岳曉奎,段 遜

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,陜西 西安 710072; 2.西北工業(yè)大學(xué) 國家飛行動力學(xué)重點實驗室,陜西 西安 710072)

基于偽譜同倫算法的編隊飛行任務(wù)設(shè)計研究

岳曉奎1、2,段 遜1、2

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,陜西 西安 710072; 2.西北工業(yè)大學(xué) 國家飛行動力學(xué)重點實驗室,陜西 西安 710072)

針對編隊飛行中多個從星飛行任務(wù)設(shè)計問題，研究了用偽譜同倫算法對其進行優(yōu)化的方法，以獲得小推力時的最省燃料轉(zhuǎn)移軌道。將無推力的轉(zhuǎn)移軌道作為初始軌道，用偽譜法對其進行優(yōu)化，使其轉(zhuǎn)移軌道能量最優(yōu)，所得軌道可作為初值，解決了同倫算法對初值敏感的問題。再用同倫算法進行優(yōu)化，降低了間接法求解最優(yōu)控制問題的難度，得到最省燃料軌道，解決了求解Bang-Bang控制產(chǎn)生的不光滑性。對運行于高度400 km近地圓軌道上3顆完全相同的從星算例進行了求解，構(gòu)建軌道跟飛/領(lǐng)飛構(gòu)型的最省燃料軌道。結(jié)果表明：偽譜同倫算法能較大幅度節(jié)省燃料，對求解編隊飛行從星轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計可行且有效。

編隊飛行； 軌道轉(zhuǎn)移； 偽譜同倫算法； Bang-Bang控制； 偽譜法； 同倫法； 最省燃料； 小推力

0 引言

衛(wèi)星編隊是指由物理上分離但彼此相互合作從而共同實現(xiàn)同一空間任務(wù)的一系列衛(wèi)星(特別是小衛(wèi)星)所組成的空間系統(tǒng)[1]。編隊飛行中的每顆衛(wèi)星在共同保持一個特定的隊形時，還受到引力場(如太陽、各大行星、月球等)的影響。在編隊飛行過程中，每顆衛(wèi)星相互聯(lián)系、協(xié)同工作，共同完成任務(wù)。與單顆衛(wèi)星相比，多顆衛(wèi)星組成的編隊具可提高系統(tǒng)性能和降低成本等優(yōu)勢。衛(wèi)星編隊飛行是現(xiàn)代小衛(wèi)星一種新的應(yīng)用模式，小衛(wèi)星的重大缺陷是能攜帶的燃料較少，因此規(guī)劃燃料最優(yōu)軌道成為編隊飛行中亟待解決的問題。當(dāng)空間任務(wù)發(fā)生變更，衛(wèi)星編隊構(gòu)型需相應(yīng)變化，在原構(gòu)型的基礎(chǔ)上建立新的相對運動形式是衛(wèi)星編隊飛行的重大問題。軌跡優(yōu)化在空間飛行探索中不斷發(fā)展，其理論是求解編隊飛行構(gòu)型重構(gòu)的基礎(chǔ)。當(dāng)前，推進方式主要有大小推力兩種形式。小衛(wèi)星因攜帶燃料的較少，采取小推力方式居多，因此研究者在不斷研究小推力的優(yōu)化方法。在已報道的研究中，求解優(yōu)化軌跡的數(shù)值方法主要有間接法、直接法和混合法三類[2-3]。直接法的要點是將控制變量或狀態(tài)變量離散化，將原問題轉(zhuǎn)換成一個非線性規(guī)劃問題，其典型算法有偽譜法，其不足主要是未引入一階最優(yōu)必要性條件，不能保證得到的解是最優(yōu)解。間接法是基于變分法或龐特里亞金極大值原理等最優(yōu)控制理論，將小推力軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題的方法，如同倫算法，其最大缺點是初值很難猜測，且對初值及其敏感。因同倫法與偽譜法有很強的互補特性，組合應(yīng)用既可解決初值敏感問題又能化解燃料最優(yōu)問題中Bang-Bang控制引起的不光滑性困難，從而獲得編隊飛行中從星的燃料最優(yōu)軌跡。為此，本文對一種基于偽譜同倫算法的編隊飛行構(gòu)型重構(gòu)任務(wù)設(shè)計方法進行了研究。先基于大推力下的C-W方程，以獲得一條大推力轉(zhuǎn)移初始軌道，再用偽譜法，以性能最優(yōu)為優(yōu)化指標(biāo)進行優(yōu)化(因其無法解決Bang-Bang控制的不光滑性，故無法得到最省燃料軌道)，以獲得一條平滑的控制曲線和小推力轉(zhuǎn)移軌道。最后，以基于偽譜法得到的小推力轉(zhuǎn)移軌道為初值再進行同倫算法優(yōu)化，以獲得最省燃料的小推力軌道和控制曲線。

