趙克勝+倪桂強+羅健欣

DOI：10.16644/j.cnki.cn33-1094/tp.2016.02.010

摘 ?要： 為提高高度場渲染的真實感，增加視覺觀察的準確性，提出了使用球諧光照渲染高度場的方法。使用OpenGL圖形接口進行實驗程序開發(fā)，采用Puget Sound高度圖作為原始數(shù)據(jù)，利用對比實驗說明球諧光照在高度場渲染中對渲染效果、渲染效率的提升。對比結(jié)果表明，將球諧光照用于高度場渲染可以有效增強高度場真實感。

關(guān)鍵詞： 高度場渲染; 球諧光照; 蒙特卡洛積分; 關(guān)聯(lián)勒讓德多項式

中圖分類號：TP391.41 ? ? ? ? ?文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1006-8228（2016）02-33-05

Terrains rendering with spherical harmonic lighting

Zhao Kesheng， Ni Guiqiang， Luo Jianxin

（Laboratory of Military Network Technology， PLA University of Science and Technology， Nanjing， Jiangsu 21007， China）

Abstract： In order to improve the sense of reality of terrains rendering and the accuracy of visual observation， a method of rendering terrains with spherical harmonic lighting is proposed. In the experiment， the OpenGL graphics interface is used as the development environment and the Puget Sound terrains as the raw data. The advantage of terrains rendering with spherical harmonic lighting in rendering quality and efficiency is described by the comparative experiment. The result shows that spherical harmonic lighting can improve the rendering quality of terrains rendering.

Key words： terrains rendering; spherical harmonic lighting; Monte-Carlo integration; associated Legendre polynomials

0 引言

近年來球諧（Spherical Harmonic）在光照、BRDF、形狀識別等計算機圖形學領(lǐng)域內(nèi)被廣泛使用[1]。球諧光照[2-5]是利用球諧計算3D模型上光照的技術(shù)，它可以實時地渲染出全局光照模式的圖像[6]。相對于光線追蹤[7]、輻射度算法[8]等光照技術(shù)，球諧光照具有渲染效果好、實時性強、代碼易編寫等優(yōu)點。

高度場渲染在模擬飛行、虛擬戰(zhàn)場三維游戲等領(lǐng)域都有著廣泛應用[9]。通過對高度場場景模型加入光照效果將會大大增強結(jié)果圖像的真實感[10]，為交互可視化和視覺觀察提供很大的便利。由于高度場本質(zhì)上也是3D模型，所以本文研究了將球諧光照應用于高度場渲染，并對其優(yōu)缺點進行了分析。

1 球諧光照

1.1 光照計算

圖1所示為自然界中的某個光照場景，光線自左側(cè)傳播至x處，經(jīng)物體反射至x'處。此時觀察者于x'觀察到的x點的顏色由兩部分組成：一部分為x點本身發(fā)射出的沿xx'方向的光的顏色，另一部分為入射光線于x處經(jīng)物體反射至x'處的光的顏色。在計算機圖形學中，模擬這種物理現(xiàn)象的公式稱為渲染方程[11]：

式⑴

其中是觀察者在方向看到的x點的顏色。是物體在x點沿著方向自身發(fā)射的光的顏色。將沿的入射光顏色轉(zhuǎn)化為沿方向的反射光顏色。L（x'，）是從x'點發(fā)射沿方向的入射光，G（x，x'）是x與x'的幾何關(guān)系。V（x，x'）是x點對x'點的可見測試。

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圖1 ?自然界中的光照場景

可以看出，使用圖形硬件來計算的難點在于，渲染公式中存在一個球上的積分，計算基于符號的積分在GPU中很難完成。為了能快速地得到結(jié)果，人們使用了一個近似的解法，這個方法就是球諧投影與重建。球諧投影與重建的原理是，使用球諧函數(shù)求原函數(shù)的近似解。球諧函數(shù)是一類擁有特殊性質(zhì)的基函數(shù)。

1.2 基函數(shù)

