“杰弗里原則”及其對(duì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的影響簡(jiǎn)介

龔鳳乾，胡玲靜，劉曉蒙

(天津財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)系，天津 300222)

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“杰弗里原則”及其對(duì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的影響簡(jiǎn)介

龔鳳乾，胡玲靜，劉曉蒙

(天津財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)系，天津 300222)

摘要：對(duì)“杰弗里原則”的提出及其影響做了介紹。第一節(jié)是杰弗里生平，介紹他在物理學(xué)及統(tǒng)計(jì)學(xué)方面取得的成就；第二節(jié)介紹以他姓氏命名的“杰弗里原則”，這是對(duì)選擇先驗(yàn)概率的“貝葉斯法則”的重大修正；第三節(jié)介紹基于“杰弗里先驗(yàn)”的“信息守恒原則”，此原則對(duì)當(dāng)代貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)有重大影響。

關(guān)鍵詞：蓋伊金獎(jiǎng)；杰弗里原則；信息守恒原則

英國(guó)學(xué)者哈羅德·杰弗里(Sir. Harold Jeffreys,1891-1989)，在眾多學(xué)科領(lǐng)域都有杰出貢獻(xiàn)；他所提“杰弗里原則”克服了選擇先驗(yàn)概率“貝葉斯法則”的一個(gè)嚴(yán)重缺陷，促進(jìn)了“無信息先驗(yàn)”的研究，擴(kuò)大了貝葉斯方法的應(yīng)用范圍；美國(guó)學(xué)者澤爾納則基于“杰弗里原則”提出“信息守恒原則”，推動(dòng)了貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究進(jìn)展。

本文為2012年度全國(guó)統(tǒng)計(jì)科研計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目“哈羅德·杰弗里統(tǒng)計(jì)思想研究”的部分成果。

一、杰弗里生平

杰弗里(Sir. Harold Jeffreys)1891年4月22日生于英格蘭德漢姆郡菲特菲爾德(Fatfield, Durham)一個(gè)礦區(qū)的校舍，父親是當(dāng)?shù)匾凰W(xué)的校長(zhǎng)。杰弗里12歲小學(xué)畢業(yè)，當(dāng)年進(jìn)入泰因河畔紐卡斯?fàn)柋R瑟福學(xué)校接受中等教育，后轉(zhuǎn)入阿姆斯特朗學(xué)院繼續(xù)其大學(xué)學(xué)業(yè)，杰弗里1910年在該學(xué)院畢業(yè)，各科考試成績(jī)都很好而其數(shù)學(xué)成績(jī)則最為優(yōu)秀。

大學(xué)畢業(yè)后杰弗里進(jìn)入劍橋圣約翰學(xué)院，自1914 年被推選為圣約翰學(xué)院學(xué)會(huì)會(huì)員起直至1989年逝世，杰弗里一直為該會(huì)會(huì)員，圣約翰學(xué)院也由此成為他永久性的學(xué)術(shù)活動(dòng)場(chǎng)所。

1931年至1946年，他是劍橋大學(xué)地球物理學(xué)講師，1946年至1958年，他是天文學(xué)和實(shí)驗(yàn)科學(xué)教授。12年的講師生涯加上12年的教授生涯，使他對(duì)經(jīng)典力學(xué)和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)既具有真知灼見，也具有運(yùn)用自如的熟練技巧。由此可見長(zhǎng)期潛心于大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科教學(xué)，是使他成為頂尖級(jí)科學(xué)家的重要條件之一，具有不可替代的作用。

作為地球物理學(xué)家的他，在地震學(xué)領(lǐng)域也做出過許多重要貢獻(xiàn)。

1953英國(guó)王室授予他爵士頭銜。

杰弗里在20世紀(jì)30年代出版了《科學(xué)推斷》和《概率論》，這標(biāo)志著一種嚴(yán)整的統(tǒng)計(jì)學(xué)理論已在貝葉斯方法的基礎(chǔ)上建立起來，而他所提科學(xué)推斷的一般框架以及選擇先驗(yàn)分布的“杰弗里原則”，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，可操作性強(qiáng)，影響深遠(yuǎn)。不僅如此，杰弗里的著作還引發(fā)了人們對(duì)頻率學(xué)派、貝葉斯學(xué)派之間學(xué)術(shù)爭(zhēng)鳴的持續(xù)關(guān)注(事實(shí)上正是杰弗里命名了這些學(xué)派)，使人們對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的理解更加深入和全面，促進(jìn)了這門學(xué)科的發(fā)展。

