函數(shù)圖象是對函數(shù)關(guān)系的一種直觀呈現(xiàn)，能把抽象的問題形象化，是我們學(xué)習(xí)、研究函數(shù)的好工具. 本文緊扣高考中函數(shù)圖象問題的重點考查形式，通過對典型例題的深入分析，力求從知識、方法、能力等方面突破函數(shù)圖象問題的難點，幫助同學(xué)們站上函數(shù)圖象的巔峰.

重點難點

對于函數(shù)的圖象，高考試題的考查形式主要有兩種：一是考查函數(shù)圖象的辨識；其次是考查函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用，這種應(yīng)用主要體現(xiàn)在方程、不等式等與函數(shù)圖象的綜合問題上. 我們要有數(shù)形結(jié)合的意識，隨時準(zhǔn)備用圖象幫助我們分析、簡化問題.

重點：掌握基本初等函數(shù)的圖象的畫法；掌握函數(shù)圖象的平移、伸縮、對稱、翻折變換規(guī)則；會利用函數(shù)圖象進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程或不等式中的問題；能實現(xiàn)數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，利用圖象輔助分析、解決問題.

難點：用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想分析、解決問題. 觀察分析、推理論證能力的培養(yǎng).

方法突破

1. 圖象變換規(guī)則

（1）平移變換：

y=f（x）y=f（x-a）；y=f（x）y=f（x）+b.

（2）伸縮變換：

y=f（x）y=f（ωx）；y=f（x）y=Af（x）.

（3）對稱變換：

y=f（x）y=-f（x）；y=f（x）y=f（-x）.

y=f（x）y=-f（-x）；y=f（x）y=f -1（x）.

（4）翻折變換：

y=f（x）y=f（x）；

y=f（x）y=f（x）.

2. 圖象變化中的注意事項

在利用平移、對稱、翻折等變換作函數(shù)的圖象時，要特別注意漸近線、對稱軸、對稱中心、關(guān)鍵點的變換，以幫助我們獲得變換后的函數(shù)的性質(zhì).

3. 函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的四則運算

（1）奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù).

（2）兩個增函數(shù)的和還是增函數(shù)；兩個減函數(shù)的和還是減函數(shù).

4. 函數(shù)圖象的識別

在函數(shù)圖象的辨識問題中，一般是從該函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、極值等）、正負(fù)、特殊值三個方面進(jìn)行分析，排除錯誤選項. 對于自變量趨近于無窮大或無定義的點時，還需要注意極限思想的應(yīng)用. 如果遇到兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的情況時，首先要找到這兩個函數(shù)之間的聯(lián)系，然后假定其中一個圖象正確去判斷另一個是否與之矛盾.

典例精講

例1 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）=xa（x>0），g（x）=logax的圖象可能是（ ）

A B

C D

思索 對于這種兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的情況，按照常規(guī)思路，首先要找到這兩個函數(shù)之間的聯(lián)系，然后假定其中一個函數(shù)的圖象正確，再去看另一個函數(shù)的圖象是否與之矛盾.

破解 本題中函數(shù)f（x）與g（x）的聯(lián)系在于g（x）的底數(shù)與f（x）的指數(shù)相同，注意到a>0，可得f（x）單調(diào)遞增，排除A選項.

對于B、D選項，如果g（x）單調(diào)遞減，那么0

同理可排除C選項，故選D.

例2 設(shè)函數(shù)集合P={f（x）=log（x+a）+ba=-，0，，1；b=-1， 0，1}，平面上的點集Q={（x，y）x=-，0，，1；y=-1，0，1}，則在同一直角坐標(biāo)系中，P中的函數(shù)f（x）的圖象恰好經(jīng)過Q中兩個點的函數(shù)的個數(shù)是（ ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

思索 由于Q是由12個確定的點組成的集合，而集合P是由12個確定的函數(shù)組成的集合，所以可對這12個函數(shù)逐個進(jìn)行驗證，確定滿足條件的函數(shù)的個數(shù)，在操作時以分類討論的思想為指導(dǎo)，可簡化驗算的過程.

