基于最快衰減余弦窗全相位FFT的電力諧波分析

蔡曉峰1，熊欣2

(1.河南工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 451191；

2.河南工程學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，河南 鄭州 451191)

摘要：傅里葉變換是電力諧波分析的常用算法，但在非同步采樣情況下會(huì)出現(xiàn)頻譜泄漏，從而影響諧波分析的精度.為抑制頻譜泄漏，提出了基于最快衰減余弦窗全相位FFT的電力諧波分析方法.該方法將最大旁瓣衰減速率余弦窗與全相位頻譜分析技術(shù)相結(jié)合，利用前者旁瓣衰減快與后者泄漏抑制能力強(qiáng)的雙重優(yōu)勢(shì)實(shí)現(xiàn)諧波分析，推導(dǎo)了方便實(shí)用的諧波幅值校正公式，通過仿真測(cè)試，驗(yàn)證了該算法抑制頻譜泄漏的能力強(qiáng)、諧波分析的精度高.

關(guān)鍵詞：全相位；快速傅里葉變換；窗函數(shù)；插值；諧波分析

中圖分類號(hào)：TM935文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2015-01-05

作者簡(jiǎn)介：蔡曉峰(1981-)，女，河南永城人，講師，碩士，主要研究方向?yàn)閿?shù)字信號(hào)處理.

電力諧波一般指電力系統(tǒng)電壓或電流中所含有的頻率為基波整數(shù)倍的電量成分，通常是由非線性負(fù)載產(chǎn)生的.諧波對(duì)電力系統(tǒng)的危害十分嚴(yán)重，比如諧波使電能的生產(chǎn)、傳輸和利用效率降低，使電氣設(shè)備過熱、產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲、絕緣老化、使用壽命縮短甚至發(fā)生故障或燒毀，諧波還會(huì)引起繼電保護(hù)和自動(dòng)裝置誤動(dòng)作，使電能計(jì)量出現(xiàn)混亂[1].因此，對(duì)電力系統(tǒng)中的諧波進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量，確切掌握諧波的實(shí)際狀況，對(duì)于防止諧波危害、維護(hù)電網(wǎng)的安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行是十分必要的.在工程實(shí)踐中，通常采用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)進(jìn)行諧波分析，但在FFT中非同步采樣所引起的頻譜泄漏會(huì)影響頻譜分析精度，通常采用加窗和頻譜校正法對(duì)FFT譜計(jì)算結(jié)果進(jìn)行處理[2]以降低頻譜分析的誤差.文獻(xiàn)[3]在此基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)據(jù)截?cái)喾绞竭M(jìn)行改進(jìn)，提出了一種全相位(all-phase)FFT頻譜分析方法，即apFFT，文獻(xiàn)[4]證明了該算法具有優(yōu)良的泄漏抑制能力.隨后出現(xiàn)的apFFT相位差校正法[5]被應(yīng)用于機(jī)械測(cè)試[6]、頻率測(cè)量[7]等領(lǐng)域.但全相位FFT頻譜分析理論上仍然受到頻譜泄漏的影響，故施加良好的窗函數(shù)對(duì)抑制泄漏、提高頻譜分析的精度至關(guān)重要.為此，將性能優(yōu)良的最大旁瓣衰減速率窗(Maxium Side Lobe Decay Speed Windows，簡(jiǎn)稱MSLD窗)[8]引入全相位FFT頻譜分析中，推導(dǎo)了相應(yīng)的幅值校正公式，通過仿真測(cè)試，驗(yàn)證了該算法抑制頻譜泄漏的能力強(qiáng)且諧波分析的精度高.