杰弗里既是出色的科學(xué)家，也是自20世紀(jì)20年代以來國(guó)際地球物理學(xué)界學(xué)術(shù)活動(dòng)的積極參與者和組織者。1945年至1957年，杰弗里任國(guó)際地震匯編 (ISS)主任(現(xiàn)在被國(guó)際地震中心(ISC)接辦)，1957年至1960年，任國(guó)際地震學(xué)與地球內(nèi)部物理學(xué)協(xié)會(huì)的主席。由于他的工作被公認(rèn)為具有世界意義以及他對(duì)國(guó)際科學(xué)合作所做的貢獻(xiàn)，他被選為美國(guó)科學(xué)院、羅馬國(guó)立林西學(xué)院、瑞典皇家科學(xué)院、紐約科學(xué)院、比利時(shí)皇家科學(xué)院以及美國(guó)藝術(shù)和科學(xué)院的國(guó)外會(huì)員。他還是新西蘭皇家學(xué)會(huì)名譽(yù)會(huì)員。

杰弗里在許多科學(xué)領(lǐng)域都做出了獨(dú)具創(chuàng)見的貢獻(xiàn)，為此他贏得了多項(xiàng)獎(jiǎng)?wù)潞酮?jiǎng)金，例如：皇家氣象學(xué)會(huì)巴肯(Buchan)獎(jiǎng)金(1929年)；皇家天文學(xué)會(huì)金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)?1937年)；地質(zhì)學(xué)會(huì)莫奇遜(Murchison)獎(jiǎng)?wù)?1939年)；皇家地理學(xué)會(huì)維多利亞獎(jiǎng)?wù)?Victoria)(1942年)；皇家學(xué)會(huì)獎(jiǎng)?wù)?1942)；美國(guó)地球物理協(xié)會(huì)鮑伊(Bowie)獎(jiǎng)?wù)?1952年)；皇家學(xué)會(huì)柯普萊獎(jiǎng)?wù)?Copley)(1960)；皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)蓋伊(Guy)金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)?1962)；地質(zhì)學(xué)會(huì)沃拉斯頓 (Wollaston))獎(jiǎng)?wù)?1964年)；美國(guó)地震學(xué)會(huì)年度獎(jiǎng)?wù)?1978年)。

需要指出的是，獲得皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)的蓋伊金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)虏⒎且资?，獲獎(jiǎng)?wù)邞?yīng)在其所專長(zhǎng)的研究領(lǐng)域至少已經(jīng)精心耕耘了30年乃至40年之久，且其成果已在科學(xué)界充分沉淀并得到皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)的一致認(rèn)可，才能獲此殊榮。杰弗里于1931年發(fā)表《科學(xué)推斷》、1937年發(fā)表《概率論》(可將后者視為《科學(xué)推斷》之概率部分的深化與完善)，至1962年獲皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)蓋伊金質(zhì)獎(jiǎng)，31年光陰已逝。讀者不應(yīng)忘記，直至20世紀(jì)上半葉，貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)還未被主流統(tǒng)計(jì)學(xué)界認(rèn)可！杰弗里獲得蓋伊金獎(jiǎng)徹底改變了這種狀況，撫今追昔，不禁使人感慨萬(wàn)千。杰弗里對(duì)貝葉斯學(xué)派在20世紀(jì)后半葉的重新興起發(fā)揮了極其重要的作用。

有興趣的讀者可登陸英國(guó)皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)網(wǎng)站http://www.rss.org.uk/查閱有關(guān)蓋伊獎(jiǎng)及其獲獎(jiǎng)?wù)呒?xì)節(jié)。

