隨機(jī)凝聚算子的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用

許紹元

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系,廣東 潮州 521041)

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隨機(jī)凝聚算子的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用

許紹元

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系,廣東 潮州 521041)

摘要：利用隨機(jī)凝聚算子的Leray-Schauder隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)定理,得到了隨機(jī)凝聚算子的若干新的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)定理,并將有關(guān)結(jié)果應(yīng)用于隨機(jī)積分方程.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)全連續(xù)算子;隨機(jī)凝聚算子;隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn);隨機(jī)積分方程

1預(yù)備知識(shí)

隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)定理在研究各種隨機(jī)微分方程和積分方程時(shí)起著十分重要的作用[1-6].文獻(xiàn)[1]中引入隨機(jī)拓?fù)涠鹊母拍睿⒅腁ltman定理隨機(jī)化，得到如下結(jié)果：

‖A(ω,x)-x‖2≥‖A(ω,x)‖2-‖x‖2?(ω,x)∈Ω×?D.

定理1是著名Altman定理的隨機(jī)化推廣.筆者旨在利用隨機(jī)凝聚算子的Leray-Schauder隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)定理,得到隨機(jī)凝聚算子的若干新的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)定理,進(jìn)而改進(jìn)和推廣了隨機(jī)化的Altman定理，作為應(yīng)用，得到積分核被二次函數(shù)控制后的一類隨機(jī)積分方程的解.

2隨機(jī)凝聚算子的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)定理

首先，介紹一個(gè)有用的結(jié)論，即隨機(jī)凝聚算子的Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理.

A(ω,x)≠μx?(ω,x)∈Ω×?D,μ≥1.

由引理1可以得到關(guān)于隨機(jī)凝聚算子的一系列新的不動(dòng)點(diǎn)定理.

‖A(ω,x)-x‖α·‖x‖β≥‖A(ω,x)‖α+β-‖x‖α+β?(ω,x)∈Ω×?D

(1)

證明不妨設(shè)在?D上沒有不動(dòng)點(diǎn)(否則定理結(jié)論成立).下證滿足引理1的條件.事實(shí)上，若存在x0∈?D，ω0∈Ω，μ0≥1使得A(ω0,x0)=μ0x0，則μ0>1.考慮函數(shù)f(t)=(t-1)α-tα+β+1,t>1.由于f(1)=0，f′(t)=α(t-1)α-1-(α+β)tα+β-1<0，?t>1，因此f(t)在(1,+∞)上是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，故當(dāng)t>1，f(t)1.由‖x0‖≠0，μ0>1,有

‖A(ω0,x0)-x0‖α·‖x0‖β=‖μ0x0-x0‖α·‖x0‖β=(μ0-1)α‖x0‖α+β<

這與條件(1)矛盾，故滿足引理1的條件，從而在D上具有隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)ξ(ω)∈D.證畢.

由定理2立即得到隨機(jī)凝聚算子的一系列隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)定理.

‖A(ω,x)-x‖α≥‖A(ω,x)‖α-‖x‖α?(ω,x)∈Ω×?D

(ⅰ)‖A(ω,x)‖≤‖x‖,?(ω,x)∈Ω×?D;

(ⅱ)‖A(ω,x)‖≤‖A(ω,x)-x‖,?(ω,x)∈Ω×?D.

‖A(ω,x)-x‖·‖x‖≥‖A(ω,x)‖2-‖x‖2?(ω,x)∈Ω×?D,

‖A(ω,x)-x‖·‖x‖≥‖A(ω,x)‖2?(ω,x)∈Ω×?D,

‖A(ω,x)-x‖·‖x‖α-1≥‖A(ω,x)‖α-‖x‖α?(ω,x)∈Ω×?D，

‖A(ω,x)+x‖α+β≤‖A(ω,x)‖α‖x‖β+‖x‖α+β?(ω,x)∈Ω×?D

(2)

證明不妨設(shè)在?D上沒有不動(dòng)點(diǎn)(否則定理結(jié)論成立).下證滿足引理1的條件.事實(shí)上，若存在x0∈?D，ω0∈Ω，μ0≥1使得A(ω0,x0)=μ0x0，則μ0>1.考慮函數(shù)f(t)=(t+1)α+β-tα-1,t>1.由于f(1)=0，f′(t)=(α+β)(t+1)α+β-1-αtα-1>0，?t>1，因此f(t)在(1,+∞)上是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，故當(dāng)t>1，f(t)>f(1)=0，即tα-1<(t+1)α+β,?t>1.由‖x0‖≠0，μ0>1,有

‖A(ω0,x0)+x0‖α+β=‖μ0x0+x0‖α+β=(μ0+1)α+β‖x0‖α+β>(μα+1)0‖x0‖α+β=

‖A(ω0,x0)‖α‖x0‖β+‖x0‖α+β.