1 問題描述

本文假設(shè)一顆主星攜帶3顆完全相同的從星運行于高度400 km的近地圓軌道，用這3顆從星構(gòu)建同軌道跟飛/領(lǐng)飛構(gòu)型，從而使燃料最省[4]。

為描述從星與主星(主星運行于圓軌道)間的相對運動，引入HCW坐標(biāo)系，此命名僅針對后文中的Hill-Clohessy-Wiltshire(HCW)方程：原點O位于主星；Ox軸由地心指向主星；Oy軸在主星軌道面內(nèi)與Ox軸垂直，沿運動方向為正；Oz軸垂直于軌道平面，與Ox、Oy軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系，如圖1所示。本文的運動狀態(tài)變量均在HCW坐標(biāo)系中表示。

圖1 HCW坐標(biāo)系Fig.1 HCW coordinate system

從星相對主星的線性化相對運動方程(HCW方程)可表示為

(1)

式中：x，y，z為從星相對主星的位置；n為主星的圓軌道角速度；Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為施加于從星上的推力的坐標(biāo)分量；m為從星的質(zhì)量?？紤]從星在軌道機動過程消耗的燃料質(zhì)量相對其本身的質(zhì)量來說相對較小，故認(rèn)為從星的質(zhì)量始終保持不變，式(1)中的m恒取為從星的初始質(zhì)量50 kg。

(2)

式中：ge為地球海平面的重力加速度；F為推力幅值，且F=[(Fx)2+(Fy)2+(FZ)2]0.5；Isp為推進比沖，且Isp=1 000 s；Δt為連續(xù)推力的持續(xù)時間。

當(dāng)Fx=Fy=Fz=0(即不施加任何推力)時，給定從星(相對主星)在初始時刻(t=0)的位置和速度為

HCW方程的解為

(3)

式中：n為主星的圓軌道角速度。將式(3)化為常值項、長期項與周期項之和的形式

(4)

式中：nt+φ為從星的相位差；

由式(4)可知：有界運動(無長期漂移項)的存在條件為xc=0，即

(5)

當(dāng)b=0，c=0時，不存在周期項運動，此時的構(gòu)型最簡單，為同軌道領(lǐng)飛/跟飛相對軌跡，有

(6)

當(dāng)yc>0時，稱為領(lǐng)飛；當(dāng)yc<0時，稱為跟飛。3顆從星同軌道領(lǐng)飛/跟飛的目標(biāo)構(gòu)型如圖2所示。圖中：yc=-4，4，8 km。

圖2 領(lǐng)飛/跟飛構(gòu)型Fig.2 Fly/flight configuration

2 優(yōu)化流程

2.1 偽譜法

偽譜法屬于直接法中的配點法。直接法是將一個連續(xù)系統(tǒng)求解最優(yōu)控制問題中的控制變量或狀態(tài)變量離散化，從而進行求解非線性規(guī)劃問題，最終獲得原最優(yōu)問題的較精確解。直接法可分為配點法和直接打靶法。直接打靶法一般是將控制變量進行離散化，而配點法一般將控制變量和狀態(tài)變量均離散化，包括求積型配點法和偽譜法。直接法的優(yōu)勢是：不用推導(dǎo)最優(yōu)性一階必要條件，易建立最優(yōu)軌道的非線性優(yōu)化模型；對初值軌跡精度要求不高，無需猜測協(xié)態(tài)變量的初值，對優(yōu)化參數(shù)的收斂域?qū)?，易得到收斂解。其缺點是：不提供協(xié)態(tài)變量信息，不能保證獲得的非線性規(guī)劃的最優(yōu)解是原最優(yōu)控制問題的解；易收斂至某一個局部解，而非全局最優(yōu)解[5-6]。

