順勢而為構(gòu)造相似

□高峰

順勢而為構(gòu)造相似

□高峰

解決與相似三角形有關(guān)的問題時，有時圖形中并不存在相似三角形，需要構(gòu)造出相似三角形.下面舉例予以說明.

一、根據(jù)條件，順勢構(gòu)造

例1如圖1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對角線AC上.若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（）.

A.2B.3C.5D.6

圖1

分析：連接EF交AC于O.由四邊形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE＝OF，由于四邊形ABCD是矩形，AB∥CD，證得△CFO≌△AOE，得到AO＝CO，求出AO＝根據(jù)△AOE∽△ABC，即可得到結(jié)果.

解：連接EF交AC于O.

∵四邊形EGFH是菱形，

∴EF⊥AC，OE＝OF.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，

∴∠ACD＝∠CAB，

∵∠FOC＝∠AOE，

∴△CFO≌△AOE，

∴AO＝CO.

∵∠CAB＝∠CAB，

∠AOE＝∠B＝90°，

∴△AOE∽△ABC，

∴AE＝5.故選C.

點(diǎn)評：本題要求AE的長，而Rt△ABC的三邊已知，自然想到過點(diǎn)E作AC的垂線，構(gòu)造相似三角形，利用對應(yīng)邊成比例求解.因?yàn)樗倪呅蜤GFH是菱形，則連接EF交AC于O，自然得到垂線.

二、根據(jù)圖形，順勢構(gòu)造

例2（1）如圖2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°，求AD的長.

圖2

圖3

（2）如圖3，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的長.

分析：（1）連接BE，證明△ACD≌△BCE，得到AD＝BE，在Rt△BAE中，AE＝3，求出BE，得到答案；

解：（1）如圖2，連接BE.

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACB＋∠ACE

＝∠DCE＋∠ACE，

即∠BCE＝∠ACD.

又AC＝BC，DC＝EC，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE.

∵∠BAC＝∠CAE＝45°，

∴∠BAE＝90°.

在Rt△BAE中，

∴BE＝9，∴AD＝9.

（2）如圖3，連接BE.

在Rt△ACB中，

∠ABC＝∠CED＝30°，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠BCE＝∠ACD，

∴△ACD∽△BCE，

∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，

∴∠BAE＝90°，

又AB＝6，AE＝8，∴BE＝10，

點(diǎn)評：全等是相似的特殊情形，所以構(gòu)造全等與構(gòu)造相似常常會有相同之處.本題已知AC與所求的AD在△ACD中，觀察圖形，能與△ACD相似的三角形沒有，自然想到構(gòu)造與之相似的三角形.而根據(jù)平時的經(jīng)驗(yàn)，此圖中有兩個共頂點(diǎn)且相等的角，即∠ACB＝∠DCE＝90°，從而想到將△ACD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)可得到相似三角形，進(jìn)而得到解本題的輔助線.

三、根據(jù)所求，順勢構(gòu)造

例3如圖4，已知在△ABC中，AB邊上的動點(diǎn)D由A向B運(yùn)動（與A、B不重合），點(diǎn)E與點(diǎn)D同時出發(fā)，由點(diǎn)C沿BC的延長線方向運(yùn)動（E不與C重合），連結(jié)DE交AC于點(diǎn)F.若記且點(diǎn)D、E的運(yùn)動速度相等，試用含m的代數(shù)式表示的值.

圖4

分析：過點(diǎn)D作DG∥BC，可得△ADG∽△ABC，△DGF∽△ECF，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，并利用AD＝EC（因D、E的運(yùn)動速度相等）進(jìn)行代換后即可求出結(jié)果.

解：過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，如圖4.則有

△ADG∽△ABC，

△DGF∽△ECF.

又因?yàn)镈、E的運(yùn)動速度相等，則有AD＝EC.