黃曉勇

在三角函數(shù)學(xué)習(xí)過程中，我們通過單擺、彈簧振子、圓上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實(shí)例，感受到周期現(xiàn)象的廣泛存在，認(rèn)識(shí)到周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會(huì)到三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型.那么我們有理由相信：“三角函數(shù)的疊加”自然就與“周期運(yùn)動(dòng)的疊加”存在某種必然聯(lián)系.在這里，我們非常有必要介紹法國數(shù)學(xué)家傅立葉（J.B.J.Fourier）在1807年率先提出的無窮級(jí)數(shù)理論：“任何周期函數(shù)都能用若干個(gè)正、余弦函數(shù)的和（一般為無窮和）來表示”.也可簡單敘述為：由1，coskx，cos2kx，cos3kx，…；sinkx，sin2kx，sin3kx，…中若干個(gè)函數(shù)的和所得到的函數(shù)仍是周期函數(shù).多么令人驚訝！cosbx即可看成兩個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的疊加，作周期運(yùn)動(dòng).

有了上述認(rèn)知后，讓我們將目光聚焦兩角和與差的三角函數(shù)，從三角函數(shù)的本質(zhì)（點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）的角度再次審視這些公式，cosαsinβ，是由兩個(gè)函數(shù)y=sinαCOSβ與函數(shù)y—cosαsinβ疊加而成，實(shí)質(zhì)上是多個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的疊加.

同樣，兩角和與差的余弦函數(shù)，你又會(huì)怎么看？毋庸多說，你應(yīng)了然，它們都可以看做是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的疊加.

原來如此！這是不是也驗(yàn)證了數(shù)學(xué)所追尋的簡單簡約，其實(shí)就是一種更高層次的返璞歸真，是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)的一種回歸？

在上述研究過程中，我們不妨把周期相同的正弦與余弦函數(shù)的和f（x）=Asinx+Bcosx（其中實(shí)數(shù)A，B不全為0）稱為正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加.顯然，asin（x+θ）=asinxcosθ+acosxsinθ=Asinx+Bcox，所以形如asin（x+θ）的函數(shù)是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加.形如acos（x+θ）的函數(shù)自然也是如此.

反過來想，是不是所有的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加都可以化為asm（x+θ）或acos（x+θ）的形式呢？

實(shí)際上，函數(shù)f（x） =Asinx+Bcosx可改寫為

由此可見，任意的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加函數(shù)f（x）都可以化為asin（x+θ）或acos（x+θ）的形式，而且周期不變.像這樣將兩個(gè)同周期的正、余弦函數(shù)的和（差）合并為一個(gè)三角函數(shù)的變形過程叫“合一變形”，它是解三角函數(shù)問題的一個(gè)重要的方法.

其實(shí)運(yùn)動(dòng)的疊加原理在其他學(xué)科中有更廣泛的應(yīng)用，如物理學(xué)中的單擺運(yùn)動(dòng)、彈簧振子、交流電、波的傳播等，

曾經(jīng)有人將“三角函數(shù)”、“平面向量”、“三角恒等變換”比作一棵大樹的三大分枝，作為一個(gè)簡單又基本的周期運(yùn)動(dòng)的例子，“圓周上一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)”則是這棵大樹的“根”.相信在我們走近這棵大樹，感悟它枝繁葉茂，博大精深的同時(shí)，也一定懂得了許多數(shù)學(xué)生長的規(guī)律，懂得了許多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的基本原理，這將會(huì)使得三角函數(shù)的學(xué)習(xí)更簡單、更自然.