與其它配點法相比，偽譜法的最大差別是用數(shù)值微分方法近似其中的導(dǎo)數(shù)項(使用Lagrange插值全局近似，不基于有限差分的局部近似)，從而得到節(jié)點上的離散動力學(xué)方程(即殘值表達式)[7-8]。

在一般的最優(yōu)控制問題中，令狀態(tài)變量x(t)∈Rn，控制變量u(t)∈Rn，初始時間t0，終止時間tf，t∈[t0，tf]。確定最優(yōu)控制使性能指標(biāo)能最優(yōu)，即

(7)

滿足以下條件：

a)狀態(tài)約束

(8)

b)路徑約束

C(x(t),u(t),t0,tf)≤0∈RC;

(9)

c)終端約束

φ(x(-1),t0,x(1),tf)=0∈Rq.

(10)

求解的步驟是采用龐特里亞金極小值原理求解其中的約束問題。直接法將連續(xù)最優(yōu)控制問題離散并轉(zhuǎn)為非線性規(guī)劃問題進行求解。將歸一化時間區(qū)間τ∈[-1，1]用全局多項式插值逼近最優(yōu)控制問題的各變量，常用的全局多項式以拉格朗日多項式作為基函數(shù)，在τ∈[-1，1]選取插值點定義插值多項式M個，最優(yōu)控制問題中的狀態(tài)變量、控制變量可近似化為如下形式。

a)狀態(tài)變量

(11)

式中：x(τ)為M-1階多項式值；Li(τ)為拉格朗日多項式，且

(12)

b)控制變量

(13)

式中：U(τ)為離散點的控制量；

(14)

首先選取合適的多項式插值點，進而將最優(yōu)控制系統(tǒng)中的協(xié)態(tài)變量、控制變量和狀態(tài)變量等進行多項式逼近。同時，偽譜法選取合適的插值節(jié)點以對最優(yōu)能量指標(biāo)、約束條件、動力學(xué)等進行非線性約束。積分逼近的一般形式為

(15)

式中：τi為時間區(qū)間τ∈[-1，1]中M個離散的積分插值點；ωi為積分權(quán)重(k=1，…，M)。合理的積分離散點分布，對積分逼近精度的影響至關(guān)重要。

常用的偽譜法有Legendre偽譜法、Gauss偽譜法、Radau偽譜法和Chebyshev偽譜法，見表1?？傮w來說，選取的配點方法不同會導(dǎo)致出現(xiàn)差異。本文使用Radau偽譜法，選擇的配點為Legendre Gauss-Radau(LGR)[9]。

表1 偽譜法插值基函數(shù)及配點類型

LGR點是通過求取多項式

PM(τ)+PM-1(τ)

(16)

的零點獲得。此處：PM(τ)，PM-1(τ)為對應(yīng)點上的值。積分權(quán)重為

(17)

本文采用小推力軌跡優(yōu)化模型為

(18)

(19)

狀態(tài)變量x=[rvm]T，系統(tǒng)模型可寫成緊湊形式

則小推力優(yōu)化問題以轉(zhuǎn)換成求解最優(yōu)軌跡x(t)和最優(yōu)控制u(t)，滿足初、末狀態(tài)約束條件

(20)

和控制受限約束

‖u‖≤Tmax，

(21)

并使能量最優(yōu)指標(biāo)J取最小值，即

(22)

引入歸一化時間τ∈[-1，1]，

(23)

則軌跡優(yōu)化方程可表示為

(24)

引入狀態(tài)變量的Lagrange插值多項式

(25)

式中：li(τ)為Lagrange插值函數(shù)，包含LGR積分點和邊界節(jié)點，且

(26)

狀態(tài)變量x(τ)的導(dǎo)數(shù)可通過微分矩陣近似得到，即

(27)

同樣，對控制變量引入Lagrange插值多項式

(28)

根據(jù)能量最優(yōu)性能指標(biāo)，經(jīng)偽譜離散得

(29)

式中：N為選取點的個數(shù)；ωk為LGR積分點對應(yīng)的權(quán)函數(shù)，且

(30)

