惠俊軍，張合新，陳 伊，李 明

(1.陜西省寶雞市150信箱11分箱，陜西 寶雞 721013；2.火箭軍工程大學(xué)，西安 710025)

基于時(shí)滯分割方法的VTOL直升機(jī)魯棒非脆弱H∞控制

惠俊軍1，張合新2，陳 伊1，李 明1

(1.陜西省寶雞市150信箱11分箱，陜西 寶雞 721013；2.火箭軍工程大學(xué)，西安 710025)

針對(duì)含有飛行時(shí)滯的垂直起降(VTOL)直升機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了時(shí)滯相關(guān)魯棒非脆弱H∞控制器?；跁r(shí)滯中點(diǎn)值把時(shí)滯區(qū)間均分為兩部分,針對(duì)每一分割區(qū)間構(gòu)造新的Lyapunov-Krasovskii (L-K)泛函，并結(jié)合L-K穩(wěn)定性定理、積分不等式方法和自由權(quán)矩陣技術(shù)，建立了新的基于線性矩陣不等式(LMI)形式的時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)(BRL)條件。在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了該系統(tǒng)的非脆弱H∞控制器，通過(guò)求解線性矩陣不等式的可行解得到控制器的參數(shù)化表達(dá)式。最后應(yīng)用于VTOL直升機(jī)的飛行控制仿真表明，所設(shè)計(jì)的控制器具有更好的魯棒性和非脆弱性。

非脆弱；H∞控制；Lyapunov-Krasovskii泛函；時(shí)滯分解；線性矩陣不等式

0 引言

時(shí)滯現(xiàn)象常存在于導(dǎo)彈的制導(dǎo)、飛行器的控制與航空航天系統(tǒng)當(dāng)中，它的存在一方面使得系統(tǒng)的分析與控制器的設(shè)計(jì)變得復(fù)雜，另一方面可以導(dǎo)致系統(tǒng)性能惡化甚至不穩(wěn)定。近年來(lái),時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制問(wèn)題成為控制理論研究的熱點(diǎn)問(wèn)題[1-2]。

VTOL直升機(jī)的垂直起降控制是一種典型的含有時(shí)滯的動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)。在實(shí)際的飛行控制當(dāng)中，常規(guī)的魯棒控制器設(shè)計(jì)方法(如H∞、H2和μ綜合)，僅考慮系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，而沒(méi)有考慮控制器本身參數(shù)的不確定性。然而，在實(shí)際控制器的實(shí)現(xiàn)中，由于硬件(如A/D、D/A轉(zhuǎn)換)、軟件(如計(jì)算截?cái)嗾`差)等原因，使得控制器存在一定的不確定性[3]。Keel等[4]指出，當(dāng)控制器參數(shù)存在攝動(dòng)時(shí)，常規(guī)的魯棒控制器表現(xiàn)出高度的脆弱性，從而造成閉環(huán)系統(tǒng)的性能下降甚至控制器失效。所以對(duì)非脆弱控制器的研究引起人們的關(guān)注[5-12]。文獻(xiàn)[5-8]和文獻(xiàn)[9-12]分別針對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的非脆弱H∞控制問(wèn)題和非脆弱保性能控制問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。在這些研究中，主要圍繞如何降低所得結(jié)論的保守性和滿足一定的性能指標(biāo)而展開(kāi)。就研究方法而言,主要有自由權(quán)矩陣方法、積分不等式方法和時(shí)滯分割方法等。在上述方法中，自由權(quán)矩陣方法和時(shí)滯分割方法有利于降低結(jié)論的保守性；然而,這兩種方法都會(huì)隨著引入過(guò)多矩陣變量和分割數(shù)的增大而增加計(jì)算負(fù)擔(dān)，且不利于控制器的設(shè)計(jì)。積分不等式方法形式簡(jiǎn)單，含矩陣變量較少，利于理論分析和計(jì)算；然而如何構(gòu)造縮放程度較小的不等式是一個(gè)難題。在兼顧結(jié)論的保守性、計(jì)算的復(fù)雜性和控制器的實(shí)現(xiàn)上，Lyapunov-Krasovskii (L-K)泛函和界定條件的合理選取成為目前研究的一個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題。

本文主要采用時(shí)滯分割和積分不等式相結(jié)合的處理方法，研究了VTOL直升機(jī)的非脆弱H∞控制問(wèn)題。首先通過(guò)時(shí)滯分割構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖-K泛函并結(jié)合積分不等式方法，建立時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)(BRL)條件，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了非脆弱控制器。最后把該控制器應(yīng)用于VTOL的飛行控制當(dāng)中，仿真結(jié)論表明了設(shè)計(jì)方法的有效性，相比一般魯棒控制器具有更好的鎮(zhèn)定效果和明顯的非脆弱性。

1 問(wèn)題描述

某型VTOL直升機(jī)動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)的線性化數(shù)學(xué)模型可描述如下[13]:

(1)

