楊皓翔，梁　川，崔寧博

(四川大學(xué) a.工程設(shè)計研究院有限公司; b.水利水電學(xué)院；

c.水力學(xué)及山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國家重點實驗室，成都　610065)

基于加權(quán)灰色-馬爾可夫鏈模型的城市需水預(yù)測

楊皓翔a，梁川b,c，崔寧博b,c

(四川大學(xué) a.工程設(shè)計研究院有限公司; b.水利水電學(xué)院；

c.水力學(xué)及山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國家重點實驗室，成都610065)

摘要：城市需水量預(yù)測是區(qū)域水資源規(guī)劃及優(yōu)化配置的基礎(chǔ)內(nèi)容。在基于灰色GM(1,1)模型預(yù)測城市需水量總體趨勢的基礎(chǔ)上,引入加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測理論,建立了加權(quán)灰色馬爾可夫GM(1,1)預(yù)測模型。該模型既考慮了GM(1,1)模型較強(qiáng)的處理單調(diào)數(shù)列的特性,又考慮了通過相對誤差的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的變換提取數(shù)據(jù)隨機(jī)波動響應(yīng)的特點。成都市城市需水量預(yù)測結(jié)果表明：加權(quán)灰色馬爾可夫GM(1,1)模型充分利用需水量數(shù)據(jù)給予的信息，實現(xiàn)了對相對誤差的狀態(tài)轉(zhuǎn)移的預(yù)測，并提高了修正灰色模型預(yù)測值的精度；通過與其它2種灰色預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果比較，加權(quán)灰色馬爾可夫GM(1,1)模型精度更高，預(yù)測得到2012年和2013年成都市城市需水量分別為74 250.91萬m3和79 818.34萬m3，呈明顯增長趨勢。因此該模型提高了隨機(jī)波動較大數(shù)據(jù)序列的預(yù)測精度，拓寬了傳統(tǒng)灰色模型預(yù)測的應(yīng)用范圍，更具科學(xué)性。

關(guān)鍵詞：城市需水預(yù)測；GM(1,1)模型；加權(quán)馬爾可夫鏈；轉(zhuǎn)移概率；預(yù)測精度

1研究背景

城市需水量預(yù)測是城市進(jìn)行水資源規(guī)劃和管理的有效手段，也是供水系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度管理的基礎(chǔ)內(nèi)容之一。隨著我國經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，城市化進(jìn)程的加速和人民生活水平的提高，城市用水的需求量大大增加，現(xiàn)有水資源和供水設(shè)施不能滿足城市的用水量需求，城市水資源供需矛盾日益突出。為了適應(yīng)城市迅速發(fā)展的需要，搞好城市供水、用水和節(jié)水工作，合理而準(zhǔn)確地預(yù)測城市未來的需水量將對減少供水設(shè)施投資總額和將來的用水危機(jī)起到?jīng)Q定性作用，為供水系統(tǒng)調(diào)度及輸配水系統(tǒng)的優(yōu)化提供依據(jù)。因此，正確地預(yù)測需水量對區(qū)域的社會、經(jīng)濟(jì)和環(huán)境的協(xié)調(diào)發(fā)展，對水資源供需分析以及重大水資源工程的正確決策和實施具有重大意義。

城市需水量常用的預(yù)測方法有灰色預(yù)測、定額法、常規(guī)趨勢法、系統(tǒng)動力學(xué)法、多元回歸模型、BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[2]、分型理論[3]等，由于單一預(yù)測方法存在精度較差的問題，造成對水資源決策上不同程度地誤導(dǎo)，影響水資源的可持續(xù)利用和社會經(jīng)濟(jì)的持續(xù)發(fā)展。許多學(xué)者對此進(jìn)行了研究：郭彥等[4]在建立區(qū)域需水量預(yù)測的多元回歸、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和灰色系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，提出基于集對分析的區(qū)域需水量組合預(yù)測模型(SPA-CF)，岳琳等[5]應(yīng)用粒子群優(yōu)化算法(PSO)對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值進(jìn)行優(yōu)化，建立PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；此外還有基于恩格爾系數(shù)與霍夫曼系數(shù)的城市需水量預(yù)測[6]、主成分分析的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的耦合[7]等預(yù)測方法。