這與條件(2)矛盾，故滿足引理1的條件，從而在D上具有隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)ξ(ω)∈D.證畢.

由定理3立即得到隨機(jī)凝聚算子的一系列隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)定理.

‖A(ω,x)+x‖α≤‖A(ω,x)‖α+‖x‖α?(ω,x)∈Ω×?D

注1由于隨機(jī)全連續(xù)算子必定是隨機(jī)凝聚算子，因此定理2、定理3及其推論對(duì)A(ω,x)是隨機(jī)全連續(xù)算子時(shí)結(jié)論仍然成立.

注2定理2推廣了文獻(xiàn)[6]中定理2和定理3，定理9推廣了文獻(xiàn)[6]中定理5.

3應(yīng)用舉例

例1考察隨機(jī)yPbICOH積分方程：

φ(x)=∫Gk(ω,x,y,φ(y))dy，

(3)

其中G是Rn中有界開集,Ω為完全概率測(cè)度空間.

設(shè)k(ω,x,y,u)在(ω,x,y)∈Ω×G×G,-∞<μ<+∞上隨機(jī)連續(xù),且滿足不等式

|k(ω,x,y,u)|≤a+b|u|+cu2?(ω,x,y)∈Ω×G×G,-∞<μ<+∞，

證明利用文獻(xiàn)[5]中定理2.1的證明方法可知積分算子A(ω,φ)=∫Gk(ω,x,y,φ(y))dy是映Ω×C(G)→C(G)的隨機(jī)全連續(xù)算子,它必然是隨機(jī)凝聚算子.當(dāng)c=0時(shí)，令

當(dāng)c>0時(shí)，令

m(G)(a+bR+cR2)=R，

注3與文獻(xiàn)[6]的例子不同的是，本例對(duì)隨機(jī)yPbICOH積分方程(3)給出了新的定解條件，從而解決了方程(3)的核被u的二次函數(shù)控制后方程的解的存在性問題，而文獻(xiàn)[6]只討論了被u的一次函數(shù)控制的特殊情況.因此，本例不僅推廣和包含了文獻(xiàn)[6]的有關(guān)結(jié)論，而且是文獻(xiàn)[6]的一個(gè)有益補(bǔ)充.

參考文獻(xiàn)：

[1]LIGuozhen，CHENYuching.OnRandomTopologicalDegreeandSomeRandomFixedPointTheorems[J].ActaMathematicaScientia，1993,13(4)：391-398.

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[5]LIGuozhen，DEBNATHL.TheExistenceTheoremsoftheRandomSolutionsforRandomTypeNonlinearIntegralEquations[J].AppliedMathematicsLetters,2000,13:111-115.

[6] 李國(guó)禎,許紹元.關(guān)于隨機(jī)非線性算子的若干定理[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2006,35(6):721-729.

(責(zé)任編輯向陽潔)

On Random Fixed Point Theorems of Random Condensing

Operators and Applications

XU Shaoyuan

(Department of Mathematics and Statistics,Hanshan Normal University,Chaozhou 5210410，Guangdong China)

Abstract:In this paper,by using the so-called Leray-Schauder random fixed point theorem,we obtain a number of new random fixed point theorems.The corresponding result is applied to a class of random nonlinear integral equations.

Key words:random completely continuous operators;random condensing operators;random fixed points;random integral equations

作者簡(jiǎn)介：許紹元(1964—)，男，湖北武漢人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系教授，博士后，主要從事非線性泛函分析與分形幾何研究.

基金項(xiàng)目：韓山師范學(xué)院2013年“創(chuàng)新強(qiáng)校工程”創(chuàng)新強(qiáng)系科研項(xiàng)目

收稿日期：2014-08-29

中圖分類號(hào)：O177.91

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.02.002

文章編號(hào)：1007-2985(2015)02-0008-03