龐旭東，朱偉華，朱守正

（1.上海機(jī)電工程研究所，上海 201109；2.華東師范大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 200241）

0 引言

變換電磁學(xué)利用坐標(biāo)變換的方法，可根據(jù)需要設(shè)計(jì)特定本構(gòu)參數(shù)（介電常數(shù)ε，磁導(dǎo)率μ）的介質(zhì)，使電磁波在這些介質(zhì)中以期望的方式傳播或散射，從而達(dá)到對(duì)電磁波的操控，結(jié)合超材料技術(shù)，可設(shè)計(jì)多種新穎器件［1－3］。早期的應(yīng)用是電磁隱身斗篷，其后發(fā)展出了多種不同的坐標(biāo)變換方式（如折疊變換），以及其他功能的變換電磁學(xué)器件（如電磁波集中器、電磁波擴(kuò)展器和電磁波旋轉(zhuǎn)器等）［4－9］。

電磁波集中器／聚焦器對(duì)入射電磁波有匯聚作用，并可放大此器件內(nèi)部物體的散射，這些性能類(lèi)似光學(xué)器件中凸透鏡的功能，而應(yīng)用頻段則拓展至電磁波譜領(lǐng)域［6－11］。電磁波集中器可分為普通型和折疊變換式兩類(lèi)。目前對(duì)這兩類(lèi)器件的研究缺乏統(tǒng)一性，對(duì)后者的研究相對(duì)更少。少量文獻(xiàn)對(duì)集中器散射放大作用研究，但對(duì)折疊變換媒質(zhì)散射放大特性的定量對(duì)比分析尚不深入［11］。折疊變換式集中器的媒質(zhì)參數(shù)多為負(fù)值，目前暫未有文獻(xiàn)對(duì)其參數(shù)詳細(xì)分析。本文對(duì)折疊變換式集中器變換媒質(zhì)的散射特性進(jìn)行了仿真驗(yàn)證與計(jì)算。

1 理論基礎(chǔ)

上述兩類(lèi)電磁波集中器的坐標(biāo)變換函數(shù)均為折線型分段函數(shù)［6－9］。對(duì)折疊變換式集中器二維圓柱模型，在柱面波照射，波源頻率f＝3GHz，波源距離d＝0.9m，a＝0.1m，b＝0.2m，k＝3條件下，用Comsol Mutiphysics有限元法分析軟件仿真，結(jié)果如圖1（a）所示［6］。其中：內(nèi)圓r＝a為器件的內(nèi)邊界；外圓r＝b為器件的外邊界；k為倍率。兩者的對(duì)比如圖1（b）所示。采用圓柱坐標(biāo)系，原始空間和變換空間分別為（r，θ，z），（r′，θ′，z′）。此處：r，θ，z分別為各自空間徑向分量、角度分量和軸向分量。

圖1（b）中：r為原始空間圓柱半徑；縱軸r′為變換空間圓柱半徑；折線1、2分別為普通電磁波集中器和折疊變換式集中器的坐標(biāo)變換函數(shù)。折線2表示將0≤r≤s區(qū)域壓縮到0≤r′≤a（s＞b），s≥r≥b區(qū)域被變換到a≤r′≤b，且b≤r≤s區(qū)域被翻折回b≤r′≤s。其中帶有局部空間的翻折，是一種折疊變換，稱其變換媒質(zhì)為折疊變換媒質(zhì)或互補(bǔ)媒質(zhì)，參數(shù)多為負(fù)值［5］。折線1中a＜s＜b，表示普通型集中器／聚焦器［6－9］。坐標(biāo)變換函數(shù)中s的不同取值可得到兩種不同器件。

圖1 仿真與對(duì)比Fig.1 Simulation and comparison

器件的坐標(biāo)變換公式可統(tǒng)一表示為

式中：s＝ka［6－9］。折線1、2的s值范圍不同，故普通型集中器1＜k＜b／a，折疊變換式集中器k＞b／a。對(duì)圖1的模型b／a＝2，普通型集中器的k只能限制為小于2；折疊變換式集中器的k可大于2，甚至更高，其媒質(zhì)參數(shù)也會(huì)出現(xiàn)負(fù)值。

令sinθ＝y(tǒng)／r，cosθ＝x／r，折疊變換式集中器柱坐標(biāo)系中介電常數(shù)ε各分量可表示為

介電常數(shù)ε張量在x、y向分量可表示為

2 散射特性

由圖1（a）可知：與普通型集中器類(lèi)似，折疊變換式集中器對(duì)入射波也有匯聚作用，具電磁散射放大功能，相當(dāng)于電磁波譜領(lǐng)域的凸透鏡［5－9］。倍率為k的集中器，對(duì)內(nèi)置物體的散射尺寸，其放大倍數(shù)為k。折疊變換式集中器的倍率k＞b／a，可突破器件尺寸的限制，實(shí)現(xiàn)較高倍率的散射放大作用。