基函數(shù)是用來求解原函數(shù)近似解的一系列函數(shù)。利用基函數(shù)求原函數(shù)近似解的過程如下：

首先在原函數(shù)的定義域上積分原函數(shù)f（x）i與基函數(shù)Bi（x）的乘積，得到一系列的近似系數(shù)Ci，如圖2。

然后用系數(shù)Ci乘以各自對應的基函數(shù)Bi（x），如圖3。

最后將乘積結(jié)果累加，得到原函數(shù)的近似結(jié)果，如圖4。

1.3 關(guān)聯(lián)勒讓德多項式

球諧函數(shù)的核心部分是關(guān)聯(lián)勒讓德多項式，關(guān)聯(lián)勒讓德多項式是標準正交多項式的一族。標準正交多項式是擁有以下的性質(zhì)的一組基函數(shù)：積分任何兩個正交基函數(shù)的積時，如果它們相同，結(jié)果為1，如果它們不同，結(jié)果為0即：

式⑵

關(guān)聯(lián)勒讓德多項式通常使用符號P表示，關(guān)聯(lián)勒讓德多項式有兩個參數(shù)：l和m。l的定義域為從0開始的整數(shù)，m的定義域為0到l的整數(shù)。系數(shù)l和m把關(guān)聯(lián)勒讓德多項式分成了不同的階，l是階的索引，同一階內(nèi)的多項式正交于同一個常數(shù)，不同階內(nèi)的多項式正交于不同的常數(shù)。這種關(guān)系可以用如圖5中的三角網(wǎng)格來表示：

圖5 ?三角網(wǎng)格

我們使用遞歸定義來求解給定參數(shù)的關(guān)聯(lián)勒讓德多項式，這個過程需要用到下面三個公式。

式⑶

首先使用這個式子和給定的m求解出，注意x?。殡p階乘運算，其結(jié)果為所有小于等于x并與x有相同奇偶性的整數(shù)的乘積，例如5！！=5*3*1=15。如果此時l=m，就終止程序，如果l≠m則使用公式⑶來求：

式⑷

上一步由公式⑵求得的代入此式，即可求得。此式只使用一次，若此時m+1=l，則終止程序，如果m+1≠1則使用公式4遞歸求解：

式⑸

1.4 球諧函數(shù)

在球面上，我們使用球諧函數(shù)來求原函數(shù)的近似解。與關(guān)聯(lián)勒讓德多項式相似，球諧函數(shù)也擁有兩個參數(shù)l和m。l將球諧函數(shù)分為了不同的階，它的取值范圍從0開始的整數(shù)，與關(guān)聯(lián)勒讓德多項式不同的是球諧函數(shù)的參數(shù)m的取值范圍為-l到l的整數(shù)。球諧函數(shù)通常用符號y來表示，它的定義如下：

式⑹

P為關(guān)聯(lián)勒讓德多項式，K是比例因子：

式⑺

定義順序yi如下：

式⑻

1.5 球諧投影

觀察渲染方程發(fā)現(xiàn)，G（x，x'）和V（x，x'）均為常數(shù)，則渲染方程中積分的實際形式為，它的求解過程如下。使用球諧函數(shù)來近似L（s）和t（s），方法與使用基函數(shù)求原函數(shù)近似的過程相同。