二、“杰弗里原則”的提出及其意義

英國(guó)學(xué)者貝葉斯(Thomas Bayes，1702-1761)的遺作《機(jī)遇理論中一個(gè)問題的解》于1764年由其朋友普萊斯(Richard Price)代為發(fā)表，在該文中貝葉斯給出了如今被稱為“貝葉斯定理”的“逆概率原理”(即后驗(yàn)概率∝先驗(yàn)概率×似然)，貝葉斯推斷即由此肇始。

眾所周知，如將θ~R(0,1)這一選擇先驗(yàn)概率的貝葉斯法則推廣到一切場(chǎng)合，將會(huì)帶來矛盾后果。例如，若對(duì)參數(shù)θ選用均勻分布，則對(duì)θ 的函數(shù)g(θ)作為參數(shù)時(shí)，也應(yīng)選用均勻分布。但由θ 遵從均勻分布這一前提，往往導(dǎo)出g(θ)不是均勻分布；而從g(θ)遵從均勻分布這一前提，又可導(dǎo)出θ 不是均勻分布[1]53-55。

為了克服這一矛盾，杰弗里在《概率論》中提出了選擇(參數(shù))先驗(yàn)分布的“杰弗里原則”，即在確定參數(shù)的先驗(yàn)分布時(shí)，應(yīng)使變換后的參數(shù)之先驗(yàn)分布也能由同一個(gè)準(zhǔn)則導(dǎo)出，亦即先驗(yàn)分布具有不變性。具體地說：①若均值為未知參數(shù)x，假設(shè)在x在-∞到+∞之間取值，用P(dx|H)∝dx表示對(duì)x的“一無所知”；②若參數(shù)(如標(biāo)準(zhǔn)差)在0與+∞之間取值，用P(dν|H)∝dν/ν表示對(duì)ν的“一無所知”；而如果P(dv|H)∝dv/v，則還應(yīng)有P(dv|H)∝dlogv，且logv可取-∞與+∞之間的任何值*另一種解釋為："因在(0,∞)這個(gè)區(qū)間上(0,1)與(1,∞)的區(qū)間長(zhǎng)度很不一樣，故(0, ∞)上的均與分布實(shí)際上將(0,1)與(1,∞)賦予了不同的重視程度；似然比是(0,∞)內(nèi)取值的，但(0,1)與(1, ∞)反映的是同一類程度的信息，因此取對(duì)數(shù)后使(0,1)→(-∞,0)，(1,∞)→(0,∞)，這就可以使(0,1)與(1,∞)有相同的尺度，所以用對(duì)數(shù)變換后的均勻分布才是合理的"。見張堯庭、杜勁松著. 人工智能中的概率統(tǒng)計(jì)方法[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 1998.。

無論如何，“杰弗里原則”的提出都具有重要的理論和實(shí)際意義，一方面，它克服了選擇先驗(yàn)概率“貝葉斯法則”的缺陷，擴(kuò)大了貝葉斯方法的應(yīng)用范圍；另一方面，它也改變了人們對(duì)“無信息先驗(yàn)”的偏見，同時(shí)對(duì)后來學(xué)者展開關(guān)于科學(xué)推斷的進(jìn)一步研究，具有啟發(fā)作用。

三、“信息守恒原則”是對(duì)“杰弗里原則”的拓展

我們認(rèn)為，如果說杰弗里提出選擇(參數(shù))先驗(yàn)分布的“杰弗里原則”，避免了貝葉斯假設(shè)中的那個(gè)矛盾，那么，澤爾納(Arnold Zellner, 1927-2010, 芝加哥大學(xué)教授)引入信息熵、提出“信息守恒原則”而創(chuàng)立貝葉斯計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，就是結(jié)合實(shí)際問題對(duì)“杰弗里原則”所做的一個(gè)出色拓展。

