系統(tǒng); 功能性反應(yīng); 脈沖收獲; 持續(xù)生存性; 周期解

0引言

種群動力學(xué)模型對種群生態(tài)學(xué)研究有著非常重要的意義,在種群動力學(xué)中,捕食關(guān)系因其普遍存在性和重要性一直是數(shù)學(xué)與生態(tài)學(xué)界研究的主要課題[1-4].在種群動力學(xué)模型的早期研究中,人們常假設(shè)種群在各處的密度分布是均勻的, 因此可以應(yīng)用常微分方程模型來描述種群的發(fā)展過程. 然而, 在種群的棲息地內(nèi), 如果各處種群密度分布不均勻, 那么種群密度函數(shù)不僅與時間有關(guān), 也與位置變量有關(guān), 并且種群中的個體將自發(fā)地從高密度地區(qū)向低密度地區(qū)擴散, 這種情況下, 種群系統(tǒng)就需要用反應(yīng)擴散方程來描述[5-8].

本文主要研究一類具有擴散及比率依賴功能性反應(yīng)的捕食系統(tǒng)的動力學(xué)行為. 在捕食系統(tǒng)中考慮功能性反應(yīng)能更確切地描述食餌與捕食者的捕食關(guān)系. 功能性反應(yīng)函數(shù)有多種形式, 常見的有比率依賴型和食餌依賴型, 比率依賴意指功能性反應(yīng)函數(shù)是食餌與捕食者比率的函數(shù). 近年來, 許多生物學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)比率依賴型的功能性反應(yīng)更具有實用性, 因此得到了廣泛的應(yīng)用[9-15].

本文還假設(shè)由于季節(jié)變化等因素, 種群生長環(huán)境是周期性變化的, 并且每隔一定的時間, 對種群進行脈沖比例收獲[16-17].

本文所研究的系統(tǒng)將由下面具有周期系數(shù)的脈沖反應(yīng)擴散方程組描述:

(1)

其中,u(t,x),v(t,x)分別表示食餌及捕食者的密度.系統(tǒng)的前兩個方程表示捕食系統(tǒng),Δu為Laplace算子,μ1Δu,μ2Δv表示兩種群的擴散,擴散系數(shù)μ1,μ2均為正常數(shù).系統(tǒng)第三,四方程表示在時刻tk,k∈N+對兩種群進行比例收獲,收獲系數(shù)分別為δ1k及δ2k;系統(tǒng)的最后兩個方程是邊界條件.

對于(1),本文假設(shè)下面條件(H)成立:

(H2)函數(shù)ai(t,x),ci(t,x)(i=1,2)以及b(t,x),r(t,x)關(guān)于t是ω-周期的;

(H3)對所有i=1,2.k∈N+,0<δik<1存在正整數(shù)p,使tk+p=tk+ω,δi(k+p)=δik.

在本文的研究中, 下面幾個基本結(jié)論將多次用到, 現(xiàn)敘述如下(參見[6]) 首先, 記

Qω=(0,ω]×Ω,Sω=(0,ω]×?Ω.則有

如果又有當x∈Ω時u(0,x)不恒等于v(0,x),則u(t,x)

1系統(tǒng)的持續(xù)生存性

定理1假設(shè)條件(H)成立, 則對于系統(tǒng)(1),R2的非負象限和正象限是不變的.

(2)

由于當(u,v)∈[0,M1]×[0,M2],且t≠tk(k∈N+)時,

f1(t,x,u,v)|u=0=0,f1(t,x,u,v)|u=M1<0;

f2(t,x,u,v)|v=0=0,f2(t,x,u,v)|v=M2<0.

因此,根據(jù)文獻[6],并考慮到假設(shè)條件(H3),可知Π=[0,M1]×[0,M2]是系統(tǒng)(1)的不變矩形.所以,當u(0,x)≥0,v(0,x)≥0時,系統(tǒng)(1)的(u(t,x),v(t,x))滿足u(t,x)≥0,v(t,x)≥0,因此R2的非負象限是不變的. 又由(2),u(t,x)滿足

(3)

下面的結(jié)果給出了系統(tǒng)(1)解的最終有界性. 便于敘述, 記(u0,v0)=(u0(x),v0(x)), 其中u0(x)=u(0,x),v0(x)=v(0,x).

定理2假設(shè)條件(H)成立, 進一步假設(shè)

(4)

(5)

證明: 假設(shè)(u(t,x,v(t,x))是系統(tǒng)(1)具有非負初值(u0,v0)的解.

(i)首先證明u(t,x)的最終有界性.

(6)

的解. 因為

(ii)證明v(t,x)的最終有界性.

(7)

定理3假設(shè)(H)成立,進一步假設(shè)(5)式和下面兩個不等式成立:

(8)

(9)

證明:設(shè)(u(t,x),v(t,x))為系統(tǒng)(1)具有非負初值(u0,v0)的解. 由于(5)式和(8)式保證了定理2的條件成立, 無妨設(shè)當t≥0時,有0≤u(t,x)≤N1,0≤v(t,x)≤N2(N1,N2為兩個正常數(shù)).

(i)首先證明m1的存在性.

(10)

(ii)下面研究捕食者的持續(xù)生存問題.

(11)

由引理1知

(12)

由條件(9), 可以選擇α>0充分小, 使得下式成立:

上面結(jié)果說明:

2周期解的存在唯一性

為了討論系統(tǒng)(1)正周期解的存在唯一性及穩(wěn)定性, 需要下面的緊性準則[16]引入記號Y=(u,v)∈Lp(Ω)×Lp(Ω),其中p>n為正整數(shù), 將系統(tǒng)(1)的前四式重寫如下:

(13)

F(t,Y)=

引理3[16]假設(shè)函數(shù)Gk是連續(xù)可微的, 并且存在一個正值函數(shù)η(M)使

關(guān)于周期解的存在唯一性, 可以證明下面結(jié)論.

