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      有界函數(shù)可積條件的推廣

      2016-01-27 06:29:43余桂東
      關(guān)鍵詞:測(cè)度

      張 輝,余桂東

      (安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 安徽 安慶 246133)

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      有界函數(shù)可積條件的推廣

      張輝,余桂東

      (安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 安徽 安慶 246133)

      摘要:對(duì)數(shù)學(xué)分析教材中關(guān)于有界函數(shù)可積性的條件進(jìn)行了推廣,并且從測(cè)度的角度進(jìn)一步解釋了可以推廣的原因。

      關(guān)鍵詞:有界函數(shù);可積條件;測(cè)度

      在《數(shù)學(xué)分析》[1]教材中關(guān)于函數(shù)的可積性有如下兩個(gè)結(jié)論:

      定理1[1]若f在[a,b]上連續(xù),則f在[a,b]上可積。

      從教學(xué)的角度考慮,定理1與定理2都有推廣的必要,因?yàn)榭梢蕴岢鱿旅鎯蓚€(gè)問題:(1)定理1的閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)能否改成開區(qū)間(a,b)上連續(xù), (2)定理2中結(jié)論能否推廣到有限極限的情形。對(duì)于問題(1)一般的回答是否定的,例如

      對(duì)于問題(2),從《實(shí)變函數(shù)論》[2]中的測(cè)度論角度知道回答是肯定的。本文主要目的是利用定積分的定義證明下面兩個(gè)定理:

      由定理3,很容易得到如下的推論。

      利用歸結(jié)原理以及函數(shù)極限的Cauchy收斂準(zhǔn)則,得到了下面一個(gè)有趣的結(jié)論:

      1.1.1 秸稈機(jī)械還田 秸稈直接還田是當(dāng)前揚(yáng)州市乃至江蘇省秸稈綜合利用最主要的途徑。2016年,揚(yáng)州市實(shí)現(xiàn)稻麥秸稈還田206.59萬t,還田面積30.1萬hm2,還田率達(dá)66.57%。秸稈還田區(qū)域主要集中在寶應(yīng)、江都、高郵3縣(市、區(qū)),還田量分別達(dá)總量的39.96%、21.2%和20.49%。

      1定理的證明

      引理1[1]若f為[a,b]上的有界函數(shù),則f在[a,b]上可積的充要條件是對(duì)于任意的ε>0,存在[a,b]上的某個(gè)分割T,使得

      wi=Mi-mi表示f在Δi上的振幅。

      引理2[1]若f是[a,b]上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù),則f在[a,b]上可積。

      則在閉區(qū)間H=[a,b]-{(c-ε,c+ε)∪(d-ε,d+ε)}上至多只有有限個(gè)間斷點(diǎn)。結(jié)合引理(1),(2)可知,存在H上某個(gè)分割T使得

      結(jié)合引理1得證。

      注1《實(shí)變函數(shù)論》中函數(shù)Riemann黎曼可積的充要條件是幾乎處處連續(xù),即不連續(xù)點(diǎn)的測(cè)度為零。 因此定理3的條件可以進(jìn)一步放寬到可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn),一個(gè)重要的例子是黎曼函數(shù)

      R(x)在[0,1]中的間斷點(diǎn)為Q∩[0,1],它是可數(shù)集,因而在[0,1]上黎曼可積,但是卻不能用定理3來判斷。

      m

      (1)若ε<δ,則分割T結(jié)合閉區(qū)間[a,a+ε][a+ε,a+δ]以及[b-ε,b][b-δ,b-ε]構(gòu)成[a,b]的一個(gè)分割T′,則

      其中K=2[(M-m)+(b-a)]+1。

      (2)若ε≥δ, 則分割T結(jié)合閉區(qū)間[a,a+δ]以及[b-δ,b]構(gòu)成[a,b]的一個(gè)分割T′,則

      其中L=2(M-m)+1。綜上,由有界可積函數(shù)的充要條件知f(x)在[a,b]上可積。

      |f(xn1)-f(xn2)|<ε

      參考文獻(xiàn):

      [1] 葉淼林等.數(shù)學(xué)分析(上) [M]. 合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2012.

      [2] 周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社,2001.

      Extension about Bounded Integrable Function

      ZHANG Hui,YU Gui-dong

      (School of Mathematics and Computation Science,Anqing Teachers College,Anqing 246133,China)

      Abstract:This paper extends the integrability conditions about bounded function in mathematical analysis textbook, and further explains the reason from the perspective of measure theory.

      Key words:bounded function, integrability conditions, perspective of measure theory

      中圖分類號(hào):O231.9

      文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

      文章編號(hào):1007-4260(2015)01-0099-02

      DOI:10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.027

      作者簡(jiǎn)介:張輝,男,安徽桐城人,博士,安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院講師, 研究方向?yàn)槠⒎址匠碳捌鋺?yīng)用。

      收稿日期:2014-04-15

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