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      環(huán)F2+uF2+…+ukF2上的Type Ⅱ碼

      2016-01-06 01:41:11王永
      大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年3期

      環(huán)F2+uF2+…+ukF2上的Type Ⅱ碼

      王永1,2

      (1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009;2.安徽省肥西中學(xué),合肥231200)

      [摘要]給出一種構(gòu)造環(huán)F2+uF2+…+ukF2上任意偶數(shù)長(zhǎng)度的自正交和自對(duì)偶碼的方法.定義了環(huán)F2+uF2+…+ukF2的每個(gè)元素的Euclidean重量并且證明了環(huán)F2+uF2+…+ukF2上的自對(duì)偶碼是Euclidean重量為2k+2倍數(shù)的Type Ⅱ碼.

      [關(guān)鍵詞]自對(duì)偶碼; 自正交碼; Euclidean重量; Type Ⅱ碼

      [收稿日期]2014-03-11

      [中圖分類(lèi)號(hào)]O157.4[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

      1引言

      多項(xiàng)式剩余類(lèi)環(huán)的結(jié)構(gòu)介于有限域和環(huán)之間,因其具有良好的性質(zhì),其上的糾錯(cuò)碼理論研究也引起了編碼學(xué)者的關(guān)注.其上的碼被廣泛加以研究[1-5].自對(duì)偶碼是一類(lèi)非常重要的線性碼,許多最優(yōu)的線性碼都來(lái)源于自對(duì)偶碼.此外,自對(duì)偶碼具有豐富的數(shù)學(xué)性質(zhì),可用于區(qū)組設(shè)計(jì)、模格構(gòu)造等.因此自對(duì)偶碼備受關(guān)注.近年來(lái),多項(xiàng)式剩余類(lèi)環(huán)上的自對(duì)偶碼的研究也頗多.Bonnecaze等人在[6]中研究環(huán)F2+uF2上的循環(huán)碼及其對(duì)偶碼.

      自對(duì)偶碼中有一類(lèi)碼稱(chēng)為T(mén)ype II碼,其具有很好的性質(zhì),因此更是人們研究的重點(diǎn).文獻(xiàn)[7]研究了環(huán)F2+uF2上的Type II 碼,隨后Ling等人[8]將其推廣到環(huán)F4+uF4.Bestumiya等人[9]將其推廣到更為一般的環(huán)F2m+uF2m上.錢(qián)建發(fā)等人[10]將[7]的結(jié)論推廣到環(huán)F2+uF2+u2F2.最近,Cengellenmis[11]定義了環(huán)F2+uF2+…+umF2(m=2s)上的Type II碼,并研究了其Gray象的性質(zhì).

      本文首先給出環(huán)F2+uF2+…+ukF2上任一偶長(zhǎng)的自正交和自對(duì)偶碼的構(gòu)造方法,然后通過(guò)定義環(huán)F2+uF2+…+ukF2中的每個(gè)元素的Euclidean重量證明了環(huán)F2+uF2+…+ukF2上自對(duì)偶碼是Euclidean重量為2k+2倍數(shù)的Type Ⅱ碼.

      2基礎(chǔ)知識(shí)

      設(shè)環(huán)

      R=F2+uF2+…+ukF2,

      其中uk+1=0.顯然

      F2+uF2+…+ukF2=F2[u]/(uk+1).

      環(huán)R是一個(gè)最大理想是(u)的有限鏈環(huán).任意的x∈R,x都可以唯一的表示為

      x0+ux1+…+ukxk,

      其中xi∈F2,i=0,…,k.

      對(duì)于任意

      x=(x0,x1,…,xn-1),y=(y0,y1,…,yn-1)∈n,

      定義它們的內(nèi)積為

      x·y=x0y0+x1y1+…+xn-1yn-1.

      如果兩個(gè)碼字x·y=0,稱(chēng)這兩個(gè)碼字正交.對(duì)R上一線性碼C,其對(duì)偶碼C⊥是與C中的所有碼字正交的所有向量的集合,即

      顯然C⊥也是線性碼.如果C?C⊥,稱(chēng)碼C自正交.如果C=C⊥,稱(chēng)碼C自對(duì)偶.如果碼C可以通過(guò)置換它的坐標(biāo)得到另外一個(gè)碼C′,稱(chēng)這兩個(gè)碼置換等價(jià).