2.2 同倫法

同倫法是間接法的一種。間接法是根據(jù)性能指標(biāo)從而推導(dǎo)得到滿足指標(biāo)的協(xié)態(tài)變量方程、控制量、橫截條件等，構(gòu)成系統(tǒng)微分方程建立兩點邊值問題，然后選用合適的迭代算法求解出滿足邊界條件約束、開關(guān)控制約束和橫截條件約束的最優(yōu)軌道。間接法的優(yōu)勢是：無需直接對性能指標(biāo)尋優(yōu)，滿足最優(yōu)控制理論一階必要條件的收斂解即被認(rèn)為是最優(yōu)軌跡；優(yōu)化參數(shù)少，如協(xié)態(tài)變量初值較精準(zhǔn)，就能快速得到收斂解。該法的缺點是：對協(xié)態(tài)變量初值非常敏感，其收斂域非常狹窄，一般很難直接得到收斂解，尤其對轉(zhuǎn)移軌道飛行時間長、發(fā)動機要多次開關(guān)切換的情況。

對間接法初值敏感問題，偽譜方法與同倫法有強互補特性。首先，偽譜法可有效求解能量最優(yōu)時的軌跡和估計協(xié)態(tài)，其次同倫法可有效求解燃料最優(yōu)問題(由Bang-Bang控制不光滑性引起)[10-11]。

構(gòu)建同倫的方式通過對指標(biāo)添加一個二次攝動項

(31)

此處，增加了一個正乘子λ0以便后續(xù)進行歸一化。參數(shù)ε將燃料最優(yōu)準(zhǔn)則與能量最優(yōu)準(zhǔn)則關(guān)聯(lián)，系數(shù)Fmax/(Ispg0)是為當(dāng)時與實際燃料消耗一致。

根據(jù)新的指標(biāo)，哈密爾頓函數(shù)為

(32)

控制力大小為

(33)

式中：ε為同倫算法的參數(shù)；ρ為選定的參數(shù)，其開關(guān)函數(shù)形式為

(34)

3 仿真

3.1 從原點至(0，4，0) km點

a)初始軌道選取

假設(shè)從星從原點出發(fā)到達(0，4，0) km點處，在偽譜同倫法優(yōu)化前，需選取初始軌道。本文選取的初始軌道是在無任何推力時，從星將根據(jù)HCW方程離開原點。如圖3所示。

圖3 無推力時軌道轉(zhuǎn)移Fig.3 Orbit transfer without thrust

b)偽譜法優(yōu)化

因z平面內(nèi)無轉(zhuǎn)移，故只需研究x-y平面內(nèi)狀況。由圖3可知：軌道離目標(biāo)點(0，4) km點越來越遠。故將這條初始軌道進行偽譜法修正，從而得到轉(zhuǎn)移軌道和控制曲線分別如圖4、5所示)。

圖4 偽譜法優(yōu)化的軌道轉(zhuǎn)移Fig.4 Transfer orbit under optimization ofpseudo spectral method

圖5 偽譜法優(yōu)化的各軸控制量Fig.5 Control of each axis under pseudo spectral method

由圖4可知：從星從原點飛到目標(biāo)點(0，4) km，完成了任務(wù)。圖5對應(yīng)的是x、y、z三軸上的控制量，可發(fā)現(xiàn)因z平面無轉(zhuǎn)移，故一直都是0，而x、y軸也隨之變化。

c)同倫法優(yōu)化

將偽譜法優(yōu)化得到的軌道再次作為初始軌道進行同倫優(yōu)化，所得轉(zhuǎn)移軌道、各軸力大小及總力分別如圖6～8所示。

圖6 同倫法優(yōu)化的轉(zhuǎn)移軌道Fig.6 Transfer orbit under optimization ofhomotopy method

圖7 同倫法優(yōu)化各軸力大小Fig.7 Size of axial force under optimization ofhomotopy method

圖8 同倫法優(yōu)化的總力

圖6是由同倫算法得到的軌道。雖然與偽譜法的軌道相近，但仍有較大區(qū)別，如圖9所示。

圖9 偽譜和同倫優(yōu)化的軌道Fig.9 Result by pseudo spectrum and homotopy optimization

由偽譜法和同倫法算得的軌道轉(zhuǎn)移時間與燃料消耗見表2。

表2 偽譜軌道和同倫軌道比較(0，4) km

由表2可知：雖然轉(zhuǎn)移時間由較大增加，但燃料消耗減小了十分之一。分析原因有兩點：首先偽譜法得到的是最優(yōu)能量的軌道并不是最省燃料的軌道(因其無法求解出最省燃料軌道)；其次同倫法可解決由Bang-Bang控制產(chǎn)生的不光滑性，從而求得最省燃料軌道。本文方法較好地解決了解編隊飛行軌道轉(zhuǎn)移的燃料消耗及轉(zhuǎn)移問題。