本文用數(shù)值仿真計(jì)算驗(yàn)證折疊變換式集中器的散射特性。在圖1（a）器件模型內(nèi)部放置一較小尺寸物體的模型，用平面波照射得到散射模式的仿真結(jié)果。本文選取F－22隱形飛機(jī)截面形狀的二維仿真模型（實(shí)際飛機(jī)的共形縮比模型）作為內(nèi)置物體，模型機(jī)身長(zhǎng)度h＝0.134 6m，模型翼展寬度w＝0.10m。對(duì)飛行體，本文設(shè)置仿真模型的邊界為金屬，器件尺寸a＝0.1m，b＝0.2m。對(duì)各種模型散射模式的仿真結(jié)果，分別定量計(jì)算其散射寬度值［10］。因有限元法計(jì)算的結(jié)果是近場(chǎng)數(shù)據(jù)，故還需由Huygens原理將近場(chǎng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)，再計(jì)算散射寬度

式中：Ei，Es分別為入射電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)和散射電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)；φ為柱坐標(biāo)系中方向角度；r為其徑向距離。

對(duì)k＝4.5的折疊變換式集中器散射放大功能進(jìn)行了仿真驗(yàn)證與計(jì)算。f＝3GHz，k＝4.5時(shí)TE平面波從左照射模型的仿真及散射寬度計(jì)算結(jié)果如圖2～4所示。為便于比較，統(tǒng)一σ取值范圍為0～5.5m。由圖可知：圖3（a）集中器中原尺寸模型的散射與圖4（a）4.5倍尺寸模型基本相等，且遠(yuǎn)大于圖2（a）原尺寸模型。

圖2 原尺寸隱身飛機(jī)仿真和計(jì)算結(jié)果Fig.2 Simulation and calculation result of stealth aircraft with original size

用類(lèi)似方法對(duì)其他倍率的折疊變換式集中器散射特性也進(jìn)行了研究，結(jié)果驗(yàn)證了圖2～4的結(jié)論：倍率為k的折疊變換式集中器，對(duì)內(nèi)置物體的散射尺寸，其放大倍數(shù)為k（k＞b／a），可實(shí)現(xiàn)較高倍率的散射放大。

散射放大作用是一種超散射可用于設(shè)計(jì)多種新穎的變換電磁學(xué)器件［11－12］。在軍事領(lǐng)域，折疊變換式集中器可用于誘餌機(jī)和干擾機(jī)，在防空領(lǐng)域的突防與反突防有潛在的軍事價(jià)值。

3 參數(shù)分析

討論不同變量（倍率k或器件相對(duì)厚度D）下折疊變換媒質(zhì)參數(shù)極值的變化，以及整體參數(shù)分布的規(guī)律。此處：D＝（b－a）／a。

設(shè)a＝0.1m，b＝0.2m，當(dāng)D＝1時(shí)不同倍率k下ε各方向分量極值如圖5所示。

圖3 集中器內(nèi)原尺寸隱身飛機(jī)仿真和計(jì)算結(jié)果Fig.3 Simulation and calculation result of stealth aircraft with original size in concentrator

圖4 4.5倍尺寸模型仿真和計(jì)算結(jié)果Fig.4 Simulation and calculation result of model with 4.5times size

設(shè)a＝0.1m，b為0.1～0.4m，s＝0.4m，當(dāng)k＝4時(shí)不同D的ε各向分量極值如圖6所示。

圖5 不同k時(shí)ε各向分量極值Fig.5 Various component extremums ofεunder different k

圖6 不同D時(shí)ε各向分量極值Fig.6 Various component extremums ofεunder different D

歸一化參數(shù)（η＝（ηmax－ηmin）／ηmax）分別如圖7、8所示。由圖7可知：ηr，θ，z隨k增大而增大，表明隨著器件放大能力的提高，變換媒質(zhì)參數(shù)的分布范圍不斷增大，意味著實(shí)際實(shí)現(xiàn)的難度加大；ηxx，yy隨k先減小后上升，在k＝4處取得最小值75%，綜合考慮兩者及實(shí)現(xiàn)難度，可認(rèn)為：k＝4是器件設(shè)計(jì)的最優(yōu)化倍率值。由圖8可知：ηr，θ，z不隨D發(fā)生變化，保持75%不變；ηxx，yy隨D先減小后增大，在D＝1處取得參數(shù)分布最小值，綜合兩者可認(rèn)為D＝1是器件設(shè)計(jì)的最優(yōu)化尺寸。

圖7 不同k時(shí)ηFig.7 Normalized parameter under various k

圖8 不同D時(shí)ηFig.8 Normalized parameter under various D

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)折疊變換媒質(zhì)的散射特性和參數(shù)進(jìn)行了研究。仿真計(jì)算并驗(yàn)證了折疊變換式集中器變換媒質(zhì)的散射特性，討論了折疊變換媒質(zhì)的參數(shù)極值及其歸一化分布范圍，給出了其最優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究有一定參考的價(jià)值。

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