如上所述，選擇參數(shù)先驗(yàn)分布的杰弗里原則并非任何時(shí)候都能給出前后一致的結(jié)果，對(duì)此，澤爾納認(rèn)為從信息論的角度進(jìn)行考慮是必要的。澤爾納的做法是，令p (y |q )為給定 q 下，y的概率密度函數(shù)，定義

Iy(θ)=∫π(y|θ)lnπ(y|θ)dy

(1)

為p (y |q )中所含信息的度量。先驗(yàn)平均信息可以定義為

(2)

其中p (q )是先驗(yàn)分布。再引入

(3)

澤爾納由此邁出了很關(guān)鍵性的一步：定義“最小信息”先驗(yàn)分布就是給定π(y|θ)時(shí)最大化G的先驗(yàn)分布。雖然這不是如此定義的“最小信息”先驗(yàn)分布的唯一定義，但將該定義應(yīng)用于一些特殊情況從而得到相應(yīng)的先驗(yàn)分布，并把此先驗(yàn)分布與利用杰弗里先驗(yàn)分布所得結(jié)果進(jìn)行比較，還是能給我們帶來不少啟示。

首先，在y服從正態(tài)分布的情況下，最大化G(它在最小化∫π(θ)lnπ(θ)dθ時(shí)得到，亦即當(dāng)我們對(duì)總體參數(shù)先驗(yàn)分布“幾乎一無所知”時(shí))所得位置參數(shù)θ， 尺度參數(shù)σ的先驗(yàn)分布均與杰弗里原則下得到的(先驗(yàn))分布形式一致。

其次，在y服從正態(tài)分布的情況下，若假定位置參數(shù)θ，尺度參數(shù)σ獨(dú)立，在約束?π(θ,σ)dθdσ=1下，G的最大化條件是π(θ,σ)∝σ-1, 這也符合杰弗里原則。但若認(rèn)為位置參數(shù)θ, 尺度參數(shù)σ不獨(dú)立，則π(θ,σ)∝σ-2, 這就違反了杰弗里原則，雖然杰弗里認(rèn)識(shí)到π(θ,σ)∝σ-1的先驗(yàn)分布在變換η=θ+kσ下保持不變[3]30-90。

澤爾納發(fā)現(xiàn)，若考慮式(3)中G的漸近形式

(4)

受選擇參數(shù)先驗(yàn)分布的“杰弗里原則”的啟發(fā)，澤爾納提出了所謂“信息守恒原則”。所謂信息守恒，它是指

Δ(g)=outputinformation-inputinformation

=∫glngdθ+∫glnhdθ-∫glnfdθ-∫glnπdθ

(5)

在式(5)中，投入的信息是關(guān)于先驗(yàn)密度π(θ)的對(duì)數(shù)lnπ(θ)及樣本似然函數(shù)f(y|θ)的對(duì)數(shù)lnf(y|θ)的、均以密度g加權(quán)的積分，產(chǎn)出的信息則為關(guān)于y的邊緣密度h(y)的對(duì)數(shù)lnh(y)及密度g的對(duì)數(shù)lng的、也均以密度g加權(quán)的積分h(y)=∫f(y|θ)π(θ)dθ。

下表列出了在澤爾納“信息守恒原則”下得到的研究成果。

表1　最優(yōu)貝葉斯信息處理下的結(jié)果

①g為抽取樣本數(shù)據(jù)后得到的關(guān)于θ的密度，各個(gè)λ1為拉格朗日乘數(shù)。此式可推廣至參數(shù)為向量或參數(shù)為矩陣的情形(可參考多元統(tǒng)計(jì)回歸的作法)。