其中,x(t)=[vh,vv,q,θ]T為系統(tǒng)狀態(tài)向量,vh、vv、q、θ分別是VTOL直升機(jī)的水平速度、垂直速度、俯仰角速率和俯仰角。u(t)為控制向量,z(t)為被調(diào)輸出,ω(t)為擾動(dòng)輸入向量。h(t)為時(shí)變連續(xù)的函數(shù)且滿足

(2)

針對(duì)系統(tǒng)(1)定義如下性能指標(biāo)

(3)

其中,γ>0為給定標(biāo)量。本文主要目標(biāo)是針對(duì)外部干擾作用下的系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋非脆弱H∞控制器

u(t)=(K+ΔK)x(t)

(4)

其中, K為控制器增益;ΔK為增益攝動(dòng)，并滿足

(5)

使得滿足以下兩個(gè)條件:

1)ω(t)=0時(shí),由(4)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定；

2)對(duì)于給定的γ>0,在零初始條件下對(duì)于‖z(t)‖2<γ2‖ω(t)‖，ω(t)∈L2[0,∞]。

把非脆弱控制器(4)代入系統(tǒng)(1),則閉環(huán)系統(tǒng)為：

(6)

其中,Ak=A+BuK+BuΔK，Ck=C+DuK+DuΔK。

為了證明方便，首先給出如下引理。

引理1[14].對(duì)于任意定常矩陣W∈n×n，W=WT>0,標(biāo)量h:=h(t)>0和向量函數(shù)n,以下相關(guān)積分項(xiàng)有定義,則有:

其中,

引理2[15].設(shè)h1≤h(t)≤h2,其中h(t):+→+,那么,對(duì)于任意的R=RT>0,下面的不等式成立

其中,

引理 3[16].假設(shè)γ1≤γ(t)≤γ2,其中γ(·):+→+,那么,對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣Ξ1、Ξ2和Ω,下面的矩陣不等式成立

Ω+(γ(t)-γ1)Ξ1+(γ2-γ(t))Ξ2<0

當(dāng)且僅當(dāng)

Ω+(γ2-γ1)Ξ1<0,Ω+(γ2-γ1)Ξ2<0

引理4[17].給定具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣Q=QT,H，E,則有Q+HF(t)E+ETF(t)THT<0,對(duì)任意滿足F(t)TF(t)≤I的F(t)成立的充要條件是存在ε>0,使得

Q+ε-1HHT+εETE<0

2 時(shí)滯相關(guān)有界實(shí)引理(BRL)

(7)

(8)

證明:首先基于時(shí)滯中點(diǎn)值hδ，把時(shí)滯區(qū)間[hm,hM]均分成兩部分,即[hm,hδ]和[hδ,hM]。

V1(t)=V11(t)+V12(t)+V13(t)

(9)

其中

取泛函沿系統(tǒng)(6)的導(dǎo)數(shù)有

xT(t-hδ)Q1x(t-hδ)-

(1-μ)xT(x-h(t))Q2x(t-h(t))-

xT(t-hM)Q3x(t-hM)-

(10)

其中，W、H為定理1所定義。由積分不等式可得:

(11)

(12)

由引理1和引理2分別有

(13)

(14)

(15)

另一方面,由系統(tǒng)(6)有以下恒等式

(16)

其中,T1、T2為適當(dāng)維數(shù)的自由權(quán)矩陣。

把式(11)～式(16)代入式(10)中,并定義增廣向量

(17)

其中

對(duì)于給定的γ,考慮性能指標(biāo)J(ω),則把z(t)Tz(t)-γ2ωT(t)ω(t)加到不等式(17)兩邊，可得

(18)

(19)

那么

(20)

V(t)|t=0<0

(21)

即‖z(t)‖<γ‖ω‖2,從而閉環(huán)系統(tǒng)在零初始條件下具有給定的H∞擾動(dòng)抑制水平γ。

其中,

(22)

(23)

那么

(24)

從而閉環(huán)系統(tǒng)在零初始條件下具有給定的H∞擾動(dòng)抑制水平γ。

由于hM-hδ=hδ-hm=δ,對(duì)式(19)或式(23)應(yīng)用引理3以及Schur補(bǔ),即可得定理1中的式(7)和式(8)。

3 H∞非脆弱控制器的設(shè)計(jì)

本節(jié)在第2節(jié)BRL的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)非脆弱H∞控制器。

(25)

(26)

則系統(tǒng)(1)在非脆弱控制器(4)的作用下不僅漸近穩(wěn)定，而且在零初始條件下具有給定的H∞擾動(dòng)抑制水平γ,且控制器增益K=YX-T。其中,

XAT+YTBT,

證明：由于定理1中式(7)和式(8)給出的條件為非線性矩陣不等式,不能直接得到控制器的解。下面給出控制器的設(shè)計(jì)方法，首先將式(7)和式(8)中的不確定項(xiàng)(即含ΔK項(xiàng))分離，即

(27)

(28)

其中

(29)

(30)