3.2 從原點至(0，8，0) km點

偽譜法軌道及控制結(jié)果如圖10、11所示。經(jīng)同倫優(yōu)化得到的軌道轉(zhuǎn)移結(jié)果如圖12所示。偽譜法與同侖優(yōu)化法所得軌道比較如圖13所示。同侖優(yōu)化法的各軸力大小和總力分別如圖14、15所示。

圖10 偽譜法優(yōu)化的軌道轉(zhuǎn)移Fig.10 Transfer orbit under optimization ofpseudo spectral method

圖11 偽譜法優(yōu)化下的各軸控制量Fig.11 Control of each axis under pseudo spectral method

圖12 同倫法優(yōu)化的轉(zhuǎn)移軌道Fig.12 Transfer orbit under optimization ofhomotopy method

圖13 偽譜和同倫優(yōu)化軌道比較Fig.13 Comparison between pseudo spectrum andhomotopy optimization

圖14 同倫法優(yōu)化的各軸力大小Fig.14 Size of axial force under optimization ofhomotopy method

圖15 同倫法優(yōu)化的總力Fig.15 Total force under optimization of homotopy method

偽譜法和同倫法算得的軌道轉(zhuǎn)移時間和燃料消耗見表3。

表3 偽譜軌道和同倫軌道對比(0,8) km

由表3可知：使用同倫法后，消耗的燃料同樣明顯減少，轉(zhuǎn)移時間也加長。比較表2、3可知：轉(zhuǎn)移距離越長，用偽譜同倫法可節(jié)省的燃料越多，且較單獨使用偽譜法可節(jié)省大量燃料；采用偽譜同倫法到達(0，8) km點消耗的燃料正好是(0，4) km點的2倍。

3.3 從原點至(0，-4，0) km點

求解原點至(0，-4，0) km點的偽譜法軌道及控制結(jié)果如圖16、17所示。經(jīng)同倫優(yōu)化得到的軌道轉(zhuǎn)移結(jié)果如圖18所示。同侖優(yōu)化法的各軸力大小和總力分別如圖19、20所示。

圖16 偽譜法優(yōu)化的軌道轉(zhuǎn)移Fig.16 Transfer orbit under optimization ofpseudo spectral method

圖17 偽譜法優(yōu)化的各軸控制量Fig.17 Control of each axis under pseudo spectral method

圖18 同倫法優(yōu)化的轉(zhuǎn)移軌道Fig.18 Transfer orbit under optimization ofhomotopy method

圖19 同倫法優(yōu)化的各軸力大小Fig.19 Size of axial force under optimization ofhomotopy method

圖20 同倫法優(yōu)化的總力Fig.20 Total force under optimization ofhomotopy method

偽譜法和同倫法算得的軌道轉(zhuǎn)移時間和燃料消耗見表4。

表4 偽譜軌道和同倫軌道對比(0，-4) km

由表4可知：使用同倫法后所消耗的燃料也同樣大幅減少，轉(zhuǎn)移時間也加長。比較表2、4可知：兩者基本無差別，即原點至(0，-4)km是原點至(0，4)km的逆過程。

3顆從星離開原點，構(gòu)建同軌道跟飛/領(lǐng)飛構(gòu)型最省燃料的軌道轉(zhuǎn)移如圖21所示。全程最耗燃料的僅4.89 g，遠小于單獨偽譜法的燃料消耗。