城市用水系統(tǒng)既含已知信息，也有未知、未確知信息，因而可以看作是一個灰色系統(tǒng)。根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，可不研究城市用水系統(tǒng)的內(nèi)部因素及相互關(guān)系，而從其自身的數(shù)據(jù)列中挖掘有用信息，建立模型來尋找和揭示系統(tǒng)需水的潛在規(guī)律。目前灰色模型用于預(yù)測時，最常用的是GM(1,1)模型[8]。GM(1,1)模型對于時間短、數(shù)據(jù)資料少、波動性不大的預(yù)測問題，只需要較少的幾個數(shù)據(jù)就可建立模型進(jìn)行預(yù)測，這種短期預(yù)測精度較高，隨著時間的推移和未來一些擾動因素對系統(tǒng)的影響，而使其預(yù)測精度降低[9]。已有人針對傳統(tǒng)灰色預(yù)測做了許多改進(jìn)：王弘宇等[10]灰色新陳代謝GM(1,1)模型在補(bǔ)充新信息的同時去掉因時間推移使信息意義降低的信息。田一梅等[11]建立了PLS1與DEMGM(1,1)組合對城市需水量進(jìn)行預(yù)測方法；佟長福等[12]將小波分析理論、灰色預(yù)測理論和時間序列預(yù)測法組合以鄂爾多斯市的農(nóng)業(yè)需水量預(yù)測為例對該方法作了驗證；馬興冠等[13]采用最小方差法建立灰色遞補(bǔ)模型和遞補(bǔ)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的耦合模型對工業(yè)需水量進(jìn)行預(yù)測；還有GM(1,1)模型和線性回歸的組合[14]，灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)權(quán)組合模型[15]等。

灰色預(yù)測模型主要用于時間短、數(shù)據(jù)資料少、波動不大序列，但對隨機(jī)波動性較大的數(shù)據(jù)列擬合較差，而馬爾可夫預(yù)測則根據(jù)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來推測系統(tǒng)未來發(fā)展變化，適用于預(yù)測隨機(jī)波動大的動態(tài)過程[16]。本文結(jié)合兩者的優(yōu)點，構(gòu)建加權(quán)馬爾可夫鏈GM(1,1)預(yù)測，首先擬合時序數(shù)據(jù)的總體趨勢揭示城市需水量的總體變化趨勢，并將其相對誤差序列作為隨機(jī)波動過程，然后利用加權(quán)馬爾可夫鏈確定灰色預(yù)測模型擬合值相對誤差的轉(zhuǎn)移概率，通過修正灰色模型預(yù)測值提高精度[17]。

2加權(quán)馬爾可夫GM(1,1)預(yù)測模型構(gòu)建

灰色模型預(yù)測由于其原始數(shù)據(jù)的起伏性和無序性，且原始數(shù)據(jù)的個數(shù)有限，難以將預(yù)測限制在一個較小的范圍之內(nèi)，導(dǎo)致灰色預(yù)測模型在大多數(shù)情況下是粗糙的。這種模型還要求累加生成的數(shù)據(jù)列有指數(shù)性質(zhì)，這樣才能用微分方程擬合，但一個非負(fù)的時間序列其累加生成的數(shù)列未必具有指數(shù)規(guī)律，導(dǎo)致利用指數(shù)方程進(jìn)行擬合的灰色模型容易產(chǎn)生很大的誤差[18]。

而馬氏鏈可以描繪一個隨機(jī)變化的動態(tài)系統(tǒng)，它根據(jù)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來推測一個系統(tǒng)未來的發(fā)展變化，其轉(zhuǎn)移概率pij反映了各隨機(jī)因素的影響程度，同時也反映了各狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移的內(nèi)在規(guī)律，故適合于描述隨機(jī)波動性較大的預(yù)測問題。

2.1GM(1,1)模型計算

(1)

x(0)(k)+ax(1)(k)=b為GM(1,1)的基本形式，再構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣和數(shù)據(jù)向量并作最小二乘計算，求解待估參數(shù)向量，即

(2)

其中：Y=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T；

GM(1,1)模型時間相應(yīng)序列為

(3)

(4)

GM(1,1)模型預(yù)測值與實際值的相對誤差為

(5)

