鐵磁/超導(dǎo)多層結(jié)構(gòu)中的自旋三重配對(duì)

孟豪，任亞杰

(陜西理工學(xué)院 物理與電信工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

[摘要]通過自洽求解Bogoliubov-de Gennes方程研究了具有非共線界面磁矩的鐵磁-超導(dǎo)-鐵磁多層結(jié)構(gòu)中的自旋三重配對(duì)，發(fā)現(xiàn)非共線磁矩可以在界面區(qū)域引起一個(gè)自旋倒易散射。該散射能夠?qū)⒊瑢?dǎo)體中的自旋單重對(duì)轉(zhuǎn)化為鐵磁體中自旋相同的三重對(duì)。當(dāng)超導(dǎo)兩側(cè)鐵磁體的磁矩結(jié)構(gòu)對(duì)稱時(shí)，自旋相同的三重對(duì)可以分別在超導(dǎo)和鐵磁區(qū)域的局域態(tài)密度中引起一個(gè)尖銳的零能電導(dǎo)峰。當(dāng)鐵磁體的磁矩反對(duì)稱時(shí)，兩側(cè)鐵磁體之間將會(huì)發(fā)生交錯(cuò)Andreev反射并形成自旋單重對(duì)，從而在局域態(tài)密度的零能電導(dǎo)峰中心產(chǎn)生一個(gè)明顯的凹陷。局域態(tài)密度的這些特征可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量微分電導(dǎo)譜加以驗(yàn)證。

[關(guān)鍵詞]Andreev反射；交錯(cuò)Andreev反射；自旋倒易散射；自旋單重對(duì)；自旋三重對(duì)

[文章編號(hào)]1673-2944(2015)04-0071-08

[中圖分類號(hào)]O511

收稿日期：2014-11-14

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11447112)；陜西理工學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目(SLGKYQD2-01)

作者簡(jiǎn)介：孟豪(1982—)，男，陜西省興平市人，陜西理工學(xué)院講師，博士后，主要研究方向?yàn)槌瑢?dǎo)電性、鐵磁-超導(dǎo)異質(zhì)結(jié)量子輸運(yùn)；[通信作者]任亞杰(1964—)，男，陜西省洋縣人，陜西理工學(xué)院教授，碩士，主要研究方向?yàn)槟蹜B(tài)理論。

(a) 正常Andreev反射　　　　　(b) 正常遂穿

(c) 自旋倒易Andreev反射　　　(d) 自旋倒易遂穿　 圖1　電子從F射入S的4種輸運(yùn)過程

對(duì)于F1/S/F2結(jié)構(gòu)，若F1和F2的磁化方向平行，在F/S界面處只能發(fā)生正常Andreev反射。若F1和F2的磁化方向反平行并且S層厚度不大于超導(dǎo)相干長(zhǎng)度ξ0，自旋向上的電子從F1入射以后，自旋向下的空穴除了反射回F1外，還可以射入F2并在S內(nèi)形成一個(gè)Cooper對(duì)。該過程可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)自旋相反的電子/空穴之間的糾纏，稱之為交錯(cuò)Andreev反射(crossed Andreev reflection)。以上兩種結(jié)構(gòu)只能形成自旋單重Cooper對(duì)，因此當(dāng)鐵磁體的交換場(chǎng)較強(qiáng)時(shí)，這種Cooper對(duì)在鐵磁體內(nèi)僅能傳播很短的距離。

但是，如果F1和F2的磁化方向存在一定夾角，則在F1/S/F2結(jié)構(gòu)中可以產(chǎn)生長(zhǎng)程的自旋三重對(duì)[8]。與此相對(duì)應(yīng)，本文提出另外一種結(jié)構(gòu)同樣可以產(chǎn)生長(zhǎng)程自旋三重對(duì)，即在F1/S/F2結(jié)構(gòu)的界面處插入具有非共磁矩的薄鐵磁層FL和FR。我們發(fā)現(xiàn)FL和FR能夠在該區(qū)域引起自旋倒易散射并在F1和F2產(chǎn)生自旋相同的三重對(duì)。若超導(dǎo)兩側(cè)的鐵磁層結(jié)構(gòu)對(duì)稱，自旋相同的三重對(duì)的出現(xiàn)可以在F1層和S層的局域態(tài)密度中引起一個(gè)尖銳的零能電導(dǎo)峰。但若鐵磁結(jié)構(gòu)反對(duì)稱，零能電峰中心會(huì)產(chǎn)生一個(gè)凹陷，這是由交錯(cuò)Andreev反射產(chǎn)生的自旋單重配對(duì)所造成。