圖21 3顆從星軌道轉(zhuǎn)移圖Fig.21 Transfer orbits of three following-satellites

4 結(jié)束語

本文在前人的基礎(chǔ)上，將偽譜同倫算法用于求解編隊飛行問題中的多個從星飛行任務(wù)設(shè)計。偽譜同倫算法計算流程為：首先基于大推力的C-W方程，得到了一條大推力轉(zhuǎn)移初始軌道；其次用偽譜法，以性能最優(yōu)為優(yōu)化指標(biāo)進行優(yōu)化(因其無法解決Bang-Bang控制的不光滑性，故無法得到最省燃料軌道)，得到了一條平滑的控制曲線和小推力轉(zhuǎn)移軌道；再次基于偽譜法得到的小推力轉(zhuǎn)移軌道為初值再進行同倫算法優(yōu)化，得到了最省燃料的小推力軌道和控制曲線。用本文方法對求解空間軌道的效果較好，證明了該方法最優(yōu)解的可行性。本文方法解決了偽譜法無法求得Bang-Bang控制引起的不平滑，從而無法得到最省燃料軌道以及同倫算法對初值敏感的問題。但此法尚有其缺點，兩種算法結(jié)合后計算的難度變大，時間變長。小推力用于深空探測的較多，未來研究將基于限制性三體問題中平動點的編隊飛行設(shè)計。

[1] 徐劼. 小衛(wèi)星編隊飛行關(guān)鍵技術(shù)及發(fā)展趨勢分析[J]. 航天電子對抗, 2007, 23(6): 24-29.

[2] 高揚. 電火箭星際航行:技術(shù)進展、軌道設(shè)計與綜合優(yōu)化[J]. 力學(xué)學(xué)報, 2011, 43(6): 991-1019.

[3] 張友安， 王麗英， 張剛， 等. 軌跡優(yōu)化的直接數(shù)值解法綜述[J]. 海軍航空工程學(xué)院學(xué)報， 2012， 27(5)： 481-486+498.

[4] 孫杰, 張東青, 張紅英, 等. 庫侖力衛(wèi)星編隊動力學(xué)建模及基本穩(wěn)定條件分析[J]. 上海航天, 2015, 32(5): 15-19.

[5] GAO Y, LI W. Systematic direct approach for optimizing continuous-thrust earth-orbit transfers[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2009, 22(1): 56-69.

[6] ROSS I M, GONG Q, SEKHAVAT P. Low-thrust, high-accuracy trajectory optimization[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2007, 30(4): 921-933.

[7] TREFETHEN L N. Spectral methods in MATLAB[M]. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000.

[8] JAN S H, SIGAL G, DAVID G. Spectral methods for time-dependent problems[M]. New York: Cambridge University Press, 2007.

[9] 王玉浩. 衛(wèi)星姿態(tài)快速機動穩(wěn)定控制技術(shù)研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2015.

[10] 郭鐵丁. 深空探測小推力軌跡優(yōu)化的間接法與偽譜法研究[D]. 北京: 清華大學(xué), 2012.

[11] 李俊峰, 寶音賀西, 蔣方華. 深空探測動力學(xué)與控制[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2014.

Design of Formation Flying Mission Based on Pseudo Spectral Homotopy Algorithm

YUE Xiao-kui1, 2, DUAN Xun1, 2

(1. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, Shaanxi, China; 2. National Key Laboratory of Space Flight Dynamics, Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072, Shaanxi, China)

In order to optimize the design of following-satellites flight mission, the pseudo spectrum homotopy algorithm was used to get the most provincial fuel transfer orbit with the low-thrust in this paper. The pseudo spectral method was used to optimize the transfer orbit, which was based on the non-thrust case. The transfer orbit would be used as initial value, which solved the problem of the homotopy algorithm for initial value sensitivity. Then the homotopy algorithm was used to solve the problem of the non-smoothness of the Bang-Bang control, which obtained the minimum-fuel trajectory, and the problem of indirect method for solving the optimal control problem was reduced. The numerical example of exactly the same following 3 satellites was designed, which were working on the near earth circular orbit with a height of 400 km, to construct of orbit and fly/flight configuration of the most provincial fuel trajectory. The results show that the pseudo spectrum homotopy algorithm can greatly save fuel and it is feasible and effective for the design of formation flying for the following satellites.

Formation flying; Orbital transfer; Pseudo spectrum homotopy algorithm; Bang-Bang control; Pseudo spectral method; Homotopy algorithm; Minimum-fuel trajectory; Low-thrust

1006-1630(2016)06-0044-09

2016-07-14；

2016-10-18

國家自然科學(xué)基金資助(11172235)

岳曉奎(1970—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為航天動力學(xué)與控制。

V412.4

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.06.006