圖1

破解 如圖1，集合Q共有12個元素（點），集合P中的元素均可通過把函數(shù)y=logx的圖象進(jìn)行平移而得到. 其中只通過左右平移就能得到的函數(shù)有：①y=log（x+1）；②y=logx+；③y=logx；④y=logx-.滿足條件的函數(shù)可通過對函數(shù)圖象①、②、③、④再作上下平移就可得到，其中①、②、③依次可分別得到兩個滿足條件的函數(shù)，而對④作上下平移后的函數(shù)至多經(jīng)過Q中的一個點.故滿足條件的函數(shù)的個數(shù)為6個.

評注 這是一道有關(guān)函數(shù)圖象的計數(shù)問題，而分類討論思想是解決較復(fù)雜的計數(shù)問題最常用的手段，因此在解決本題時，在明確集合P中的任意一個元素（函數(shù)）的圖象均與函數(shù)y=logx的圖象全等的基礎(chǔ)上，還需注意分類討論思想的運用.

例3 已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時， f（x）=（x-a2+x-2a2-3a2）. 若？坌x∈R， f（x-1）≤f（x），則實數(shù)a的取值范圍為（ ）

A. -，

B. -，

C. -，

D. -，

思索 當(dāng)a=0時， f（x）=x在R上單調(diào)遞增，滿足條件.

當(dāng)a≠0時，2a2>a2，去掉絕對值符號可作出函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的圖象，再利用函數(shù)f（x）的奇偶性進(jìn)一步作出其在R上的圖象.

利用圖象去分析a滿足什么條件時，？坌x∈R，有f（x-1）≤f（x），核心觀察函數(shù)不增的區(qū)間.

破解 當(dāng)a≠0時，去掉絕對值符號可得函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的解析式為：

f（x）=-x，0≤x2a2.2，注意到函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得它的圖象如下：

圖2

注意到圖象的對稱性，可知“？坌x∈R， f（x-1）≤f（x）”的充要條件是“區(qū)間[-4a2，2a2]的長度不超過1”，即2a2-（-4a2）≤1，解得a2≤.

故選B.

例4 若設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2-x）=f（2+x），當(dāng)x∈[-2，0]時， f（x）=-1，記g（x）=f（x）-loga（x+2）（其中a>0，a≠1），試討論函數(shù)g（x）在區(qū)間（-2，6）上零點的個數(shù).

思索 注意到g（x）的零點個數(shù)即為函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=loga（x+2）的圖象公共點的個數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=f（x）唯一確定，因此可先作出其圖象，再利用a的值的大小與函數(shù)y=loga（x+2）圖象之間的關(guān)系討論它們公共點的個數(shù).

圖3

破解 由f（2-x）=f（2+x）可知f（4+x）=f（-x），又因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），由此可得f（4+x）=f（x）. 當(dāng)x∈[-2，0]時， f（x）=-1，作出函數(shù)y=f（x）的圖象（如圖3），其中A（2，1），B（6，1）. 當(dāng)a=4時，y=loga（x+2）的圖象過點A（2，1），當(dāng)a=8時，y=loga（x+2）的圖象過點B（6，1）.

由圖象可知：①當(dāng)08時，g（x）在區(qū)間（-2，6）上有且僅有4個零點.

變式練習(xí)

1. （2014年高考福建卷理科，4）若函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）的圖象如圖4所示，則下列函數(shù)圖象正確的是（ ）

A B

C D

2. （2013年高考安徽卷理科，8）函數(shù)y=f（x）的圖象如圖5所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n（n≥2）個不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得==…=，則n的取值范圍是（ ）

A. {3，4} B. {2，3，4}

C. {3，4，5} D. {2，3}

3. （2014年高考江蘇卷，13）已知f（x）是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，3）時， f（x）=x2-2x+. 若函數(shù)y=f（x）-a在區(qū)間[-3，4]上有10個零點（互不相同），則實數(shù)a的取值范圍是________.

4. 已知函數(shù)f（x）=x（1+ax）. 設(shè)關(guān)于x的不等式f（x+a）

參考答案

1. B 由圖可知loga3=1，即a=3. 利用指、對、冪函數(shù)的圖象特征以及函數(shù)圖象變換的知識易知只有B選項正確.

2. B 因為表示點（xi， f（xi））與原點連線的斜率，所以題目中的n表示過原點的直線與曲線y=f（x）的交點個數(shù). 由圖可知，n可取2，3，4. 故選B.

3. 0，

4. ，0 由0∈-，？哿A得f（a），< -，所以f（x）在-，上單調(diào)遞增. 因為a<0，所以f（x+a）. 解得