      R上任一線性碼C都置換等價(jià)于如下矩陣所生成的碼

      其中l(wèi)i,0≤i≤k是正整數(shù).Ai,j(0≤i≤k,1≤j≤k+1)是域F2上的矩陣.

      定義R上線性碼C的維數(shù),定義為

      dimC=log|R||C|,

      其中|R|=2k+1.

      3環(huán)R上偶長(zhǎng)自對(duì)偶碼的構(gòu)造

      由環(huán)R的特殊性知,在R中一定存在一個(gè)元素t使得t2=1,如12=1,(1+uk)2=1等等.這一事實(shí)將在下面構(gòu)造R上偶長(zhǎng)自對(duì)偶碼中用到.

      引理3.1[12]在環(huán)F2+uF2+…+ukF2上,當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),環(huán)F2+uF2+…+ukF2上一定存在自對(duì)偶碼;當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),環(huán)F2+uF2+…+ukF2上存在自對(duì)偶碼當(dāng)且僅當(dāng)碼長(zhǎng)n是偶數(shù).

      由上述引理知,不論k取何值,環(huán)R上一定存在偶長(zhǎng)的自對(duì)偶碼.下面給出環(huán)R上任一偶長(zhǎng)的自對(duì)偶碼的統(tǒng)一構(gòu)造.

      定理3.2設(shè)G0=(ri)是環(huán)R上長(zhǎng)度為偶數(shù)n的自正交碼C0的生成矩陣(不需要標(biāo)準(zhǔn)型),其中ri是G0的行向量,1≤i≤r.設(shè)X=(x1,…,xn)∈Rn且在R中X·X=1.假設(shè)yi=X·(ri),1≤i≤r,則由

      生成的碼是R上長(zhǎng)度為n+2的自正交碼.

      證只需證G的任兩行是相互正交的.

      (i) 第一行顯然是自正交的,因?yàn)樵赗里X·X=1,即X·X+1=0.

      (ii) G的第一行正交于G的任(i+1)行,1≤i≤r-1.因?yàn)?/p>

      (1,0,x1,…xn)·(yi,yi,(ri))=yi+(xi,…xn)·(ri),

      再根據(jù)假設(shè)yi+(xi,…xn)·(ri)=0.

      (iii) G的任(i+1)行正交于G的任(j+1)行,1≤i,j≤r-1.因?yàn)樵赗里

      yiyj+yiyj+(ri)·(rj)=0.

      推論3.3設(shè)G0=(ri)是環(huán)R上長(zhǎng)度為偶數(shù)n的自正交碼C0的生成矩陣(不需要標(biāo)準(zhǔn)型),其中ri是G0的行向量,1≤i≤r.設(shè)X=(x1,…,xn)∈n且在R里X·X=1.假設(shè)yi=X·(ri),1≤i≤r,那么由

      生成的碼是R上長(zhǎng)度為n+2的自正交碼.

      是一整數(shù).

      定理3.6設(shè)G0=(ri)是環(huán)R上長(zhǎng)度為偶數(shù)n的自對(duì)偶碼C0的生成矩陣(不需要標(biāo)準(zhǔn)型),其中ri是G0的行向量,1≤i≤r. 設(shè)X=(x1,…,xn)∈Rn且在R里X·X=1.假設(shè)yi=X·(ri),1≤i≤r,那么由

      生成的碼是R上長(zhǎng)度為n+2的自對(duì)偶碼C.

      例3.1當(dāng)k=2時(shí),設(shè)

      在環(huán)F2+uF2+u2F2上,由G0生成的碼是長(zhǎng)度為2的自對(duì)偶碼.那么根據(jù)定理2.6,可以構(gòu)造

      生成長(zhǎng)度為4的自對(duì)偶碼.以此類(lèi)推可以構(gòu)造環(huán)F2+uF2+u2F2上任意偶長(zhǎng)的自對(duì)偶碼.

