導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中教材后，顯示了它強(qiáng)大的生命力，可用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間、極值、最值、以及利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題；還可以與函數(shù)、不等式、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等多方面知識(shí)與方法交匯融合.在考查基礎(chǔ)知識(shí)之上導(dǎo)數(shù)題型往往呈現(xiàn)觀點(diǎn)高、應(yīng)用性強(qiáng)、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn).

重點(diǎn)難點(diǎn)

高考對(duì)此部分內(nèi)容的考查主要體現(xiàn)在：①考查導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題等；②考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的能力：含參數(shù)的函數(shù)問題，函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及和不等式、方程根的分布、解析幾何等知識(shí)的交匯.

重點(diǎn)：了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）；了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）；會(huì)求閉區(qū)間下函數(shù)的最大值、最小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）.

難點(diǎn)：用分類討論的思想分析解決含參數(shù)的函數(shù)問題，用數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想研究函數(shù)、方程、不等式知識(shí)之間的聯(lián)系.

方法突破

1. 要重視基礎(chǔ).該部分內(nèi)容突出一個(gè)“用”字，其中利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性起著基礎(chǔ)性的作用，對(duì)導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性、最值、極值等方面的應(yīng)用，要做到抓主線，攻重點(diǎn)，熟知方法，并不斷進(jìn)行訓(xùn)練. 要注意概念辨析和知識(shí)理解，如：①若已知f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減），則轉(zhuǎn)化為不等式f ′（x）≥0（f ′（x）≤0）在單調(diào)區(qū)間D上恒成立問題求解，而不是f ′（x）>0（f ′（x）<0）在單調(diào)區(qū)間D上恒成立問題. ②可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)未必是極值點(diǎn)；如：函數(shù)f（x）=x3，在x=0處，有f ′（0）=0，但x=0不是函數(shù)f（x）=x3的極值點(diǎn).

2. 要把握思想. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括，是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的體現(xiàn)，由此，對(duì)導(dǎo)數(shù)中體現(xiàn)出來的數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法，要注意提煉出來，總結(jié)到位，并不斷進(jìn)行訓(xùn)練.

3.要加強(qiáng)交匯.注意導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)的交匯. 由導(dǎo)數(shù)方法研究方程、不等式時(shí)，一般是先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，這里要考慮是否直接構(gòu)造，還是轉(zhuǎn)化構(gòu)造，借助適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)形式展開研究. 發(fā)揮好導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的工具作用，要把知識(shí)與知識(shí)相互結(jié)合起來，把知識(shí)與方法也相互結(jié)合起來，以此不斷提升我們綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

4. 對(duì)于有些函數(shù)問題，一階求導(dǎo)得不到問題解決，有時(shí)候也可以思考是否需要二階求導(dǎo).

典例精講

題型一： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值問題

例1 （2015年高考安徽卷）已知函數(shù)f（x）=（a>0，r>0）.

（1）求f（x）的定義域，并討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）內(nèi)的極值.

思索 本題主要考查函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，以及求函數(shù)的極值等基礎(chǔ)知識(shí). 在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意，求導(dǎo)后的分子是一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一元二次式，在求f ′（x）>0和f ′（x）<0時(shí)要注意.

破解 （1）由題意可知x≠-r，所求的定義域?yàn)椋?∞，-r）∪（-r，+∞）. f（x）==， f ′（x）==. 所以當(dāng)x<-r或x>r時(shí)， f ′（x）<0；當(dāng)-r0. 因此， f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-r），（r，+∞）； f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-r，r）.

（2）由（1）的解答可知f ′（r）=0， f（x）在（0，r）上單調(diào)遞增，在（r，+∞）上單調(diào)遞減. 因此，x=r是f（x）的極大值點(diǎn)，所以f（x）在（0，+∞）內(nèi)的極大值為f（r）====100；f（x）在（0，+∞）內(nèi)無極小值. 綜上， f（x）在（0，+∞）內(nèi)極大值為100，無極小值.

題型二 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根或函數(shù)的圖象

例2 如果函數(shù)y=f（x）的圖象如圖1所示，那么其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（ ）

思索 本題考查原函數(shù)f（x）與導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的關(guān)系， f ′（x）>0時(shí)為增函數(shù)； f ′（x）<0時(shí)為減函數(shù). 所以根據(jù)y=f（x）的單調(diào)性可知y=f ′（x）的正負(fù).

破解 根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象走勢為增、減、增、減，可知f ′（x）的取值為正、負(fù)、正、負(fù)，所以選A.

例3 （2015年高考北京卷）設(shè)函數(shù)f（x）=-klnx，k>0.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）證明：若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn).

思索 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)極值、零點(diǎn)等問題. 先對(duì)f（x）求導(dǎo). 令f ′（x）=0解出x=，分析函數(shù)的單調(diào)性可知x=時(shí)函數(shù)取得極小值，同時(shí)也是最小值. 如果函數(shù)存在零點(diǎn)，那么只需要最小值f（）≤0即可，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性證明零點(diǎn)的唯一性.

破解 （1）由f（x）=-klnx，k>0得f ′（x）=x-=. 由f ′（x）=0解得x=.

f（x）與f ′（x）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下：

所以， f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，），單調(diào)遞增區(qū)間是（，+∞）； f（x）在x=處取得極小值f（）=.