其中

進(jìn)而對(duì)式(29)和式(30)應(yīng)用Schur補(bǔ)可得

(31)

(32)

令T1=T2=X-1,其中X為非奇異矩陣，對(duì)式(31)和式(32)兩邊左乘Ψ，右乘其轉(zhuǎn)置，其中

4 設(shè)計(jì)實(shí)例

當(dāng)不加外部控制(即u(t)=0)時(shí)，該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)響應(yīng)曲線如圖1所示，顯然系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

圖1 VTOL系統(tǒng)狀態(tài)開(kāi)環(huán)響應(yīng)曲線Fig.1 Response of state with the open-loop system of VTOL

下面分析系統(tǒng)在控制器作用下的鎮(zhèn)定性能。設(shè)時(shí)滯下界hm=0，首先在無(wú)外部干擾和控制器增益攝動(dòng)的情況下設(shè)計(jì)控制器。當(dāng)hM=7時(shí)，由定理1可求得狀態(tài)反饋矩陣為

將其代入系統(tǒng)方程可得系統(tǒng)各狀態(tài)響應(yīng)曲線，如圖2所示。

圖2 VTOL系統(tǒng)狀態(tài)閉環(huán)響應(yīng)曲線Fig.2 Response of state with the closed-loop system of VTOL

可見(jiàn)在控制器的作用下,系統(tǒng)各狀態(tài)很快收斂,且具有較好的穩(wěn)定性能。

為了進(jìn)一步分析控制器的非脆弱性能。假設(shè)在幅值0.1的正弦干擾和控制器增益攝動(dòng)的情況下，針對(duì)hM=7的定常時(shí)滯進(jìn)行仿真,其中攝動(dòng)參數(shù)取為：

擾動(dòng)矩陣Fa∈R2×2,則由定理2可求得最小的干擾抑制水平γ=0.9716,相應(yīng)的控制增益矩陣為

在非脆弱控制器K1的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 魯棒非脆弱控制器下系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.3 Response of state with robust non-fragile controller

當(dāng)控制器不存在增益攝動(dòng)時(shí)(即設(shè)攝動(dòng)參數(shù)Da和Ea為零)，同樣取γ=0.9716,由定理2可得一般魯棒控制器增益矩陣

相應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 一般魯棒控制器下系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.4 Response of state with robust controller

以狀態(tài)x1(t)為研究對(duì)象，圖5給出了在相同條件下，非脆弱控制器和一般魯棒控制器下的鎮(zhèn)定效果比較。

圖5 不同控制器作用下的狀態(tài)x1響應(yīng)曲線Fig.5 Response of state x1with different controller

由圖3～圖5可以看出，當(dāng)存在控制器增益攝動(dòng)時(shí)，非脆弱控制器K1與一般控制器K2相比,系統(tǒng)狀態(tài)在控制器K1的作用下，能夠滿足一定的性能指標(biāo)，且容許控制器增益的攝動(dòng)；而在K2的作用下表現(xiàn)出明顯的脆弱性,系統(tǒng)狀態(tài)振蕩較大，收斂較慢。

5 結(jié)論

本文針對(duì)含有飛行時(shí)滯的VTOL直升機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了魯棒非脆弱H∞控制器。通過(guò)設(shè)計(jì)L-K泛函并結(jié)合LMI的方法得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的BRL條件和非脆弱控制器。該控制器無(wú)需任何的參數(shù)調(diào)整和迭代處理即可求解。將控制器應(yīng)用于VTOL直升機(jī)的飛行過(guò)程,仿真過(guò)程表明了所設(shè)計(jì)的控制器相比一般魯棒控制器具有更好的鎮(zhèn)定性能和非脆弱性。

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A Delay Decomposition Approach to Robust Non-fragileH∞Control for VTOL Helicopter

HUI Jun-jun1,ZHANG He-xin2,CHEN Yi1, LI Ming1

(1. MailBox 150 Extension 11, Baoji Shanxi 721013, China;2. The Rocket Force Engineering university ,Xi’an 710025,China)

The delay-dependent robust non-fragileH∞controller for a vertical taking-off and landing (VTOL) helicopter system with flight time-delays is investigated. Based on the delay decomposition method, the whole delay interval is divided into two equidistant subintervals at its central point and new Lyapunov-Krasovskii (L-K) functionals are introduced on these intervals. Then, by using L-K stability theorem , integral inequality method together with free weighting matrix approach, a new delay-dependent BRL is formulated in terms of linear matrix inequality. Based on this, non-fragileH∞controller is designed for this system. At last, simulation results show that the designed controller has good robust and non-fragile performance.

Non-fragile;H∞control；Lyapunov-Krasovskii(L-K)functional; Delay decomposition approach; Linear matrix inequality

10.19306/j.cnki.2095-8110.2016.06.007

2016-02-14；

2016-03-07。

惠俊軍(1977 - )，男，博士，工程師，主要從事飛行器控制方面的研究。E-mail: ep22stone@163.com

TP13

A

2095-8110(2016)06-0033-07