      4環(huán)F2+uF2+…+ukF2上的TypeⅡ碼

      定義環(huán)F2+uF2+…+ukF2中的每個(gè)元素的Euclidean重量:0;1和1+u+…+uk-1+uk;u和u+u2+u3+…+uk;…;1+u+…+uk-1和1+uk;uk分別為0,12,22,…,(2k-1)2,(2k)2.一般地,對(duì)于任意x∈R,

      x=x0+ux1+…+ukxk,

      其中xi∈{0,1},i=0,…,k,定義x的Euclidean重量為

      環(huán)(F2+uF2+…+ukF2)n上每個(gè)碼字c的Euclidean重量記為WE(c)等于c的每個(gè)分量的Euclidean重量的和.定義環(huán)F2+uF2+…+ukF2上的TypeⅡ碼為環(huán)F2+uF2+…+ukF2上所有碼字的Euclidean重量是2k+2倍數(shù)的自對(duì)偶碼.特別地,當(dāng)k=0時(shí),其為標(biāo)準(zhǔn)TypeⅡ碼定義.

      Φ∶(F2+uF2+…+uk+1F2)n→(F2+uF2+…+ukF2)n,

      Φ(c1,c2,…,cn)=(c1(moduk+1),c2(moduk+1),…,cn(moduk+1)).

      對(duì)(F2+uF2+…+uk+1F2)n上任一長(zhǎng)為n的碼C,記其在該映射下的象為Φ(C).

      引理4.1環(huán)F2+uF2+…+uk+1F2上任一自正交碼C的象的Euclidean重量是是2k+2倍數(shù).

      證設(shè)c=(x0,x1,…,xn-1)∈C,對(duì)于任意的xi∈F2+…+uk+1F2,xi均可以唯一地表示為xi,0+uxi,1+…+uk+1xi,k+1.即

      xi=xi,0+uxi,1+…+uk+1xi,k+1

      其中0≤xi,j≤1,0≤i≤n-1,0≤j≤k+1.由于c是自正交的.即

      xi·xi=(xi,0+uxi,1+…+uk+1xi,k+1)2=0.

      故當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),WE(Φ(x))是2k+3的倍數(shù),當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),WE(Φ(x))是2k+2的倍數(shù).

      引理4.2設(shè)C是F2+uF2+…+uk+1F2上任一自正交碼,則Φ(C⊥)?Φ(C)⊥.

      證設(shè)v∈C⊥,則對(duì)任意的w∈C,都有v·w=0.所以,Φ(v)·Φ(w)=0.由v和w的任意性,可得Φ(C⊥)?Φ(C)⊥.

      由引理3.1和3.2直接得到下面的結(jié)論.

      定理4.3C是F2+uF2+…+uk+1F2上任一自正交碼,那么Φ(C)是F2+uF2+…+ukF2上的自正交碼并且其所有碼字的Euclidean重量是是2k+2倍數(shù).

      定理4.4設(shè)C是F2+uF2+…+uk+1F2任一長(zhǎng)為n的線性碼且型為{l0,l1,…,lk+1},則Φ(C)是F2+uF2+…+ukF2上長(zhǎng)為n的線性碼且型為{l0,l1,…,lk}.

      證知C的任一碼字是其生成矩陣的行向量的線性組合,則Φ(C)的任一碼字是由C的生成矩陣的行向量的線性組合模去uk+1而得到.從而Φ(C)的生成矩陣是

      則Φ(C)是F2+uF2+…+ukF2上的TypeⅡ碼.

      因此Φ(C)是自對(duì)偶的.由引理3.1,Φ(C)是TypeⅡ碼.

      [參考文獻(xiàn)]

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      Type Ⅱ Codes Over F2+uF2+…+ukF2

      WANGYong1,2

      (1.School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China;

      2. Feixi Middle School in Anhui Province, Hefei 231200)

      Abstract:A method of constructing self-orthogonal and self-dual codes of any even length over F2+uF2+…+ukF2 is given in this paper. Euclidean weight of each element in F2+uF2+…+ukF2 is defined and self-dual codes over F2+uF2+…+ukF2 are proved to be Type II codes with Euclidean weights a multiple of 2k+2.

      Key words: self-dual codes; self-orthogonal codes; euclidean weight; type Ⅱ codes

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