1apFFT頻譜分析原理簡(jiǎn)介

N階全相位頻譜分析過程如圖1所示.從圖1可看出，只需用長(zhǎng)為2N-1的卷積窗wc對(duì)中心樣點(diǎn)x(0)前后2N-1個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，然后對(duì)兩兩間隔為N的加權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行重疊相加形成N個(gè)數(shù)據(jù)，再作點(diǎn)數(shù)為N的FFT即可得全相位譜分析結(jié)果.其中，圖1中的卷積窗由前窗f與翻轉(zhuǎn)的后窗b卷積而成，即

圖1　N階全相位FFT譜分析基本框圖(N=4) Fig.1　Block diagrams of N-order all-phase FFT spectrum analysis(N=4)

wc(n)=f(n)*b(-n)，n=[-N+1,N-1].

(1)

若f=b=RN(RN為矩形窗)，則稱為無窗全相位頻譜分析；若f和b中其一為RN，則稱單窗全相位頻譜分析；若f=b≠RN，則稱為雙窗全相位頻譜分析.其中,雙窗全相位頻譜分析比無窗全相位頻譜分析具有更好的頻譜泄漏抑制能力，應(yīng)用較多.

圖1中，若輸入信號(hào)為單一頻率信號(hào)，則

x(n)=ej(ωn+θ0) ，n∈[0,N-1].

(2)

由文獻(xiàn)[4-5]可知，雙窗apFFT輸出的頻譜

Y(k)=|X(k)|2ejθ0，k=0,1,2,…,N-1,

(3)

其中,X(k)為信號(hào)x(n)加f窗FFT的頻譜,即雙窗apFFT輸出的幅度譜為傳統(tǒng)加窗FFT幅度譜的平方.這種關(guān)系使旁瓣譜線相對(duì)于主譜線的比值也按照平方衰減，使主譜線更為突出，所以apFFT具有優(yōu)良的頻譜泄漏抑制性能.此外,apFFT的相位譜為中心樣點(diǎn)x(0)的理論相位值，該相位值不受頻偏影響，不用校正，即apFFT具有“相位不變性”且相位精度很高，這是用全相位頻譜分析進(jìn)行參數(shù)校正的基礎(chǔ).

2apFFT時(shí)移相位差法

apFFT相位差法與傳統(tǒng)FFT相位差法原理類似，都是利用兩段一定間隔的數(shù)據(jù)段間的相位關(guān)系校正信號(hào)參數(shù).考慮對(duì)區(qū)間[-N+l，N-1]進(jìn)行apFFT，取apFFT主譜線上的相位值可得中心樣點(diǎn)x(0)的相位,記為φ0.若將采樣序列延遲L個(gè)采樣間隔，顯然這時(shí)序列的中心樣點(diǎn)也會(huì)有大小為L(zhǎng)的相移，對(duì)延時(shí)后的序列再做apFFT.根據(jù)前面闡述的apFFT的“相位不變性”，取apFFT主譜線上的相位值φ1，則

φ1=φ0-ΩL×Ts.

(4)

可得模擬角頻率Ω的估計(jì)式:

(5)

對(duì)應(yīng)數(shù)字角頻率

(6)

(7)

其中,Fg(ω)為雙窗apFFT頻譜分析中所采用的窗函數(shù)的幅度譜.

3基于MSLD窗的雙窗apFFT頻譜校正算法

apFFT使用的窗函數(shù)對(duì)其頻譜泄漏抑制能力有重要影響，在眾多窗函數(shù)當(dāng)中，文獻(xiàn)[8]提出的MSLD窗是相同項(xiàng)數(shù)的組合余弦窗中旁瓣衰減速率最快的，具有優(yōu)良的抑制頻譜泄漏的能力.將MSLD窗與全相位FFT結(jié)合，能夠獲得很好的頻譜分析效果.表1反映了這些MSLD窗的頻譜特性.

表1　MSLD窗的旁瓣特性 Tab.1　The sidelobe characteristic of the MSLD windows

從表1可以看出，項(xiàng)數(shù)越大的MSLD窗旁瓣峰值電平越低、衰減速率越快，但窗函數(shù)主瓣也會(huì)變寬、頻譜分辨能力變差.在電力諧波分析中，選擇3項(xiàng)和4項(xiàng)MSLD窗較為合適，因?yàn)閮烧卟坏哂休^快的旁瓣衰減速率，而且主瓣也不過寬.