在表1中，情形1就是通常的貝葉斯定理(取“核”的形式)，情形2即為費(fèi)歇爾的“信任推斷”(亦取“核”的形式)。這都是很清楚的，無需多說。

在情形4中，投入的信息是先驗(yàn)密度π及關(guān)于所估參數(shù)之樣本矩的邊界條件，最優(yōu)信息產(chǎn)出為先驗(yàn)乘以該參數(shù)(向量)的最大密度的形式。情形3與此類似。在情形5中，投入信息取“可調(diào)先驗(yàn)信息” 的形式，所以作如此稱呼，是因?yàn)橥ǔＣ芏鹊姆酱稳魹榉謹(jǐn)?shù)，則相應(yīng)隨機(jī)變量的分散程度會(huì)更大些，密度函數(shù)的高度也會(huì)隨之降低；在這種情況下，一旦抽取到樣本觀測(cè)值，百分之百最優(yōu)信息產(chǎn)出(的形式)必將正比于πw1lw2，恰為規(guī)模報(bào)酬 = w1+w2，替代彈性為-1時(shí)的科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的形式。對(duì)科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)也可以添加其他規(guī)模報(bào)酬及替代彈性的邊界條件，以求出相應(yīng)的解(我們對(duì)科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)應(yīng)該刮目相看了)。在情形6，某期的信息產(chǎn)出即為下一期的信息投入，因此這是一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，貝爾曼解是利用貝葉斯定理估計(jì)所需參數(shù)，并使之與更新后的樣本同步優(yōu)化，這樣就能做到逐期“信息流入 = 信息流出”，從而使貝葉斯方法百分之百有效。不過，如果改變了先驗(yàn)概率、或搜集到了新信息(這都需要付出代價(jià))，則所得到的解和通常貝葉斯最優(yōu)解會(huì)有些出入。此時(shí)，可以參考其他學(xué)科如心理學(xué)學(xué)習(xí)模型關(guān)于數(shù)據(jù)處理的做法。

舉例來說，如果Elng=a,Varlng=b，則lng的最大熵密度(themaxentdensity)就是均值為a，方差為b的正態(tài)密度，而g則有對(duì)數(shù)正態(tài)密度。g的這種密度即可用來刻畫g的性質(zhì)。

順便指出，所謂“熵”就是不確定性的度量，在“無信息”情況下，應(yīng)取熵最大的分布為先驗(yàn)分布，這就是最大熵原理。有趣的是，如果一個(gè)隨機(jī)向量的均值向量、方差協(xié)方差矩陣都存在，則可以證明其最大熵分布就是正態(tài)分布。

進(jìn)一步考慮表1中的情形1“貝葉斯定理”，我們有Elng=Elnc+Elnπ+Elnl，以及Var(lng)=Var(lnπ)+Var(lnl)+2cov(lnπ,lnl)。先驗(yàn)密度對(duì)數(shù)與似然函數(shù)對(duì)數(shù)之間相關(guān)系數(shù)的大小，可以用來刻畫先驗(yàn)密度與似然函數(shù)之間相依關(guān)系的特點(diǎn)。若先驗(yàn)密度是均勻分布密度，則它們之間的協(xié)方差就等于零。類似地，用這種方法也可以比較傳統(tǒng)貝葉斯學(xué)習(xí)模型與其他統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)模型的異同。表1其余五種情形下g之性質(zhì)的刻畫，可以仿此進(jìn)行。

澤爾納也研究了與表1信息處理方式有聯(lián)系的、關(guān)于未來觀測(cè)值密度函數(shù)(pdfs)的性質(zhì)，其未來觀測(cè)值是利用有關(guān)回歸模型產(chǎn)生的。給定表1所示的、最優(yōu)貝葉斯信息處理下的g(作為未來觀測(cè)值的密度函數(shù))，以及實(shí)際觀測(cè)到的有關(guān)未來值，g的預(yù)測(cè)性能就可以通過h(yf|D)=∫g(θ|D)f(yf|θ,D)dθ得到估計(jì)，D代表和問題有關(guān)的全部先驗(yàn)知識(shí)及已知數(shù)據(jù)。這樣的密度函數(shù)可用來構(gòu)造貝葉斯因子及后驗(yàn)優(yōu)比(posteriorodds)，以便對(duì)備選模型及其建模假設(shè)的合理性程度做出評(píng)估。例如，依靠貝葉斯學(xué)派的矩法(BayesianMethodofMoments,BMOM)所建立的建模，與根據(jù)傳統(tǒng)貝葉斯方法所建立模型之間，就可以進(jìn)行這種評(píng)估[4]。