圖2　F 1/F L/S/F R/F 2結(jié)構(gòu)示意圖

1模型與方法

如圖2所示，在F1/FL/S/FR/F2結(jié)構(gòu)中S為s波超導(dǎo)體，鐵磁層和超導(dǎo)層的長(zhǎng)度分別為dF1，dL，dR，dF2和dS，總長(zhǎng)度為d=dF1+dL+dS+dR+dF2，圖中箭頭分別表示F1，F(xiàn)L，F(xiàn)R和F2內(nèi)的磁矩方向。鐵磁層交換場(chǎng)分別為h1,hL,hR和h2。取準(zhǔn)粒子沿y方向傳輸，系統(tǒng)在x-z平面方向無窮大，鐵磁層磁矩位于x-z平面內(nèi)。于是，BCS平均場(chǎng)有效哈密頓量[1,10]可以表示為：

(1)

其中He=-2/2m-EF表示有效質(zhì)量為m的單粒子哈密頓量，EF表示Fermi(費(fèi)米)能量，Δ(r)描述由自洽條件決定的s波超導(dǎo)對(duì)勢(shì)。(r)和ψα(r)是自旋為α的產(chǎn)生和湮滅算子，σ是Pauli(泡利)矩陣。鐵磁交換場(chǎng)h可以表示為

(2)

其中θL和θR分別表示FL層和FR層的磁矩相對(duì)于z軸的偏轉(zhuǎn)角。

(3)

方程中unα(r)和vnα(r)表示準(zhǔn)粒子和準(zhǔn)空穴振幅,超導(dǎo)對(duì)勢(shì)可由自洽條件確定[10]：

(4)

其中g(shù)(r)是超導(dǎo)耦合常數(shù)，它在超導(dǎo)體內(nèi)為常數(shù)，在其它區(qū)域?yàn)榱?。方?4)的求和范圍取為0<εn<ωD，其中ωD為Debye(德拜)截止能量。

在用Bogoliubov自洽場(chǎng)方法求解方程(3)時(shí)，可將方程的解用一系列定態(tài)基矢展開[11]：

(5)

(6)

相應(yīng)地，BdG方程(3)將會(huì)轉(zhuǎn)化為一維形式，方程中的矩陣元分別為：

(7)

(8)

(9)

(10)

在矩陣元(7)中ε⊥表示與傳播方向垂直的能量。我們從一個(gè)階梯型對(duì)勢(shì)出發(fā)，利用自洽條件(6)反復(fù)進(jìn)行迭代，直到方程(3)達(dá)到自洽。于是，由自洽解可將自旋投影為0的三重對(duì)和自旋相同的三重對(duì)振幅函數(shù)分別表示如下[11]：

(11)

(12)

(13)

其中f′(ε)=?f/?ε為Fermi函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。上述局域態(tài)密度的幅值用它在ε=2.5Δ0處的量值進(jìn)行約化，因?yàn)槌^該值局域態(tài)密度幅值幾乎是一個(gè)常數(shù)。超導(dǎo)體和鐵磁層內(nèi)的態(tài)密度(DOS)可以通過對(duì)該區(qū)域內(nèi)的LDOS積分得到。

在上述F/S結(jié)構(gòu)中還存在一個(gè)反鄰近效應(yīng)(reverse proximity effect)，即鐵磁層的磁矩會(huì)部分泄漏進(jìn)入S層。該特征可以用局域磁矩加以描述，其在幾何上存在兩個(gè)分量[11]：

(14)

(15)

其中μB是Bohr(波爾)磁子。在下面的結(jié)論中這兩個(gè)磁矩分量的幅值皆用-μB進(jìn)行約化。

2結(jié)果與討論

本文中定義超導(dǎo)相干長(zhǎng)度kFξ0=100，無量綱坐標(biāo)Y=kF(y-d/2)，時(shí)間τ=ωDt和Fermi能量EF=1。在下述計(jì)算中，超導(dǎo)層和鐵磁層的厚度分別取為kFdS=100，kFdF1=kFdF2=50和kFdL=kFdR=10。為計(jì)算方便，考慮低溫極限情況并取ωD=0.1和τ=5.5。以下分別討論超導(dǎo)兩側(cè)的鐵磁體具有對(duì)稱和反對(duì)稱磁序結(jié)構(gòu)時(shí)，界面非共線磁矩對(duì)的自旋三重對(duì)和局域態(tài)密度的影響。

2.1對(duì)稱磁序結(jié)構(gòu)

(a) f 0實(shí)部的空間分布　　(b) f 1實(shí)部的空間分布　　(c) S區(qū)域內(nèi)的DOS　　(d) F 1區(qū)域內(nèi)的DOS