為了利用MSLD窗進(jìn)行全相位頻譜分析，首先需要分析窗函數(shù)的頻譜，如下式所示的余弦組合窗:

(8)

其中，M為窗函數(shù)的項(xiàng)數(shù)；N為窗函數(shù)的點(diǎn)數(shù)，n=0，1，2，…，N-1； bm為余弦項(xiàng)系數(shù)，其頻譜[9]為

(9)

(10)

那么，當(dāng)λ?N時(shí),式(10)可以簡(jiǎn)化為

(11)

其幅度譜

(12)

由于apFFT一般采用歸一化的窗函數(shù)[11]，其幅度譜也應(yīng)進(jìn)行歸一化處理.因此,對(duì)式(12)除以FA(0)進(jìn)行歸一化，而

所以,式(12)除以Nb0即得歸一化的幅度譜：

(13)

對(duì)于3項(xiàng)MSLD窗，將其系數(shù)代入式(13)并化簡(jiǎn)可得

(14)

對(duì)于4項(xiàng)MSLD窗，將其系數(shù)代入式(13)并化簡(jiǎn)可得

(15)

利用式(14)和(15)即可修正信號(hào)幅值，為此對(duì)式(7)進(jìn)一步化簡(jiǎn),由于

(16)

將式(14)和(15)分別代入式(16)可得3項(xiàng)MSLD窗雙窗apFFT幅值修正公式與4項(xiàng)MSLD窗雙窗apFFT幅值修正公式：

(17)

(18)

需要注意，以上的校正公式是針對(duì)式(3)的復(fù)單頻信號(hào)，實(shí)際信號(hào)一般為實(shí)信號(hào).由于實(shí)信號(hào)的頻譜是雙邊譜，根據(jù)式(17)和(18)計(jì)算出的信號(hào)幅值是實(shí)際信號(hào)幅值的一半，故對(duì)于實(shí)信號(hào)，幅值的校正公式應(yīng)對(duì)應(yīng)乘以2.

4算法在電力系統(tǒng)諧波分析中的應(yīng)用

基于MSLD窗的雙窗apFFT算法具有優(yōu)良的頻譜泄露抑制能力，能獲得較高的電力系統(tǒng)諧波分析精度.為了檢驗(yàn)算法的實(shí)用效果，在Matlab中進(jìn)行了仿真，采用的信號(hào)模型如下：

表2　仿真信號(hào)構(gòu)成 Tab.2　Components of the simulated signal

式中, f1為基波頻率，各信號(hào)成分構(gòu)成如表2所示.仿真中,采樣頻率fs取2 500 Hz，F(xiàn)FT的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N取256 點(diǎn)，對(duì)應(yīng)截?cái)鄶?shù)據(jù)長(zhǎng)度2N-1=511(近似10個(gè)工頻周期)，兩段序列的間隔L取1.

首先,檢驗(yàn)算法的測(cè)頻精度.讓基波頻率f1從49 Hz以0.1 Hz步進(jìn)至51 Hz，各分量幅值和相位不變，按全相位FFT時(shí)移相位差法計(jì)算信號(hào)的基波頻率f1，圖2反映了f1變化時(shí)MSLD窗的雙窗apFFT對(duì)應(yīng)的f1計(jì)算精度.

從圖2可以看出，3項(xiàng)和4項(xiàng)MSLD窗的基波頻率測(cè)量精度均達(dá)到了10-8，4項(xiàng)MSLD窗的精度略優(yōu)于3項(xiàng)MSLD窗.這與窗函數(shù)的旁瓣峰值和衰減速度有關(guān)，旁瓣峰值越低、衰減速度越快的窗函數(shù)抑制泄漏的效果越好、頻率測(cè)量的精度越高.不過，在實(shí)際應(yīng)用中還應(yīng)考慮頻譜分辨率，如果信號(hào)頻率接近而頻譜分辨率較高，主瓣較寬的MSLD窗可能不能分辨這樣的諧波成分而導(dǎo)致頻譜混疊，嚴(yán)重影響分析精度，這時(shí)應(yīng)選擇主瓣較窄的MSLD窗.