式(5)反映了擬合值對原始數(shù)據(jù)序列的偏離程度。

2.2加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測的基本步驟

城市需水量預(yù)測GM(1,1)模型擬合曲線是一條指數(shù)曲線，ε(k)反映原始數(shù)據(jù)圍繞擬合曲線的波動程度，其變化趨勢呈現(xiàn)非平穩(wěn)隨機(jī)過程的特點，運(yùn)用馬爾可夫鏈的無后效性，對ε(k)波動規(guī)律進(jìn)行分析，修正城市需水量GM(1,1)預(yù)測結(jié)果。對幾種傳統(tǒng)馬爾可夫鏈預(yù)測方法比較研究結(jié)果中表明：采用加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測理論能更好解決隨機(jī)波動性大的數(shù)據(jù)序列的預(yù)測精度的問題[19]。

因此根據(jù)馬爾可夫鏈理論，首先得到GM(1,1)模型偏差狀況的轉(zhuǎn)移概率矩陣，然后按前面各年與該年相依關(guān)系的強(qiáng)弱加權(quán)求和，選擇加權(quán)和中的最大值所對應(yīng)的狀態(tài)即為加權(quán)馬爾可夫預(yù)測狀態(tài)，依此對GM(1,1)模型結(jié)果進(jìn)行修正[20]。

2.2.1建立相對誤差指標(biāo)的分級標(biāo)準(zhǔn)

狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率是利用馬氏鏈對系統(tǒng)未來發(fā)展變化做出預(yù)測的關(guān)鍵，為構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，首先作狀態(tài)的劃分。將相對誤差ε(k)劃分為m個狀態(tài)，如果ε(k)∈{a1i,a2i},i=1,2，…,m，則表明第k年的相對誤差處于第Si種狀態(tài)，a1i,a2i分別表示第Si種狀態(tài)的下界和上界。

2.2.2計算各階自相關(guān)系數(shù)rK及權(quán)重wK

加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測是對疊加馬爾可夫鏈預(yù)測法進(jìn)行改進(jìn)，在疊加馬爾可夫鏈的基礎(chǔ)上，對不同的預(yù)測值賦予1個權(quán)值，再進(jìn)行加權(quán)求和。計算系數(shù)的方法是通過對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行自相關(guān)分析。對于觀測序列，若序列的N階自相關(guān)系數(shù)越大，則說明N步的概率轉(zhuǎn)移矩陣所描述的系統(tǒng)狀態(tài)變化就越穩(wěn)定，可以賦予較大權(quán)重[21]。各步長馬氏鏈預(yù)測值的權(quán)重，可通過觀測數(shù)據(jù)序列的各階自相關(guān)系數(shù)rK(K∈S)而求得。公式如下：

(6)

(7)

2.2.3構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

由K步概率元素pij(K)構(gòu)成矩陣稱為K步轉(zhuǎn)移概率矩陣，記作：

(8)

2.2.4加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測

(9)

將同一狀態(tài)的各預(yù)測概率加權(quán)求和，得到相對誤差的轉(zhuǎn)移概率為

(10)

式中 wK是K步概率轉(zhuǎn)移矩陣權(quán)重。

根據(jù)最大相似定義，在t+1時刻的狀態(tài)i預(yù)測值是Pi中的最大值對應(yīng)狀態(tài)，即max{Pi，i∈S}[22]。相應(yīng)預(yù)測值的相對誤差則在此狀態(tài)的上界和下界之間，因此最終預(yù)測值為

(11)

對于后續(xù)年份預(yù)測，將前一年預(yù)測狀態(tài)計入數(shù)據(jù)序列重新構(gòu)置馬爾可夫鏈，重復(fù)運(yùn)用此方法進(jìn)行逐年預(yù)測，直到預(yù)測年為止。

3實例分析

3.1區(qū)域水資源概況

成都市位于四川盆地西部，截止2012年末，總?cè)丝? 173.33萬人，人口密度948人/km2。成都市水資源總量比較豐富，全市多年平均年地表水產(chǎn)生量約89億m3，地下水天然資源量31億m3，總計264億m3，基本上能夠滿足本市近期工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、生活用水需求。但隨著人口的增加，全市水資源的短缺與用水需求量增加的雙重壓力造成水資源的巨大缺口。從用水情況來看，成都市近幾年用水總量呈平穩(wěn)上升趨勢；用水結(jié)構(gòu)中居民生活用水比重逐漸較大[23]，其中人均年用水量從2002年403.2m3逐年上升到2010年467.6m3。從人均水資源量來看，目前成都市已是一個缺水城市，區(qū)域的人口生活生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展、生態(tài)環(huán)境的保護(hù)都將受到水資源短缺的約束，水資源問題將會成為城市發(fā)展的巨大瓶頸[24]。