上述長(zhǎng)程自旋三重對(duì)可以通過局域態(tài)密度的變化加以證明。如圖3(c)所示，當(dāng)θL=θR=0時(shí)自旋相同的三重對(duì)不存在，超導(dǎo)區(qū)域的態(tài)密度會(huì)在-Δ0和+Δ0之間形成一個(gè)寬的凹槽，這是超導(dǎo)能隙的體現(xiàn)。由于此處超導(dǎo)層的厚度較薄，只有一個(gè)超導(dǎo)相干長(zhǎng)度kFξ0，鐵磁層的反鄰近效應(yīng)對(duì)超導(dǎo)能隙的抑制會(huì)導(dǎo)致能隙內(nèi)態(tài)密度的幅值不為0。我們發(fā)現(xiàn)隨著界面磁矩偏轉(zhuǎn)角的增加，能隙中間區(qū)域態(tài)密度的幅值逐漸增大。當(dāng)θL=θR=π/2時(shí)，在ε/Δ0=0處可以形成一個(gè)尖銳的峰，稱之為零能電導(dǎo)峰。該電導(dǎo)峰的出現(xiàn)標(biāo)志著自旋相同的三重對(duì)的存在。同樣地，F(xiàn)1區(qū)域的態(tài)密度可以形成幅值更大的零能電導(dǎo)峰(見圖3(d))，這表明自旋相同的三重對(duì)在F1區(qū)域的傳輸距離要比在S區(qū)域遠(yuǎn)一些，其進(jìn)入F1區(qū)域的數(shù)量要比進(jìn)入S區(qū)域多一些。

接下來，討論在F1區(qū)域和S區(qū)域局域態(tài)密度隨位置的變化。如圖4(a)所示，在F1層內(nèi)隨著Y的增加(從-100到-60)，即越來越靠近FL區(qū)域，零能電導(dǎo)峰的高度逐漸增加。但在S層內(nèi)隨著Y的增加(從-40到0)，即遠(yuǎn)離FL區(qū)域，零能電導(dǎo)峰逐漸減小，能隙逐漸展寬(見圖4(b))。這種變化說明自旋相同的三重對(duì)產(chǎn)生于界面FL區(qū)域，隨著穿透進(jìn)入F1層和S層其數(shù)量逐漸減小，該特征與圖3(b)中f1的空間分布情況一致。另一方面，為了描述鐵磁體的反臨近效應(yīng)我們?cè)趫D5中顯示了不同偏轉(zhuǎn)角時(shí)FL區(qū)域附近局域磁矩隨空間坐標(biāo)Y的變化情況?？梢钥吹疆?dāng)θL=θR=0時(shí)界面FL層的磁矩沿著z方向，其x分量不存在。隨著偏轉(zhuǎn)角的增大z方向的磁矩Mz逐漸減小，x方向的磁矩Mx逐漸增大。與自旋三重對(duì)f1相比，局部磁矩Mx和Mz只能穿入S很短的距離。除此之外，在界面附近Mx隨著位置坐標(biāo)的改變不僅幅值會(huì)發(fā)生變化，同時(shí)還伴隨著方向的旋轉(zhuǎn)。

(a) F 1區(qū)域內(nèi)不同位置處的LDOS　　　　　　　　(b) S區(qū)域內(nèi)不同位置處的LDOS 圖4　θ L=θ R=π/2時(shí)，F(xiàn) 1和S區(qū)域內(nèi)不同位置處的LDOS

(a) M x隨Y的變化　　　　　　　　　　　　　　(b) M z隨Y的變化 圖5　F L區(qū)域附近磁矩隨偏轉(zhuǎn)角的變化

2.2反對(duì)稱磁序結(jié)構(gòu)