下面的仿真檢驗(yàn)算法選擇幅值較弱的2次諧波信號(hào)為考察對(duì)象，同樣將基波頻率f1從49 Hz以1 Hz步進(jìn)至51 Hz對(duì)2次諧波產(chǎn)生不同程度的頻譜干擾.仿真中，先對(duì)同樣的兩段采樣序列分別進(jìn)行3項(xiàng)和4項(xiàng)MSLD窗的雙窗apFFT，之后按時(shí)移相位差法計(jì)算2次諧波的頻率(2f1)，最后利用前面推導(dǎo)的幅值校正公式計(jì)算2次諧波的幅值，得到的幅值誤差見圖3.

圖2　基波頻率測(cè)量誤差 Fig.2　Relative errors in calculating fundamental frequency

圖3　二次諧波幅值測(cè)量誤差 Fig.3　Relative errors in calculating secondary harmonic amplitude

從圖3中可以看出，即使對(duì)容易被干擾的弱諧波成分，利用MSLD窗的雙窗apFFT相位差法測(cè)量其幅值，也能達(dá)到較高精度.另外，與頻率測(cè)量誤差類似，旁瓣峰值越低、衰減速度越快的MSLD窗抑制泄漏的效果越好、幅值測(cè)量精度也越高.

apFFT的相位檢測(cè)非常方便，因?yàn)閍pFFT無須校正就可以得到采樣數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的相位，同樣以2次諧波為測(cè)試對(duì)象，圖4反映了基波頻率f1變動(dòng)時(shí)2次諧波的相位檢測(cè)誤差.

圖4　二次諧波相位測(cè)量誤差 Fig.4　Errors in calculating secondary harmonic phase

從圖4中可以看出，MSLD窗的雙窗apFFT相位檢測(cè)精度也較高.同樣，項(xiàng)數(shù)越大的MSLD窗泄漏抑制效果越好、測(cè)量精度越高.

綜合以上仿真結(jié)果可以看出，基于MSLD窗的雙窗apFFT對(duì)信號(hào)頻率、相位、幅值的檢測(cè)精度均較高，可完成高精度的電力諧波分析；在滿足頻譜分辨率要求的前提下，采用項(xiàng)數(shù)較大的MSLD窗有利于獲得更好的抑制泄漏效果、提高諧波分析的精度.

5結(jié)論

基于MSLD窗的雙窗全相位FFT頻譜分析算法將MSLD窗應(yīng)用于apFFT中，具有良好的頻譜泄漏抑制能力，所推導(dǎo)的幅值校正公式形式簡(jiǎn)潔、實(shí)現(xiàn)方便.該算法具有高精度的頻率、相位和幅值檢測(cè)能力，可應(yīng)用于電力系統(tǒng)諧波分析等需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行高精度頻譜分析的場(chǎng)合.

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Spectral analysis based on all-phase FFT with maximum

side lobe decay speed windows

CAI Xiaofeng1, XIONG Xin2

(1.CollegeofMechanicalEngineering,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou451191,China;

2.CollegeofElectricalInformationEngineering,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou451191,China)

Abstract:Fourier analysis is commonly used in power harmonic analysis. However, spectrum leakage problem exists in this method when the sampling is asynchronous, in this case the detection accuracy decreases seriously. In order to restrain spectrum leakage and enhance the precision, the all-phase FFT based on the maximum side lobe decay speed windows(short for MSLD windows) is proposed for power harmonic analysis, which can take the advantage of the MSLD windows' fast side lobe decay speed and the good ability of apFFT to restrain spectrum leakage. The convenient harmonic magnitude analysis formula of proposed algorithm is derived. Matlab simulation verifies that the proposed method has the good ability to restrain spectrum leakage and high precision for harmonic analysis．

Key words: all-phase; Fast Fourier Transform(FFT); window functions; interpolation; harmonic analysis