（2）由（1）知， f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為f（）=. 因?yàn)閒（x）存在零點(diǎn)，所以≤0，從而k≥e. 當(dāng)k=e時(shí)， f（x）在區(qū)間（1，）上單調(diào)遞減，且f（）=0，所以x=是f（x）在區(qū)間（1，]上的唯一零點(diǎn). 當(dāng)k>e時(shí)， f（x）在區(qū)間（1，]上單調(diào)遞減，且f（1）=>0， f（）=<0，所以f（x）在區(qū)間（1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（1，]上僅有一個(gè)零點(diǎn).

題型三 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問題或證明不等式

例4 （2015年高考福建卷）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=kx（k∈R）.

（1）證明：當(dāng)x>0時(shí)，f（x）

（2）證明：當(dāng)k<1時(shí)，存在x0>0，使得對(duì)任意x∈（0，x0），恒有f（x）>g（x）；

（3）確定k的所有可能取值，使得存在t>0，對(duì)任意的x∈（0，t），恒有f（x）-g（x）

思索 在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問題時(shí)，我們常常要借助導(dǎo)數(shù)，將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，探究這類問題的根本，從本質(zhì)入手，進(jìn)而求解. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式.

破解 （1）令F（x）=f（x）-x=ln（1+x）-x，x∈[0，+∞），則有F ′（x）=-1=-. 當(dāng)x∈（0，+∞），F(xiàn)′（x）<0，所以F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減. 故當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)（x）0時(shí)， f（x）

（2）令G（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-kx，x∈[0，+∞），則可得G′（x）=-k=.當(dāng)k≤0時(shí)，G′（x）>0，所以G（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增， G（x）>G（0）=0.

故任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意. 當(dāng)00，取x0=-1，對(duì)任意x∈（0，x0），有G′（x）>0，從而G（x）在（0，x0）單調(diào)遞增，所以G（x）>G（0）=0，即f（x）>g（x）.

綜上，當(dāng)k<1時(shí)，總存在x0>0使得對(duì)任意x∈（0，x0），恒有f（x）>g（x）.

（3）當(dāng)k>1時(shí)，由（1）知，對(duì)于？坌x∈（0，+∞），g（x）>x>f（x），故f（x）-g（x）=g（x）-f（x）=kx-ln（1+x）>kx-x=（k-1）x.

令（k-1）x>x2，解得0

從而得到，當(dāng)k>1時(shí)，對(duì)于x∈（0，k-1），恒有f（x）-g（x）>x2，故滿足題意的t不存在.

當(dāng)k<1時(shí)，取k1=，從而k0，使是x∈（0，x0）， f（x）>k1x>kx=g（x），此時(shí)f（x）-g（x）>x2=f（x）-g（x）>（k1-k）x=x，令x>x2，解得0x2.

記x0與的較小者為x1，當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，恒有f（x）-g（x）>x2.

故滿足題意的t不存在.

當(dāng)k=1時(shí)，由（1）知，x>0，f（x）-g（x）=f（x）-g（x）=x-ln（1+x），令M（x）=x-ln（1+x）-x2，x∈[0，+∞），則有M′（x）=1=-2x=.

當(dāng)x>0時(shí)，M′（x）<0，所以M（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，故M（x）

故當(dāng)x>0時(shí)，恒有f（x）-g（x）

綜上，k=1.

變式練習(xí)

1. 對(duì)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a為非零常數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是（ ）

A. -1是f（x）的零點(diǎn)

B. 1是f（x）的極值點(diǎn)

C. 3是f（x）的極值

D. 點(diǎn)（2，8）在曲線y=f（x）上

2. 設(shè)函數(shù)f ′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（ ）

A. （-∞，-1）∪（0，1）

B. （-1，0）∪（1，+∞）

C. （-∞，-1）∪（-1，0）

D. （0，1）∪（1，+∞）

3. 設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）<0，則a的取值范圍是（ ）

A. -，1\tB. -，

C. ，\tD. ，1

4. 設(shè)函數(shù)f（x）=e+x2-mx.

（1）證明：f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；

（2）若對(duì)于任意x1，x2∈[-1，1]，都有f（x1）-f（x2）≤e-1，求m的取值范圍.

5. 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）.

（1）試討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若b=c-a（實(shí)數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是（-∞，-3）∪1，∪，+∞，求c的值.

參考答案

1. A 2. A 3. D

4. （1）略 （2）[-1，1]

5. （1）略

（2）由（1）知，函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值為f（0）=b， f-=a3+b，則函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f（0）·f-=ba+b<0，從而a>0，-a30時(shí)，a3-a+c>0或當(dāng)a<0時(shí)，a3-a+c<0.

設(shè)g（a）=a3-a+c，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是（-∞，-3）∪1，∪，+∞，則在（-∞，-3）上g（a）<0，且在1，∪，+∞上g（a）>0均恒成立，從而g（-3）=c-1≤0，且g=c-1≥0，因此c=1.

此時(shí)， f（x）=x3+ax2+1-a=（x+1）[x2+（a-1）x+1-a]，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則x2+（a-1）x+1-a=0有兩個(gè)異于-1的不等實(shí)根，所以Δ=（a-1）2-4（1-a）=a2+2a-3>0，且（-1）2-（a-1）+1-a≠0，解得a∈（-∞，-3）∪1，∪，+∞. 綜上c=1.