定理4假設(shè)條件(H)成立,而且系統(tǒng)是持續(xù)生存的,即存在正數(shù)β和N,當t充分大時,有β≤u(t,x)≤N,β≤v(t,x)≤N成立.若系統(tǒng)(1)還滿足下面不等式

(14)

其中λM為矩陣(aij)2×2的最大特征值,

則系統(tǒng)(1)有全局漸近穩(wěn)定的正ω-周期解.

證明:設(shè)(u(t,x),v(t,x)),(u1(t,x),v1(t,x))為系統(tǒng)(1)的任意兩個有界解,設(shè)其下界為β,上界為N.考慮函數(shù)

L(t)=∫Ω[(u(t,x)-u1(t,x))2+

(v(t,x)-v1(t,x))2]dx.

對其求導(dǎo), 得到:

-2μ1∫Ω|(u-u1)|2dx-

2μ2∫Ω|(v-v1)|2dx+

2∫Ω(u-u1)2(a1(t,x)-b(t,x)(u+u1)-

2∫Ω(v-v1)2(-a2(t,x)+

2∫Ω(u-u1)(v-v1)

∫Ωa11(u-u1)2dx+∫Ωa22(v-v1)2dx+

2∫Ωa12(u-u1)(v-v1)dx≤

λM∫Ω[(u-u1)2+(v-v1)2]dx.

(15)

下面進一步討論系統(tǒng)(1)正周期解的存在唯一性. 記Y=(u,v)首先有

因此,‖Gk(Y)‖≤δ‖Y‖,其中

δ=max{δik+1,i=1,2,k=1,2,…,p}.

sup‖Y‖a≤M‖Gk(Y)‖α≤sup‖Y‖a≤Mδ‖Y‖α≤δM=∶η(M).由于引理3的條件滿足,因此,(u(t,x),v(t,x)),(u1(t,x),v1(t,x))在C1+v上有界,結(jié)合(15)可知:當t→∞時

(16)

由(16)式可知, 如果系統(tǒng)(1)的周期解存在, 則周期解唯一, 并且是全局漸近穩(wěn)定的.

‖Y(ω,Y(knω)-Y(knω))‖C+

3數(shù)值例子

本節(jié)通過一個具體例子驗證前面所得到的理論結(jié)果. 對于系統(tǒng)(1), 令

a1(t,x)=0.2sint+0.25+0.000 1cosx,

a2(t,x)=0.4,b(t,x)=0.1cost+0.2,

c1(t,x)=0.05cost+0.08,

c2(t,x)=0.45-0.03sint,

r(t,x)=15-5cost,

δ1k=0.8,δ2k=0.89,ω=2π,p=1.

顯然滿足條件(H), 又經(jīng)計算可知:

所以式(5)、(8)、(9)成立. 進一步驗證(14)式.又令β=10,N=25,算得a11=-1.101,a12=a21=0.178,a22=-0.608.所以λM=-0.550 4,進而ln(0.82+0.892)-0.550 4×2π=-3.099 1<0. 即(14)式成立. 故滿足定理4的條件, 所以由定理4可知, 系統(tǒng)有全局漸近穩(wěn)定的周期解.

4結(jié)論

本文研究了一類由脈沖反應(yīng)擴散方程描述的捕食系統(tǒng)的動力學(xué)行為. 研究的基本思想是運用比較原理, 即引理1, 應(yīng)用脈沖常微分系統(tǒng)的解對脈沖反應(yīng)擴散方程的解進行估計, 主要應(yīng)用脈沖常微分方程的相關(guān)理論和分析技巧研究解的有界性和持續(xù)生存性, 并應(yīng)用一些分析技巧獲得了周期解的存在唯一性. 在文獻[15]中, 作者研究了類似問題, 但所用的比較系統(tǒng)大多是常系數(shù)系統(tǒng),本文應(yīng)用周期脈沖常微分系統(tǒng)作為比較系統(tǒng),主要結(jié)論推廣改進了文獻[15]的結(jié)論. 本文的結(jié)果可為控制生物種群的共存及發(fā)展趨勢提供理論依據(jù), 研究結(jié)果有一定的現(xiàn)實意義.

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Thestudyonaperiodicimpulsivepredator-preysystem

withdiffusionandfunctionalresponse

LIJing,DOUJia-wei*

(SchoolofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi′an710062,China)

Abstract:In this paper,an impulsive predator-prey system with diffusion and functional response is investigated.The system is modeled by a reaction-diffusion equation with periodic coefficients and impulses.The positive property of the solution is obtained by invariant rectangle of parabolic partial differential equations.Further, the comparison principle is applied to study the boundedness of the solution and the persistence of the system.Finally,the condition to ensure the existence and stability of the periodic solution is obtained by a compactness criterion.

Key words:predator-prey system; functional response; impulsive harvest; persistence; periodic solution

中圖分類號：O175.1

文獻標志碼：A

文章編號：1000-5811(2015)05-0186-06

作者簡介:李婧(1990-),女,河南三門峽人,在讀碩士研究生,研究方向:脈沖微分方程理論及應(yīng)用

通訊作者:竇家維(1963-),女,陜西西安人,副教授,博士,研究方向： 脈沖微分方程理論及應(yīng)用，jiawei@snnu.edu.cn

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(61272435)

收稿日期:*2015-04-13