在反對(duì)稱磁序結(jié)構(gòu)中，我們選取界面磁矩偏轉(zhuǎn)角θR=π+θL，鐵磁層交換場(chǎng)h1/EF=-h2/EF=0.5和hL/EF=hR/EF=0.1。如圖6(a)和(b)所示自旋三重態(tài)f0和f1關(guān)于超導(dǎo)中心反對(duì)稱，它們隨偏轉(zhuǎn)角的變化特征與上述對(duì)稱結(jié)構(gòu)相同。但是S區(qū)域和F1區(qū)域的態(tài)密度與對(duì)稱結(jié)構(gòu)相比具有明顯的區(qū)別，表現(xiàn)在零能電導(dǎo)峰中心ε/Δ0=0處存在一個(gè)明顯的凹陷(見圖6(c)和(d))。我們認(rèn)為態(tài)密度的這一特征是由交錯(cuò)Andreev反射引起的。由于F1和F2為強(qiáng)鐵磁體，其能帶劈裂度較強(qiáng)。若兩者磁矩平行，則它們具有相同的能帶結(jié)構(gòu)(如圖7(a)所示)，即自旋向上的能帶下移，自旋向下的能帶上移，從而導(dǎo)致在Fermi能εk=0處自旋向上的能帶可以被大量自旋向上的準(zhǔn)粒子占據(jù)，該自旋向上的準(zhǔn)粒子在這種鐵磁體內(nèi)稱之為多子。與之相反，自旋向下的能帶只能被少量的自旋向下的準(zhǔn)粒子占據(jù)，這種自旋向下的準(zhǔn)粒子稱之為少子。如果超導(dǎo)兩側(cè)的鐵磁體磁序結(jié)構(gòu)對(duì)稱，自旋向上的電子從F1層入射到FL層，該區(qū)域的自旋倒易Andreev反射能夠向F1層回射一個(gè)自旋向上的空穴，從而形成自旋相同的三重態(tài)，該三重態(tài)可以在態(tài)密度中引起一個(gè)零能電導(dǎo)峰。因?yàn)镕2層自旋向下的能帶只能被少量自旋向下的準(zhǔn)粒子占據(jù)，所以交錯(cuò)Andreev效應(yīng)引起的自旋向下的空穴射入F2層的概率很小，從而導(dǎo)致交錯(cuò)Andreev效應(yīng)幾乎不能發(fā)生。與上述現(xiàn)象相對(duì)應(yīng)，若F2層磁矩反平行于F1層，其能帶結(jié)構(gòu)如圖7(b)所示。這種情況下自旋向下的準(zhǔn)粒子在F2層內(nèi)為多子，因此交錯(cuò)Andreev反射產(chǎn)生的自旋向下的空穴可以射入F2層并形成自旋單重Cooper對(duì)。于是，反對(duì)稱磁矩結(jié)構(gòu)下自旋單重對(duì)f3的幅值要比對(duì)稱結(jié)構(gòu)下的幅值大一些(如圖8所示)。

(a) f 0實(shí)部的空間分布　(b) f 1實(shí)部的空間分布　(c) S區(qū)域內(nèi)的DOS　(d) F 1區(qū)域內(nèi)的DOS 圖6　鐵磁層結(jié)構(gòu)反對(duì)稱情況下，三重對(duì)振幅及DOS隨磁矩偏轉(zhuǎn)角的變化

圖7　 不同情況下F 1層(左側(cè))和　　　　　　　　圖8　 不同情況下界面F L層　　 F 2層(右側(cè))內(nèi)能帶結(jié)構(gòu)圖 附近f 3隨Y的變化

3結(jié)論

本文采用Bogoliubov自洽場(chǎng)方法研究了F1/FL/S/FR/F2混合結(jié)構(gòu)中非共線界面磁矩對(duì)自旋三重對(duì)以及局域態(tài)密度的影響。我們發(fā)現(xiàn)界面非共線磁矩可以引起一個(gè)自旋倒易散射。該散射能夠在界面FL和FR區(qū)域產(chǎn)生自旋倒易Andreev反射，從而導(dǎo)致超導(dǎo)體內(nèi)的自旋單重對(duì)向鐵磁體內(nèi)自旋相同的三重對(duì)的轉(zhuǎn)變。這種自旋相同的三重對(duì)可以在F1層和F2層內(nèi)傳輸較長(zhǎng)的距離，并且能夠穿入S層一定的距離。隨著界面磁矩偏轉(zhuǎn)角的增加，界面區(qū)域產(chǎn)生的自旋三重對(duì)逐漸增強(qiáng)。當(dāng)界面FL和FR層的磁矩垂直于F1和F2層時(shí)，自旋相同的三重對(duì)幅值達(dá)到最大。如果超導(dǎo)兩側(cè)鐵磁體的磁序結(jié)構(gòu)對(duì)稱，自旋相同的三重對(duì)可以在鐵磁和超導(dǎo)區(qū)域的態(tài)密度中引起一個(gè)尖銳的零能電導(dǎo)峰，該電導(dǎo)峰可以作為實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證自旋相同的三重對(duì)存在的有力依據(jù)。當(dāng)鐵磁體的磁序結(jié)構(gòu)反對(duì)稱時(shí)，在F1層和F2層之間還會(huì)發(fā)生交錯(cuò)Andreev反射，這時(shí)在態(tài)密度的零能電導(dǎo)峰中心會(huì)產(chǎn)生一個(gè)明顯的凹陷。該特征標(biāo)志著兩個(gè)自旋相反的準(zhǔn)粒子之間的糾纏，可以用來實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證交錯(cuò)Andreev反射的存在。

[參考文獻(xiàn)]

[1]BUZDIN A I.Proximity effects in superconductor-ferromagnet heterostructures[J].Rev Mod Phys,2005,77(3):935-976.

