文／許曌 宋寒亮 （魔術(shù)愛好者）

撲克魔術(shù)“頭牌之和”的數(shù)學(xué)解密與邏輯

文／許曌 宋寒亮 （魔術(shù)愛好者）

撲克魔術(shù)“頭牌之和”的秘訣在于記住某一張牌，而這張只有魔術(shù)師才知道的處于固定張數(shù)的牌，其實可以通過數(shù)學(xué)推理論證出來。看似隨機(jī)的魔術(shù)表演，其實總存在一個常數(shù)，造就了“看似偶然的必然”。

一、“頭牌之和”的表演過程和魔術(shù)揭秘

以數(shù)學(xué)作為科學(xué)原理的魔術(shù)，一定與數(shù)字有關(guān)；而一提到數(shù)字，魔術(shù)師最常用的道具就是撲克牌。本文要用到的案例就是一個最近在魔術(shù)界比較火的撲克魔術(shù)——“頭牌之和”。該魔術(shù)的表演過程如下：

取一副完整的撲克牌，總牌數(shù)為54張；將大王、小王剔除，則剩下52張牌面有數(shù)字的牌。所有牌正面朝上，從上往下數(shù)出一半張數(shù)，即26張牌。這26張牌依次摞好，順序不可打亂，然后牌面朝下扣著放置。此時手中還剩下26張牌，從手中的牌里任意取出3張牌，面朝上從左到右并排放置。此3張牌即為三個“頭牌”。以頭牌牌面上的數(shù)字為起點(diǎn)開始數(shù)手里的牌，往后數(shù)連續(xù)的自然數(shù)，每數(shù)一個數(shù)就從手里的牌中取出一張，放到該頭牌上面，一直數(shù)到13為止。例如，某一頭牌牌面上的數(shù)字為9，則以9為起點(diǎn)往后數(shù)10、11、12、13，到13為止有四個自然數(shù)，則需從手中的牌中取出4張，放在這張9的上面。假如頭牌為K，而K代表的13本身又是終止數(shù)，所以就不需要再往上加牌，這張頭牌一張自成一小堆。另外兩個頭牌也重復(fù)上述過程，這樣形成3小堆牌。數(shù)完3小堆牌后，將手中剩余的牌扣在先前那一摞扣著放置的一堆牌上面；如果手中的牌不夠數(shù)這3小堆牌，則從扣著的那一摞牌中，從上往下依次取牌，差幾張取幾張。此時，準(zhǔn)備工作才算就緒，真正的魔術(shù)表演要開始了。下一步，魔術(shù)師會和觀眾一起計算出3張頭牌牌面數(shù)字之和。設(shè)“頭牌之和”為R，魔術(shù)師可以準(zhǔn)確地說出：在那一摞扣著放置的牌中，自上往下數(shù)的第R張牌是什么！

當(dāng)然，魔術(shù)師并沒有透視眼，其所使用的撲克牌也不是特殊道具。那么魔術(shù)師究竟是怎樣做到的呢？難道是他在最開始數(shù)那26張牌的時候?qū)⑵淙坑浽谀X子里？那樣簡直就是“最強(qiáng)大腦”了！那這個表演就不叫魔術(shù)了。但如果只需要記住一張牌，是不是人人都可以做到呢？沒錯，魔術(shù)師只需記住這26張牌中的其中一張——第16張牌。他只要在快速數(shù)出26張牌的時候牢記第16張就足夠了。接下來的“頭牌之和”不管是多少，只要把那摞扣著的牌從上往下數(shù)，數(shù)到“頭牌之和”之?dāng)?shù)就是這神奇的第16張牌。

二、“頭牌之和”魔術(shù)的數(shù)學(xué)解析

無論3張頭牌如何變換，無論“頭牌之和”是多少，只要按照這個自然數(shù)在那摞扣著的牌中從上往下數(shù)下去，總是會落到第16張牌上，所以記住第16張牌即可。既然16是一個常數(shù)，就說明其背后一定有規(guī)律，我們相信一定可以通過公式推導(dǎo)出來，使這一常數(shù)在數(shù)學(xué)邏輯中得到論證。