3.2傳統(tǒng)GM(1,1)對成都市需水量預(yù)測

本文以1996—2009年成都市自來水供應(yīng)量情況為例，進(jìn)行遞推預(yù)測。采用GM(1,1)模型預(yù)測擬合成都市供水量的變化趨勢，再用加權(quán)馬爾可夫鏈對結(jié)果進(jìn)行修正。首先根據(jù)式(1)至式(4)，得到需水量序列時間相應(yīng)序列，即

1 788 435.82e-0.024 127 587k-1 747 643.82 。

(12)

再由式(5)計算相對誤差。擬合結(jié)果及相對誤差如表1所示。

從表1預(yù)測結(jié)果看出，GM(1,1)預(yù)測結(jié)果只是大體呈遞增趨勢，未體現(xiàn)原數(shù)據(jù)的波動性。為了體現(xiàn)原始序列的波動性，提高預(yù)測的精度，需對結(jié)果進(jìn)行加權(quán)馬爾可夫鏈修正。

表1　1996—2009年成都市城市用水量GM(1,1)

注：數(shù)據(jù)來源《成都市統(tǒng)計年鑒1996—2012》。

3.3加權(quán)馬爾可夫鏈

根據(jù)馬爾可夫鏈分析方法的應(yīng)用經(jīng)驗和實際情況，按照實際供水量與灰色預(yù)測結(jié)果比較，將預(yù)測結(jié)果誤差劃分為5種狀態(tài)，分級標(biāo)準(zhǔn)見表2。按表2所建立的分級標(biāo)準(zhǔn)確定預(yù)測結(jié)果誤差序列中對應(yīng)狀態(tài)于表1中。

表2　狀態(tài)劃分

再由式(6)和式(7)計算相對誤差序列各階自相關(guān)系數(shù)rK和權(quán)重wK。計算結(jié)果見表3。

表3　各階自相關(guān)系數(shù)和各種步長的馬爾可夫鏈權(quán)重

從表1中每年預(yù)測結(jié)果所處狀態(tài)計算得不同滯時，即1到5步長的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣p(k)如下：

3.4加權(quán)灰色馬爾可夫鏈擬合及預(yù)測結(jié)果

由1996—2009年成都市需水量相對誤差及其相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣對2010年的成都市需水量進(jìn)行預(yù)測。通過式(8)至式(10)計算相對誤差處于Si狀態(tài)的預(yù)測概率Pi，max{Pi，i∈S}所對應(yīng)的i即為預(yù)測狀態(tài)，計算過程見表4。計算結(jié)果表明在通過GM(1,1)預(yù)測2010年的需水量結(jié)果的相對誤差將轉(zhuǎn)移至狀態(tài)S1，再由式(11)計算出修正后的預(yù)測結(jié)果，因此通過加權(quán)灰色馬爾可夫模型預(yù)測得到2010年成都市需水量為63 950.07萬m3。

表4　2010 年成都市需水量狀態(tài)預(yù)測

同理，應(yīng)用1997—2010年成都市城市需水量數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)馬爾可夫GM(1,1)模型遞推預(yù)測，得2011年成都市需水量預(yù)測為66 399.62萬m3。

由傳統(tǒng)GM(1,1)、等維GM(1,1)[8]、加權(quán)灰色馬爾可夫3種方法對2001—2011年的成都市需水量進(jìn)行擬合和預(yù)測結(jié)果對比見表5和圖1。

表5　不同方法模擬結(jié)果比較

圖1　不同方法預(yù)測結(jié)果比較Fig.1　Results of different prediction models

通過3種方法擬合和預(yù)測結(jié)果對比，雖然等位GM(1,1)在預(yù)測2010,2011年供水量預(yù)測結(jié)果精度較高，但在進(jìn)行其他年份擬合時候，誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于加權(quán)灰色馬爾可夫模型預(yù)測方法，所以不能說明這是一個適用的方法。綜合對2001—2009年的擬合結(jié)果和2010，2011年的預(yù)測結(jié)果，基于加權(quán)的灰色馬爾可夫鏈預(yù)測模型預(yù)測精度大于其他2種方法。同時，圖1表現(xiàn)出了加權(quán)灰色馬爾可夫模型能很好地擬合并反映出需水量序列的波動性，因此對影響因素較多、較復(fù)雜且有一定波動性的城市需水量進(jìn)行預(yù)測，加權(quán)灰色馬爾可夫模型較灰色GM(1,1)模型可以得到更理想的預(yù)測精度。