利用貝葉斯因子及先驗(yàn)優(yōu)比(priorodds)計(jì)算后驗(yàn)優(yōu)比，是貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)教科書論證并采用貝葉斯定理的主要理由。亦即，貝葉斯定理被用于推出后驗(yàn)優(yōu)比等于先驗(yàn)優(yōu)比乘以貝葉斯因子的結(jié)論。澤爾納證明這一結(jié)論也可以通過采用與表1相似的論證手法得到。最小化兩個(gè)互斥假設(shè)(甚至非互斥假設(shè))之間“信息流入”與“信息流出”的差，即可得到“后驗(yàn)優(yōu)比等于先驗(yàn)優(yōu)比乘以貝葉斯因子”的結(jié)論，表2列出了有關(guān)結(jié)果。無論是哪種情形，在“信息守恒原則”下得到的結(jié)論，都與采用傳統(tǒng)貝葉斯方法所得結(jié)論相同，盡管它們的假設(shè)條件并不相同。顯然，表2中的問題會(huì)有一些變體，將來它們肯定也會(huì)得到

分析，而其分析形式也很可能與傳統(tǒng)的貝葉斯分析形式不完全相同。如果采用這樣的分析，其結(jié)果好于傳統(tǒng)貝葉斯方法所得結(jié)果，比如，在藥物臨床檢驗(yàn)中有上乘表現(xiàn)，則它們必會(huì)被人們認(rèn)為是具有“客觀性”而非“主觀性”的分析方法。不言而喻，在當(dāng)今數(shù)值積分及最優(yōu)化方法已經(jīng)取得重大進(jìn)展的條件下，貝葉斯方法與非貝葉斯方法之間的比較，肯定能在更廣泛的領(lǐng)域中展開。

表2　備擇假設(shè)的信息處理與評(píng)估

①h1(y)=∫f1(y|θ1)n1(θ1)dθ1,h2(y)=∫f2(y|θ2)n2(θ2)dθ2

參考文獻(xiàn)：

[1]陳希孺. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)簡(jiǎn)史[M]. 長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2002.

[2][美] Samuel Kotz，吳喜之.現(xiàn)代貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)[M]. 北京.中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社， 2000.

[3]龔鳳乾. 哈羅德·杰弗里統(tǒng)計(jì)思想研究[M]. 廈門：廈門大學(xué)出版社，2015.

[4]張堯庭. BMOM方法-貝葉斯學(xué)派的新貢獻(xiàn).統(tǒng)計(jì)與精算，2001(1).

(責(zé)任編輯：馬慧)

胡玲靜，女，湖南郴州人，碩士生，研究方向：經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)；

劉曉蒙，女，山東濰坊人，碩士生，研究方向：經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)。

【統(tǒng)計(jì)史研究】

Jeffreys' Principle and Its Positive Influence upon Econometrics

GONG Feng-qian, HU Ling-jing, LIU Xiao-meng

(Department of Statistics, Tianjin University of Finance & Economics,Tianjin 300222, China)

Abstract:This paper makes a fairly comprehensive introduction to Harold Jeffreys′ principle and its positive influence upon econometrics. It consists of three parts. Part one gives a fairly thorough account of his scientific achievements in the fields of mathematics, physics, etc, with an emphasis on his statistical work and the significance of his receiving the Guy golden medal in 1962. Part two shows his correction of Bayes' philosophy about selecting the prior probability distribution for some theoretical studies. Part three introduces Zellner's principle of conservation of information, which plays an important role in modern econometrics.

Key words:the Guy golden medal; Jeffreys' principle; principle of conservation of information

中圖分類號(hào)：C829.29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-3116(2015)12-0089-06

作者簡(jiǎn)介：龔鳳乾，男，天津人，教授，經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，研究方向：統(tǒng)計(jì)學(xué)與風(fēng)險(xiǎn)管理；

基金項(xiàng)目：2012年度全國(guó)統(tǒng)計(jì)科研計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目《哈羅德·杰弗里統(tǒng)計(jì)思想研究》(2012LZ038)