黃曉勇
在三角函數(shù)學(xué)習(xí)過程中,我們通過單擺、彈簧振子、圓上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實(shí)例,感受到周期現(xiàn)象的廣泛存在,認(rèn)識(shí)到周期現(xiàn)象的變化規(guī)律,體會(huì)到三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型.那么我們有理由相信:“三角函數(shù)的疊加”自然就與“周期運(yùn)動(dòng)的疊加”存在某種必然聯(lián)系.在這里,我們非常有必要介紹法國數(shù)學(xué)家傅立葉(J.B.J.Fourier)在1807年率先提出的無窮級(jí)數(shù)理論:“任何周期函數(shù)都能用若干個(gè)正、余弦函數(shù)的和(一般為無窮和)來表示”.也可簡單敘述為:由1,coskx,cos2kx,cos3kx,…;sinkx,sin2kx,sin3kx,…中若干個(gè)函數(shù)的和所得到的函數(shù)仍是周期函數(shù).多么令人驚訝!cosbx即可看成兩個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的疊加,作周期運(yùn)動(dòng).
有了上述認(rèn)知后,讓我們將目光聚焦兩角和與差的三角函數(shù),從三角函數(shù)的本質(zhì)(點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng))的角度再次審視這些公式,cosαsinβ,是由兩個(gè)函數(shù)y=sinαCOSβ與函數(shù)y—cosαsinβ疊加而成,實(shí)質(zhì)上是多個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的疊加.
同樣,兩角和與差的余弦函數(shù),你又會(huì)怎么看?毋庸多說,你應(yīng)了然,它們都可以看做是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的疊加.
原來如此!這是不是也驗(yàn)證了數(shù)學(xué)所追尋的簡單簡約,其實(shí)就是一種更高層次的返璞歸真,是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)的一種回歸?
在上述研究過程中,我們不妨把周期相同的正弦與余弦函數(shù)的和f(x)=Asinx+Bcosx(其中實(shí)數(shù)A,B不全為0)稱為正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加.顯然,asin(x+θ)=asinxcosθ+acosxsinθ=Asinx+Bcox,所以形如asin(x+θ)的函數(shù)是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加.形如acos(x+θ)的函數(shù)自然也是如此.
反過來想,是不是所有的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加都可以化為asm(x+θ)或acos(x+θ)的形式呢?
實(shí)際上,函數(shù)f(x) =Asinx+Bcosx可改寫為
由此可見,任意的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加函數(shù)f(x)都可以化為asin(x+θ)或acos(x+θ)的形式,而且周期不變.像這樣將兩個(gè)同周期的正、余弦函數(shù)的和(差)合并為一個(gè)三角函數(shù)的變形過程叫“合一變形”,它是解三角函數(shù)問題的一個(gè)重要的方法.
其實(shí)運(yùn)動(dòng)的疊加原理在其他學(xué)科中有更廣泛的應(yīng)用,如物理學(xué)中的單擺運(yùn)動(dòng)、彈簧振子、交流電、波的傳播等,
曾經(jīng)有人將“三角函數(shù)”、“平面向量”、“三角恒等變換”比作一棵大樹的三大分枝,作為一個(gè)簡單又基本的周期運(yùn)動(dòng)的例子,“圓周上一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)”則是這棵大樹的“根”.相信在我們走近這棵大樹,感悟它枝繁葉茂,博大精深的同時(shí),也一定懂得了許多數(shù)學(xué)生長的規(guī)律,懂得了許多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的基本原理,這將會(huì)使得三角函數(shù)的學(xué)習(xí)更簡單、更自然.