函數(shù)有多種類型，其中有一種表達(dá)式比較特殊的函數(shù)，就是分段函數(shù)，即是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式（或圖象）也不同的函數(shù).它是一個(gè)函數(shù)，卻又常常被誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)，或往往被“一視同仁”為一種對(duì)應(yīng)法則.本文通過(guò)對(duì)分段函數(shù)的定義及性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，把近幾年高考考查分段函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行歸納整理，以便在高考復(fù)習(xí)中能系統(tǒng)掌握這一知識(shí).

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)；根據(jù)要求求分段函數(shù)的解析式；了解分段函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì).

難點(diǎn)：分段函數(shù)的圖象及實(shí)際應(yīng)用.

方法突破

分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù). 它是一類表達(dá)形式特殊的函數(shù). 下面對(duì)其性質(zhì)和解題方法做一些歸納總結(jié).

（1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)，只不過(guò)在定義域的不同子集內(nèi)解析式不一樣.

（2）分段函數(shù)的定義域是各段“定義域”的并集，其值域是各段“值域”的并集；分段函數(shù)的最大值是各段最大值中的最大者，最小值是各段最小值中的最小值.

（3）分段函數(shù)分段解：求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)要看清自變量的取值范圍對(duì)應(yīng)的是哪一段，再代入對(duì)應(yīng)的關(guān)系式求解.

（4）畫(huà)分段函數(shù)圖象時(shí)一定要注意區(qū)間端點(diǎn)是否包含在內(nèi)，若端點(diǎn)包含在內(nèi)，則畫(huà)成實(shí)點(diǎn)，若不包含在內(nèi)，則畫(huà)成虛點(diǎn).

（5）求分段函數(shù)的解析式時(shí)，一般要求區(qū)間端點(diǎn)應(yīng)不重不漏，在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng)取值范圍.

（6）分段函數(shù)的性質(zhì)包括單調(diào)性和奇偶性. 若一個(gè)分段函數(shù)是單調(diào)遞增的，則其左邊一段的圖象上任一點(diǎn)都要低于右邊的圖象上的點(diǎn)，單調(diào)遞減則相反. 分段函數(shù)奇偶性的判斷要在每一段里分別進(jìn)行，要注意函數(shù)解析式的選擇.

（7）分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用主要是求函數(shù)的解析式. 在寫(xiě)出解析式后要注意每段的自變量的取值范圍，根據(jù)實(shí)際情況有可能還要取自然數(shù)或正整數(shù)等.

典例精講

1. 分段函數(shù)的定義域和值域

分段函數(shù)的定義域?yàn)槊恳欢魏瘮?shù)定義域的并集，在表示每一段函數(shù)中x的取值范圍時(shí)，要確保做到定義域不重不漏，即交集為空集，并集為整個(gè)定義域. 值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的值域的并集.

例1 設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2（x∈R）， f（x）=g（x）+x+4，xg（x），則f（x）的值域是（ ）

A. -，0∪（1，+∞）

B. [0，+∞）

C. -，+∞

D. -，0∪（2，+∞）

思索 本題考查分段函數(shù)值域的求法，及分類討論的數(shù)學(xué)思想.把函數(shù)g（x）的解析式代入到f（x）的解析式內(nèi)得到具體的分段函數(shù)，同時(shí)解出每段函數(shù)后面自變量的取值范圍，即可得f（x）的值域.

破解 由題意：

f（x）=x2+x+2，xg（x）

=x2+x+2，x∈（-∞，-1）∪（2，+∞），x2-x-2，x∈（-1，2）

=x++，x∈（-∞，-1）∪（2，+∞），x--，x∈（-1，2）， 故當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）；當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)，f（x）的值域?yàn)?，0. 故選D.

2. 分段函數(shù)求值

分段函數(shù)求值的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的取值范圍確定相應(yīng)的解析式，然后由內(nèi)向外逐一分析，代入求值. 一定要先判斷自變量屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的解析式求值.

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=x2+1，x≤1，，x>1，則f（f（3））=_______.

思索 本題考查分段函數(shù)及求值.解題關(guān)鍵是先求出f（3）的值，然后再把f（3）的值代入函數(shù)f（x）相應(yīng)的解析式中，求出f（f（3））. 分段函數(shù)的求值是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)予以重視.

破解 由已知得f（3）=，所以f（f（3））=f=+1=+1=.

例3 若已知函數(shù)f（x）=a，x>6，4-x+4，x≤6是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

思索 分段函數(shù)單調(diào)遞增，則其每段都要單調(diào)遞增，而且圖象中左邊一段的最高點(diǎn)不能高于其右邊一段的最低點(diǎn)，這一點(diǎn)容易忽略，要引起注意. 由此，本題應(yīng)該受到三個(gè)條件的限制：指數(shù)式函數(shù)遞增，直線式函數(shù)遞增，并且滿足前面的最值條件.