再進(jìn)一步對1998—2011年、1999—2012年成都市城市需水量數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)馬爾可夫GM(1,1)模型遞推預(yù)測，計算得到2012年和2013年成都市需水量預(yù)測分別為74 250.91萬m3和79 818.34萬m3。由此可知隨著經(jīng)濟(jì)的不斷增長，人口的增加，需水量在相當(dāng)長時期內(nèi)仍然呈較快的增長趨勢，應(yīng)及早做好水源工程規(guī)劃和供水規(guī)劃，保障經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展。

4結(jié)論

GM(1,1)模型對符合準(zhǔn)指數(shù)分布的原始樣本有一定的擬合精度，馬爾可夫鏈適用于隨機(jī)波動大的數(shù)據(jù)預(yù)測，文中將2種預(yù)測方法結(jié)合起來應(yīng)用，充分利用歷史數(shù)據(jù)給予的信息，建立了加權(quán)灰色馬爾可夫模型。通過采用傳統(tǒng)GM(1,1)、等維GM(1,1)和加權(quán)灰色馬爾可夫3種方法，對成都市需水量的預(yù)測結(jié)果表明：加權(quán)灰色馬爾可夫模型預(yù)測較其它預(yù)測方法精度有了較大提高，并預(yù)測2012年和2013年成都市城市需水量呈現(xiàn)明顯的增長趨勢，此結(jié)果對城市水資源的規(guī)劃具有一定指導(dǎo)意義；因此驗證了加權(quán)灰色馬爾可夫預(yù)測模型的科學(xué)性和實用性。

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(編輯：趙衛(wèi)兵)

Prediction of Urban Water Demand by Using WeightedGrey-Markov Chain Model

YANG Hao-xiang1，LIANG Chuan2,3, CUI Ning-bo2,3

(1.Engineering Design and Research Institute of Sichuan University, Chengdu610065, China;

2.College of Water Resource and Hydropower, Sichuan University, Chengdu610065;

3.State Key Laboratory of Hydraulics and Mountain River Engineering,Sichuan University,

Chengdu610065, China)

Abstract:Forecast of urban water demand is a basic content of optimal allocation and planning for regional water resources. On the basis of gray GM(1,1) model of trend prediction, the weighted Markov chain prediction method is introduced to establish a weighted grey Markov GM(1,1) model for predicting urban water demand. This model combines the feature of dealing with numbers of strong monotonous series with the feature of random wave response in extracting relative residuals through state transfer probability matrix. The model is applied to the prediction of urban water demand in Chengdu city and the result indicates that the weighted grey Markov GM(1,1) model makes full use of the information given by urban water demand sequence and forecasts the transfer regularity of relative residuals sequence among system states, by which it enhances the precision correcting value of grey model prediction. Furthermore we compared this model with other two grey models and the prediction result suggests that the weighted gray Markov GM (1,1) model has higher accuracy. The urban water demand forecast in 2012 and 2013 is 742.5091 million m3and 798.1834 million m3in Chengdu city respectively, presenting a significant increasing trend. Therefore this model improves the accuracy when dealing with stochastic fluctuating data, and broadens the application scope of grey model prediction and makes it more scientific.

Key words:urban water demand prediction; GM(1,1) model; weighted Markov chain; transfer probability;prediction accuracy

2015,32(07):22-28

DOI:10.3969/j.issn.1001-5485.2015.07.005

通訊作者：吳鋼鋒(1988-)，男，浙江東陽人，博士研究生，從事計算水動力學(xué)研究，(電話)13456766951 (電子信箱)zjdxwgf@gmail.com。

作者簡介：翁浩軒(1989-)，男，浙江蘭溪人，碩士研究生，主要從事泥沙水動力研究，(電話)15957186716 (電子信箱)wenghaoxuan.2008@163.com。

基金項目：國家自然科學(xué)基金(41376095)；長沙礦山研究院國家重點實驗室開發(fā)基金(12529001022)

收稿日期：2014-01-23 ；修回日期：2014-02-19

中圖分類號：TV11

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-5485(2015)07-0015-07