[2]BERGERET F S,VOLKOV A F,EFETOV K B.Odd triplet superconductivity and related phenomena in superconductor-ferromagnet structures[J].Rev Mod Phys,2005,77(4):1321-1373.

[3]GOLUBOV A A,KUPRIYANOV M Y,LL’ICHEV E.The current-phase relation in Josephson junctions[J].Rev Mod Phys,2004,76(2):411-469.

[4]ESCHRIG M.Spin-polarized supercurrents for spintronics[J].Phys Today,2011,64(1):43-49.

[5]BERGERET F S,VOLKOV A F,EFETOV K B.Long-Range Proximity Effects in Superconductor-Ferromagnet Structures[J].Phys Rev Lett,2001,86(18):4096-4099.

[6]KADIGROBOV A,SHEKHTER R I,JONSON M.Quantum spin fluctuations as a source of long-range proximity effects in diffusive ferromagnet-superconductor structures[J].Europhys Lett,2001,54(3):394-400.

[7]RICHARD C,HOUZET M,MEYER J S.Superharmonic Long-Range Triplet Current in a Diffusive Josephson Junction[J].Phys Rev Lett,2013,110(21):217004[5pages].

[8]BERGERET F S,VOLKOV A F,EFETOV K B.Manifestation of triplet superconductivity in superconductor-ferromagnet structures[J].Phys Rev B,2003,68(6):064513[11 pages].

[9]GREIN R,L?FWANDER T,METALIDIS G,et al.Theory of superconductor-ferromagnet point-contact spectra:The case of strong spin polarization[J].Phys Rev B,2010,81(9):094508[17 pages].

[10]GENNES P G.Superconductivity of Metals and Alloys[M].New York:Benjamin,1999:137-170.

[11]HALTERMAN K,VALLS O T,BARSIC P H.Induced triplet pairing in cleans-wave superconductor/ferromagnet layered structures[J].Phys Rev B,2008,77(17):174511[14 pages].

[12]ESCHRIG M,KOPU J,CUEVAS J C,et al.Theory of Half-Metal/Superconductor Heterostructures[J].Phys Rev Lett,2003,90(13):137003[4 pages].

[13]ASANO Y,TANAKA Y,GOLUBOV A A.Josephson Effect due to Odd-Frequency Pairs in Diffusive Half Metals[J].Phys Rev Lett,2007,98(10):107002[4 pages].

[14]ASANO Y,SAWA Y,TANAKA Y,et al.Odd-frequency pairs and Josephson current through a strong ferromagnet[J].Phys Rev B,2007,76(22):224525[11 pages].

[15]BRAUDE V,NAZAROV Y V.Fully Developed Triplet Proximity Effect[J].Phys Rev Lett,2007,98(7):077003[4 pages].

[16]ESCHRIG M,L?FWANDER T.Triplet supercurrents in clean and disordered half-metallic ferromagnets[J].Nature Physics,2008,4(2):138-143.

[責(zé)任編輯：魏 強(qiáng)]

Spin triplet pairing in ferromagnet/superconductor multilayer structures

MENG Hao,REN Ya-jie

(School of Physics and Telecommunication Engineering, Shaanxi University of Technology,

Hanzhong 723000, China)

Abstract:The study investigates spin triplet pairing correlations in ferromagnet-superconductor-ferromagnet multilayer structure with noncollinear interfacial magnetizations, via self-consistent solution of the Bogoliubov-de Gennes equations. The result shows that noncollinear magnetic configuration leads to spin-flip scattering at the interfacial regions, which can convert spin singlet pairs in the superconductor into the equal spin triplet pairs in the ferromagnets. If the magnetizations of the ferromagnetic layers on both sides of superconductor are constructed symmetrically, the equal spin triplet pairs could induce a very sharp zero energy conductance peak (ZECP) in the local density of the states (LDOS) in the superconducting region and ferromagnetic region. However, when the magnetic moments of ferromagnets have antsymmetric structures, the crossed Andreev reflection will occur between two spatially separated ferromagnetic layers so as to form the spin singlet pairs in the system. This effect could induce an obvious concavity in center of ZECP. The feature of LDOS can be demonstrated by measuring the local differential conductance spectra in experiment.

Key words:Andreev reflection;crossed Andreev reflection;spin-flip scattering;spin singlet pair;spin triplet pair