指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的兩個(gè)基本初等函數(shù)，也是歷年高考考查函數(shù)“兩域三性”的重要載體.有關(guān)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的試題每年必考，大都以指、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象為依托，結(jié)合推理、運(yùn)算來(lái)解決，往往與其他函數(shù)進(jìn)行復(fù)合；另外底數(shù)多含參數(shù)，考查分類討論思想.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖象. 主要體現(xiàn)在利用它們的定義、圖象和性質(zhì)研究簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)以及通過(guò)它們的圖象變換作出其他函數(shù)的圖象.

難點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用. 主要體現(xiàn)在利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)函數(shù)的其他問(wèn)題和解決以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為背景的代數(shù)推理題.

方法突破

1. 熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

（1）指數(shù)運(yùn)算：①ar·as=a；②（ar）s=ars；③（ab）r=arbr（其中a>0，b>0，r，s∈Q）.

（2）對(duì)數(shù)恒等式：①a=N（a>0，且a≠1，N>0）；②logaab=b（a>0，且a≠1，b∈R）.

（3）對(duì)數(shù)運(yùn)算法則（a>0，且a≠1，M>0，N>0）：①log（M·N）=logaM+logaN；②log=logaM-logaN；③logaMn=nlogaM.

（4）換底公式：logbN=（a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，N>0）.

推論：①logab·logba=1；②logab·logbc=logac；③logbn=logab；④logbn=logab.

（5）指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的性質(zhì)：

①當(dāng)01時(shí)，y=ax在其定義域內(nèi)是增函數(shù)；y=ax（a>0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）.

②當(dāng)00，則ax∈（0，1）；若x<0，則ax∈（1，+∞）；當(dāng)a>1時(shí)，若x>0，則ax∈（1，+∞）；若x<0，則ax∈（0，1）.

（6）對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）的性質(zhì)：

①定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)镽.

②恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）.

③當(dāng)a>1時(shí)，y=logax在（0，+∞）上為增函數(shù)；當(dāng)0

④當(dāng)a>1，x>1時(shí)，logax>0；當(dāng)a>1，00；當(dāng)01時(shí)，logax<0（同正異負(fù)）.

2. 比較大小

（1）分清是底數(shù)相同還是指數(shù)（真數(shù)）相同.

（2）利用指、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖象比較大小.

（3）當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)（真數(shù)）均不相同時(shí)，可通過(guò)中間量過(guò)渡處理.

3. 單調(diào)性與值域

（1）研究指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間應(yīng)該先求定義域，特別是與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，首先保證真數(shù)大于零.

（2）在研究以“ax”或“l(fā)ogax”為變?cè)暮瘮?shù)值域問(wèn)題時(shí)，可以將“ax” 或“l(fā)ogax”看做一個(gè)整體，采用“整體代換”的思想求解.

（3）在研究形如“y=af（x）”或“y=loga f（x）”的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與值域問(wèn)題時(shí)，先求內(nèi)層函數(shù)“u=f（x）”的單調(diào)區(qū)間與值域，再求外層函數(shù)“y=au”或“y=logau”的單調(diào)性與值域，要特別注意定義域.

（4）注意底數(shù)a的取值范圍和分類討論.

4. 圖象與方程

有關(guān)指、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題或方程根的問(wèn)題，往往利用圖象解決. 作圖時(shí)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象上的一些關(guān)鍵點(diǎn)、線的位置要牢記在心.

典例精講

例1 （1）已知a=5，b=5，c=，則（ ）

A. a>b>c B. b>a>c

C. a>c>b D. c>a>b

（2）已知b>0，log5b=a，lgb=c，5d=10，則下列等式一定成立的是（ ）

A. d=ac B. a=cd

C. c=ad D. d=a+c

思索 （1）比較三個(gè)式子的大小，通常先比較其中兩個(gè)式子的大小，而且優(yōu)先選擇兩個(gè)底數(shù)相同的式子，然后借用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；接下來(lái)把這兩個(gè)式子與第三個(gè)式子進(jìn)行比較，直接比可能行不通，可借助中間量來(lái)搭橋，根據(jù)題目特征，選用中間量“1”，問(wèn)題即可快速獲解. （2）熟練掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化：ab=N（a>0，a≠1）？圳b=logaN，及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和換底公式：logab=.

破解 （1）因?yàn)閏=5=5，log23.4>log>1>log43.6>0，且指數(shù)函數(shù)y=5x是R上的增函數(shù)，所以a>c>b，故應(yīng)選C.

（2）由logb=a得b=5a，又lgb=c，則lg5a=c？圯alg5=c？圯lg5=，5d=10？圯d=log510=，所以d=，所以a=cd. 故選B.

例2 函數(shù)f（x）=log（x2-4）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）

A. （0，+∞）\tB. （-∞，0）

C. （2，+∞）\tD. （-∞，-2）

思索 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間首先要得到其定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間，求復(fù)合函數(shù)的定義域要利用“同增異減”法則.