用和來代替L（s）和t（s）：

展開：

繼續(xù)展開：

由于球諧函數(shù)是正交多項式的子族，所以擁有以下性質(zhì)：

故有：

其中：

求解這兩個定積分的方法是蒙特卡洛積分。

1.6 蒙特卡洛積分

在實際中，許多需要計算多重積分的復雜問題，使用蒙特卡洛積分[12-14]都能有效地解決。它的推導過程如下。

已知函數(shù)f（x）的期望等于函數(shù)本身f（x）與它的概率密度函數(shù)p（x）的乘積在函數(shù)f（x）定義域上的積：

另一個計算函數(shù)期望的方法是，取大量的函數(shù)隨機采樣的平均值，若采樣數(shù)趨于無窮大，則最終結(jié)果收斂于函數(shù)期望：

所以，由此可推得：

將上式兩側(cè)都除以p（x），得到蒙特卡洛積分：

式⑼

通過這種轉(zhuǎn)換，一個函數(shù)的積分運算就轉(zhuǎn)化成了四則運算，在計算機中可以方便地求得結(jié)果。

運用蒙特卡洛積分方法求解1.5節(jié)中的積分得：

由于渲染方程需要解決的是一個球面上的積分，所以利用蒙特卡洛積分求解渲染方程時需要在整個球面上隨機采樣離散分布的點?？梢圆捎媚撤N策略先得到2D的采樣點，然后將其映射到球面空間上。映射的公式如下：

式⑽

如圖6所示，類似于將平面的世界地圖貼到地球儀上，為了保證映射后的采樣點隨機且均勻，需要注意到采樣點在2D坐標下的分布規(guī)律為沿兩極向赤道越來越密集。具體的采樣方法是創(chuàng)建一個1*1的采樣空間，劃分成N*N的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格內(nèi)取一個坐標，用公式⑽將其轉(zhuǎn)化為球坐標，再利用公式⑸求得每個采樣點對應的球諧函數(shù)值。

因為是在單位球上均勻分布的采樣點，所以。因此有：

這樣利用球諧投影與重建求解3D模型上某一點經(jīng)過光照后顏色的整個過程就結(jié)束了。

2 利用球諧渲染高度場

2.1 實驗準備

實驗硬件平臺為Intel（R） Core（TM） i5-4460 CPU @ 3.20GHz、8GB內(nèi)存，Radeon X1300/X1550 Seris顯卡的PC，采用VC++作為開發(fā)語言，VS2012作為開發(fā)平臺。實驗數(shù)據(jù)來源于Puget Sound數(shù)據(jù)集，為1025*1025分辨率的原始高程數(shù)據(jù)。

2.2 同一四叉樹映射

高度場渲染常用四叉樹作為數(shù)據(jù)管理方式?，F(xiàn)有的四叉樹結(jié)構(gòu)渲染節(jié)點的過程需要對節(jié)點關(guān)聯(lián)的網(wǎng)格進行簡化并將簡化后的網(wǎng)格發(fā)送到GPU上。由于四叉樹節(jié)點關(guān)聯(lián)的網(wǎng)格三角形數(shù)目巨大，所以這一過程往往會限制渲染效率。

通過采用同一四叉樹映射[15]的方法可以有效提高渲染效率。同一四叉樹映射基于GPU支持頂點可編程性、強大的處理能力等特點。將統(tǒng)一的均勻網(wǎng)格駐留在GPU中，在渲染四叉樹節(jié)點時，通過簡單的頂點著色將網(wǎng)格頂點移動到指定位置進行渲染。這樣做雖然增加了三角形數(shù)量，但是因為完全丟棄了網(wǎng)格簡化及將網(wǎng)格數(shù)據(jù)發(fā)送到GPU中的過程，所以反而提高了渲染效率。

2.3 渲染結(jié)果

圖7為無陰影的球諧光照渲染的高度場圖片，圖8為相同渲染場景的對比實驗效果。對比畫框處，球諧光照的陰影效果更好，更易于分辨地形的起伏變化。

圖9為球諧光照渲染的高度場的平視圖，圖10為相同場景的對比實驗效果。對比畫框處，球諧光照背光處的立體感很真實，視覺觀察的準確性更高。

圖11為球諧光照渲染的草地場景，圖12為相同渲染場景的對比實驗效果?？梢钥闯觯蛑C光照把草地陰影的效果渲染得很好。

3 結(jié)束語

實驗結(jié)果表明，將球諧光照用于高度場的渲染能有效提升高度場圖片的真實感，為使用者的視覺觀察與可視化交互增加準確性。球諧光照用于高度場的缺點在于，球諧光照的預處理時間隨著網(wǎng)格節(jié)點的增長呈O（n2）的增長趨勢，所以，如何有效簡化網(wǎng)格成為下一步研究的重點。

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