破解 由于函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，須滿足條件a>1，4->0，4-×6+41，a<8，a>4或a<-7，所以4

4. 分段函數(shù)的奇偶性

判斷分段函數(shù)的奇偶性必須對(duì)每一段的奇偶性單獨(dú)討論，由函數(shù)奇偶性的定義，得出奇偶性的結(jié)論.也可以用作圖的方法利用對(duì)稱性觀察判斷.

例4 （南通市2013屆高三第三次調(diào)研測(cè)試，14）已知函數(shù)f（x）=ax2-2x-1，x≥0，x2+bx+c，x<0是偶函數(shù)，直線y=t與函數(shù)y=f（x）的圖象自左向右依次交于四個(gè)不同點(diǎn)A，B，C，D. 若AB=BC，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)________.

思索 本題考查函數(shù)的奇偶性. 對(duì)分段函數(shù)的奇偶性進(jìn)行判斷，要遵照奇、偶函數(shù)的定義，對(duì)自變量分段的每一個(gè)區(qū)間進(jìn)行考察. 在分段進(jìn)行判斷的時(shí)候一定要注意-x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是哪一段，不能混淆. 解決本題的關(guān)鍵還要利用對(duì)稱性，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出t的值.

破解 因?yàn)閥=f（x）是偶函數(shù)，讓ax2-2x-1=（-x）2+b（-x）+c，解得a=1，b=2，c=-1. A，B兩點(diǎn)關(guān)于x=-1對(duì)稱，所以xA+xB=-2；B，C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，AB=BC，所以xB=，xB+xC=0，所以xB=-. 代入x<0時(shí)f（x）的解析式，得y=-，所以t=-.

5. 分段函數(shù)與方程的根

往往需要根據(jù)變量的范圍列出不同的方程，方程的求解也要與其范圍相對(duì)應(yīng). 若是判斷分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，也可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決.

例5 已知函數(shù)f（x）=，g（x）=kx-2，若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.

思索 本題考查分段函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要利用圖象來(lái)解決. 先把原函數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)去掉，將其改成分段函數(shù)，畫(huà)出圖象. 函數(shù)g（x）的圖象繞著定點(diǎn)（0，-2）旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它們有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍即為所求.

破解 函數(shù)f（x）==.當(dāng)x>1時(shí)，f（x）==x+1=x+1；當(dāng)x<1時(shí)，f（x）== -x+1=-x-1，-1≤x<1，x+1，x<-1.

綜上，函數(shù)f（x）==x+1，x>1，-x-1，-1≤x<1，x+1，x<-1.作出函數(shù)f（x）的圖象（圖略），要使函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

若直線g（x）=kx-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），得k==4，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是0

變式練習(xí)

1. 已知函數(shù)f（x）=2-x，x≥3，f（x+1），x<3，則f（log23）=________.

2. 設(shè)集合A={x0≤x<1}，B={x1≤x≤2}，函數(shù)f（x）=2x，x∈A，4-2x，x∈B， 若當(dāng)x0∈A時(shí)， f[f（x0）]∈A，則x0的取值范圍是（ ）

A. log，1\tB. （log32，1）

C. ，1 D. 0，

3. 已知函數(shù)f（x）=x+，x>0，x3+9，x≤0，若關(guān)于x的方程f（x2+2x）=a（a∈R）有6個(gè)不同的實(shí)根，則a的取值范圍是（ ）

A. （2，8] B. （2，9]

C. （8，9] D. （8，9）

4. 已知f（x）=log2x，x>0，log（-x），x<0，若f（a）>f（-a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A. （-1，0）∪（0，1）

B. （-∞，-1）∪（1，+∞）

C. （-1，0）∪（1，+∞）

D. （-∞，-1）∪（0，1）

5. 已知函數(shù)f（x）=x+，x∈0，，2，x∈，2.若存在x1，x2，當(dāng)0≤x1

參考答案

1. 因?yàn)?

2. A 當(dāng)x0∈A時(shí)， f（x0）∈[1，2）， f[f（x0）]∈（0，2]，而要當(dāng)x0∈A時(shí)， f[f（x0）]∈A，則f（x）=4-2x∈[0，1），所以x∈，2，即2∈，2，所以x0∈log，1，即選A.

3. C 作出函數(shù)y=f（x）的圖象（如圖2），令t=x2+2x，則t=（x+1）2-1≥-1， f（x2+2x）=a有6個(gè)不同的實(shí)根？圳關(guān)于t的方程f（t）=a在區(qū)間（-1，+∞）上有3個(gè)不同的根. 注意到f（-1）=8，由圖象可知8

4. C f（a）>f（-a）？圯a>0，log2a>loga，或a<0，log（-a）>log2（-a）？圯a>0，a>或a<0，->-a？圯a>1或-1

5. ， 當(dāng)f（x1）=f（x2）時(shí)，由圖象可知≤x1<，≤x2<1，≤f（x2）<1，所以≤x1 f（x2）<.