控制變量對蒙特卡羅法期權定價的改進

丁照東+黃依慧

【摘 要】期權定價是一種價值最大化過程，根據(jù)不同時期不同股價的路徑獲取收益的最大值，并且考慮資產的時間價值。基本假設是股價波動符合幾何布朗運動（Geometric Brownian Motion），這些波動可以用偏微分方程來描述。對于歐式期權來說，存在偏微分方程的解析解，通過Black-Scholes模型可以得到。期權定價可以運用蒙特卡羅法進行模擬估算，均值與解析解比較接近。盡管如此，模擬估算的過程仍存在比較大的缺陷，比如價格方差過大，置信區(qū)間無效等。這些缺陷可以通過改良蒙特卡洛方法來進行彌補。

【關鍵詞】期權定價；蒙特卡洛法；方差縮減技術；控制變量

一、 背景

首先我們需要溫習蒙特卡洛法進行歐式期權定價的過程：

（1）獲得T時間內的股價路徑，可以認為時間T的時候期權到期

（2）獲得T時間點上的收益 ，其中 為T時間點上的股票價格，K為歐式期權的行權價

（3）考慮時間價值，將收益折算成現(xiàn)價，即為一個可能的期權價格

（4）重復上述（1）（2）（3）步驟n次，獲取n個可能的期權價格

（5）取這n個可能的期權價格的平均值，即為蒙特卡羅法估計的期權價格

上述五個步驟的數(shù)理和編程邏輯可以簡化為：

For i = 1，2，…，n

生成標準正態(tài)分布的隨機數(shù) Zi

以上并非標準的編程語言，僅表示編程邏輯，其中字母S系列代表股價，S（0）是股票初始價格，r是利率，字母C系列是期權價格，K是行權價，T是當前歐式期權距離到期日的時間，σ是股價波動率，Zi來自于Black-Scholes模型中的隨機量，假設為標準正態(tài)分布。

實際上，對于期權定價來說，蒙特卡洛是比較粗糙的方法，盡管可以得到一個比較滿意的平均值，但是計算過程中期權價格Ci的方差大得驚人，更不用說置信區(qū)間。在后續(xù)的討論中，我們可以從數(shù)據(jù)和圖像上看到這一點。

二、改良蒙特卡洛法：方差縮減技術

方差縮減技術是對蒙特卡洛方法的優(yōu)化，引入方差縮減技術的目的就是減少蒙特卡洛計算過程中Ci的方差，收縮置信區(qū)間，增加計算的精準度。當然方差縮減技術有多種，比如，控制變量（control variates， CV）、對偶變量（Antithetic Variates， AV）、分層抽樣（Stratified Sampling， SS）、拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling， LHS）、矩匹配（Moment Matching， MM）和重要性抽樣（Importance Sampling， IS）。本文中我們采用控制變量的方法，該方法的核心思想是引入另外一個變量，此變量的期望值可以通過解析式的形式計算，也就是與樣本變量之間存在關系；根據(jù)引入變量可以得到一個估計值，該估計值與樣本變量得到的估計值之間也存在關系，這樣的關系可以用b來表示。用數(shù)學的語言來闡述就是：

（1）假定Y1，Y2，…Yn為樣本觀測值，獨立同分布，我們的目標是估計Yi的期望E[Yi]，普通的無偏估計法是計算Y1，Y2，…Yn的算術均值；

（2）控制變量法是引入另一個變量Xi，并且Xi的期望已知，Xi與Yi之間存在如下關系：

從而得到一個新的帶估計變量Ybi，其中b為一個實數(shù)。不難看出，無論b取何值，Yb和Y的期望是相等的，所以這個變換不影響蒙特卡洛方法的均值結果，重點在于中間過程所有Yi值的方差。我們已經(jīng)知道Yi的方差非常大（正如前文的Ci），目的是讓新的估計量Ybi的方差盡可能的小。

（3）通過計算不難得到Yb和Y方差的關系：

所以，問題又回到我們構建的變量X與原有樣本變量Y之間的關系，相關系數(shù)越是接近于1，我們得到的結果越好。

三、控制變量（control variates）在期權定價中的應用

我們已經(jīng)知道歐式期權定價中，股價Si是樣本變量，目標是估計期權價格，那么我們針對Si引入如下變量：

設定N為蒙特卡羅法在Matlab程序中循環(huán)的次數(shù)，分別讓N=1000、10000、100000、1000000，比較經(jīng)典的蒙特卡羅法和改良的蒙特卡羅法進行期權定價的過程。上面四張圖分別為循環(huán)過程中得到的可能的期權價格。

上圖中藍色代表簡單蒙特卡羅法估算歐式期權價格的過程，紅色代表控制參數(shù)法改良后的蒙特卡羅法估算歐式期權價格的過程，可以看出前者非常不穩(wěn)定，有時候價格嚴重偏離均值，而后者的估算精度非常高，誤差很小。

根據(jù)BS模型解析式計算得到的歐式期權價格為13.3886，上表中各次試驗的結果都和解析結果非常接近。但是傳統(tǒng)蒙特卡羅法的標準差非常大，甚至達到120以上，大約是期權價格本身的10倍，如此之高的方差會損害蒙特卡羅法本身在期權定價方面的有效性，而改良后的估算法誤差大大減少，并且使得置信區(qū)間變得有意義；同時，我們引入的變量SG和原有變量S的相關性極高（0.9997），也驗證了上述的解析式推演結果。

四、總結

可以看出，引入的變量極大降低了估算價格的方差，使得原本無意義的置信區(qū)間具有解釋期權價格的能力。因此可以說，將蒙特卡羅模擬方法與方差縮減技術結合，是提高期權定價效率的重要途徑。當然，正如上文所述，方差縮減技術出控制變量外還有多種，這些方法有待于進一步研究。

參考文獻：

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