破解 函數(shù)f（x）=log（x2-4）的定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（2，+∞），函數(shù)log（x2-4）由函數(shù)y=logt與t=x2-4復(fù)合而成，y=logt在（0，+∞）上單調(diào)遞減，t=x2-4在（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，所以f（x）=log（x2-4）在（-∞，-2）上單調(diào)遞增.故選D.

例3 （1）已知a>0，b>0，且ab=1，則函數(shù)f（x）=ax與函數(shù)g（x）= -logbx的圖象可能是（ ）

A B C D

（2）已知f（x）=ex-1，x≤0，f（x-1）+1，x>0，則方程f（x）-x=0在區(qū)間[0，5）上所有實(shí)根的和為（ ）

A. 15 B. 10 C. 6 D. 4

思索 熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象形態(tài)，以及由它們的圖象經(jīng)過(guò)平移變換和對(duì)稱變換后的圖象. 注意函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根及函數(shù)圖象的交點(diǎn)之間的相互轉(zhuǎn)化.

破解 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的要求，顯然01時(shí)， f（x）與g（x）都是單調(diào)遞增函數(shù)，只有答案B符合要求，故應(yīng)選B.

（2）由f（x）=ex-1，x≤0，f（x-1）+1，x>0，

①當(dāng)0

②當(dāng)1

③當(dāng)2

④當(dāng)3

⑤當(dāng)4

作出y=f（x）在[0，5）上的圖象，在[0，5）上的圖象與直線y=x切于點(diǎn)（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）. 故在[0，5）上的根之和為1+2+3+4=10，故選B.

例4 已知函數(shù)f（x）=x2+ex-（x<0）與g（x）=x2+ln（x+a）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）

A. -∞，

B. （-∞，）

C. -，

D. -，

思索 利用對(duì)稱性設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將a表示成x的函數(shù)，即可求出a的取值范圍.

破解 設(shè)（x0，y0）（x0>0）與（-x0，y0）是g（x）=x2+ln（x+a）圖象上與f（x）=x2+ex-（x<0）圖象上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，則x+e-=x+ln（x0+a），即e-=ln（x0+a）（x0>0）. 畫出函數(shù)y=ln（x+a）與y=e-=-的圖象，即兩圖象的交點(diǎn)在y軸的右側(cè)，當(dāng)交于y軸時(shí)a=，所以a<，故選B.

變式練習(xí)

1. 若已知a=5，b=5，c=，則（ ）

A. a>b>c B. b>a>c

C. a>c>b D. c>a>b

2. 若已知a>0，b>0，且ab=1，則函數(shù)f（x）=ax與函數(shù)g（x）=-logbx的圖象可能是（ ）

A B C D

3. 設(shè)函數(shù)f（x）=ex+x-2，g（x）=lnx+x2-3，若實(shí)數(shù)a，b滿足f（a）=0，g（b）=0，則（ ）

A. g（a）<0

B. f（b）<0

C. 0

D. f（b）

4. 已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（loga）+f（loga）≤2f（1），則a的取值范圍是（ ）

A. [1，2] B. 0，

C. ，2 D. （0，2]

5. 若函數(shù)f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R）， f（lg（log210））=5，則f（lg（lg2））等于（ ）

A. -5 B. -1 C. 3 D. 4

6. （2014年高考上海卷理科）設(shè)常數(shù)a≥0，函數(shù)f（x）=.

（1）若a=4，求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f -1（x）；

（2）根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由.

參考答案

1. C 因?yàn)閏=5=5，log23.4>log>1>log43.6>0，且指數(shù)函數(shù)y=5x是R上的增函數(shù)，所以a>c>b，故應(yīng)選C.

2. B 根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的要求，顯然01時(shí)， f（x）與g（x）都是單調(diào)遞增函數(shù)，只有答案B符合要求，故應(yīng)選B.

3. A 由題意，函數(shù)f（x）=ex+x-2=0的根為x=a， f（x）=ex+x-2=0即ex=2-x，作出y=ex與y=2-x的圖象，知01，f（b）=eb+b-2=eb-2+b>e-2+b>0，故選A.

4. C f（loga）+f（loga）=f（log2a）+f（-log2a）=2f（log2a）≤2f（1）？圯loga≤1？圯≤a≤2，故選C.

5. C f（lg（log210））=flg=f（-lg（lg2））=5，又f（x）+f（-x）=8，所以f（lg（lg2））=3，故選C.

6. （1）由題得， f（x）==1+∈（-∞，-1）∪（1，+∞），所以f -1（x）=2+log，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）.

（2）因?yàn)閒（x）=且a≥0，所以①當(dāng)a=0時(shí)， f（x）=1，x∈R，所以對(duì)任意的x∈R都有f（x）=f（-x），所以y=f（x）為偶函數(shù). ②當(dāng)a=1時(shí)， f（x）=，x≠0，f（-x）=== - f（x），所以對(duì)任意的x≠0且x∈R都有f（x）=-f（-x），所以y=f（x）為奇函數(shù). ③當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，定義域?yàn)閧xx≠log2a，x∈R}，所以定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以y=f（x）為非奇非偶函數(shù).