假設(shè)魔術(shù)師在數(shù)出26張牌時需要記住的那張牌為第N張牌，3張頭牌的牌面數(shù)字分別為X、Y、Z，“頭牌之和”為R。先以第一小堆的頭牌X為例，因為我們需要在X基礎(chǔ)上往后數(shù)自然數(shù)到13為止，所以第一小堆牌的張數(shù)為13-X+1，這里的“1”代表頭牌本身。同理，第二、三小堆牌的張數(shù)分別為13-Y+1和13-Z+1。3小堆牌的張數(shù)總和為：（13-X+1）+（13-Y+1）+（13-Z+1），簡化后即42-（X+Y+Z）。而X+Y+Z即為“頭牌之和”R，故3小堆牌張數(shù)總和為42-R。由于最初數(shù)完26張牌后，手中還應(yīng)剩26張，所以放完3小堆牌之后，手中還剩的牌張數(shù)為：26-（42-R），簡化后即R-16。理論上，R的范圍在3至39之間，所以R-16有可能是正數(shù)，也有可能是負(fù)數(shù)。再回到第N張牌，由于開始數(shù)26張牌的時候是牌正面朝上數(shù)，數(shù)完后又正面朝下扣著放置，所以魔術(shù)師記住的那張牌也就是這摞扣著的牌從上往下數(shù)第N張牌。再將手中剩余的牌扣到這摞牌上面，則記憶的那張牌的張數(shù)即為：R-16+N。我們已知這個數(shù)恒等于“頭牌之和”R，所以可列出等式：R-16+N=R。等式兩邊抵消后，得出：N-16=0。所以，N=16。

如此，我們就通過數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，同樣得出了記住第16張牌的結(jié)論。人們驚訝于魔術(shù)師的出奇表演，其實魔術(shù)背后的數(shù)學(xué)原理卻是這樣簡單。

三、“頭牌之和”魔術(shù)的衍生版本和邏輯思考

上述案例是“頭牌之和”魔術(shù)的原初版本，也就是魔術(shù)師通常表演的版本，其前提條件是要將一副牌中的大小王剔除。如果我們進(jìn)行延伸思考：不把大小王剔除，而是用一整副54張撲克牌，會怎樣呢？

我們繼續(xù)沿用上例的邏輯來進(jìn)行一次推導(dǎo)。魔術(shù)師還是首先數(shù)出26張牌，設(shè)需要記住第N張牌。其它設(shè)定條件均不變，演示過程也不變，唯一會出現(xiàn)變化的是在數(shù)完這26張之后，手中所剩之牌的數(shù)量不再是26，而是28。所以將后面公式中出現(xiàn)26的地方替換成28，如放完3小堆牌之后，手中還剩的牌張數(shù)為：28-（42-R）。此后推導(dǎo)方法也同上，此處不再贅述。最終，可以得出結(jié)論：N=14。也就是說，如果是用一整副牌54張，那么在數(shù)26張牌的時候，記住第14張牌即可。

為什么這個魔術(shù)的原初版本要去掉大小王呢？是因為有一定風(fēng)險存在。大小王在整個魔術(shù)表演過程中，有可能存在于四個位置：第一，在那數(shù)出的26張牌中；第二，在頭牌中；第三，在3小堆中的非頭牌位置；第四，在3小堆數(shù)完后手中還剩余的牌中。在第一、第三、第四種情形下，對魔術(shù)表演沒有任何影響，即便是在第一種情形下剛好大小王就是要記住的那第N張牌。風(fēng)險就出在第二種情形中。如果大小王作為頭牌，那么如何確定頭牌的點(diǎn)數(shù)呢？

其實這個問題也很好解決：可以把大小王設(shè)想成1至13之間任意一個自然數(shù)，接著往后連續(xù)數(shù)到13為止。原因在于，從魔術(shù)的原初版本中我們得知，無論頭牌牌面數(shù)字是幾，均不影響結(jié)論的成立。頭牌牌面數(shù)字只是一個符號“X”而已，它的功能就是從這個數(shù)開始往后數(shù)到13為止。如前文所述，若頭牌牌面數(shù)字為X，則這一小堆牌的張數(shù)為13-X+1，兩者相加為：X+（13-X+1），簡化后為14。所以3小堆牌中每一小堆的牌張數(shù)與頭牌牌面數(shù)字之和恒等于14，這是一個常數(shù)，與X等于幾沒有關(guān)系。所以將作為頭牌的大小王設(shè)想成1至13之間任意一個自然數(shù)，并不會違背這個常量。那么3小堆牌的“頭牌之和”之?dāng)?shù)與總張數(shù)之和就等于42。42這個數(shù)字在上例的推導(dǎo)過程中也出現(xiàn)過，沒錯，此42正是彼42，我們只不過換了一種方式將42證明了出來。從這里開始按照上例的推導(dǎo)方法繼續(xù)論證下去，依然可以得出我們想要的結(jié)論。

四、結(jié)論

由上文的推導(dǎo)論證，可見無論頭牌牌面數(shù)字為幾，無論“頭牌之和”是多少，在整個數(shù)學(xué)推理過程中，始終存在一個常數(shù)。正是這個常數(shù)的存在，才使這個魔術(shù)的表演有一種固定的可能性，這就是撲克魔術(shù)“頭牌之和”的數(shù)學(xué)原理。其實很多撲克魔術(shù)背后的原理也是如此。魔術(shù)師往往需要通過記住某張牌來制造玄機(jī)，而這固定張數(shù)的一張牌卻往往是由一個常數(shù)來支撐的，使看似隨機(jī)的魔術(shù)表演，總是有固定因素的存在，這就是“看似偶然的必然”。■