實(shí)際問題中的“角”

孟坤

運(yùn)用直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的應(yīng)用題是近幾年來中考的熱點(diǎn)題型，在這些題目中，有許多都與“角”有著密不可分的關(guān)系. 舉例說明如下.1仰角和俯角

在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角（如圖1）.仰角和俯角是指視線相對(duì)于水平線而言的，可記為“上仰下俯”.

例1（2015年青島）如圖2，小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，并測(cè)得B，C兩點(diǎn)的俯角分別為45°和35°，已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為100m.試問熱氣球離地面的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin 35°≈712，cos 35°≈56，tan 35°≈710）

解析作AD⊥CB的延長線于點(diǎn)D.

由題知：∠ACD=35°，∠ABD=45°.

在Rt△ACD中，因?yàn)椤螦CD=35°，

所以tan 35°=ADCD≈710，所以CD=107AD.

在Rt△ABD中，因?yàn)椤螦BD=45°，tan 45°=ADBD=1，

所以BD=AD，因?yàn)锽C=CD-DB=100，

所以107AD-AD=100，解得AD≈233m.

答：熱氣球到地面的距離約為233米.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用——俯角（仰角）問題，解題的關(guān)鍵是能夠借助俯角（仰角）構(gòu)造直角三角形，同時(shí)結(jié)合三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)解直角三角形.2方向角圖3

在平面上，過觀測(cè)點(diǎn)O作一條水平線（向右為東）和一條鉛垂線（向上為北），則從點(diǎn)O出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測(cè)的方向角.例如，圖3中“北偏東30°”是一個(gè)方向角，又如“西北”即指“北偏西45°”.

例2（2015年遼寧營口）如圖4，我南海某海域A處有一艘捕魚船在作業(yè)時(shí)突遇特大風(fēng)浪，船長馬上向我國漁政搜救中心發(fā)出求救信號(hào)，此時(shí)一艘漁政船正巡航到捕魚船正西方向的B處，該漁政船收到漁政求救中心指令后前去救援，但兩船之間有大片暗礁，無法直線到達(dá)，于是決定馬上調(diào)整方向，先向北偏東60°方向以每小時(shí)30海里的速度航行半小時(shí)到達(dá)C處，同時(shí)捕魚船低速航行到A點(diǎn)的正北15海里D處，漁政船航行到點(diǎn)C處時(shí)測(cè)得點(diǎn)D在南偏東53°方向上.

（1）求CD兩點(diǎn)的距離；

（2）漁政船決定再次調(diào)整航向前去救援，若兩船航速不變，并且在點(diǎn)E處相會(huì)合，求∠ECD的正弦值.

（參考數(shù)據(jù)：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43）圖4

解析（1）過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DF⊥CG于點(diǎn)F，

由題意知BC=30×12=15.

在Rt△CBG中，因?yàn)椤螩BG=30°，所以CG=12BC=75.

因?yàn)椤螪AG=90°，所以四邊形ADFG是矩形，

所以GF=AD=1.5，所以CF=CG-GF=75-15=6.

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，因?yàn)椤螪CF=53°，cos∠DCF=CFCD，

所以CD=CFcos 53°=635=10（海里）.

答：CD兩點(diǎn)距離為10海里.

（2）設(shè)漁政船調(diào)整方向后t小時(shí)能與捕漁船相會(huì)合.

由題意知CE=30t，DE=15×2×t=3t，∠EDC=53°.

過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，則∠EHD=∠CHE=90°，

因?yàn)閟in∠EDH=EHED，所以EH=EDsin 53°=3t×45=125t，

所以在Rt△EHC中，sin∠ECD=EHCE=125t30t=225.

點(diǎn)評(píng)此題考查了解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題，有關(guān)“角”的實(shí)際問題，通過建立數(shù)學(xué)模型，在圖形中準(zhǔn)確地識(shí)別是解題的關(guān)鍵，同時(shí)還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3坡角

如圖5，坡面與水平面的夾角（用α表示）叫做坡角；我們通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（或坡比），常用字母i表示，即i=hl=tan α，坡度一般寫成1∶ m的形式（比的前項(xiàng)為1，后項(xiàng)可以是小數(shù)），坡度不是一個(gè)角的度數(shù)，而是一個(gè)比值.圖5圖6

例3（2015年重慶）某水庫大壩的橫截面是如圖6所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD.已知壩高24m，壩長100m，背水坡AD的坡度i=1∶025.為提高大壩防洪能力，某施工隊(duì)在大壩的背水坡填筑土石方加固，加固后壩加寬3m，背水坡FH的坡度變?yōu)閕=1∶15，施工12天后，為盡快完成加固任務(wù)，施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備，工作效率提高到原來的15倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù)，施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米？（參考數(shù)據(jù)：tan 31°≈060，sin 31°≈052）

解析過點(diǎn)F作FM∥AD交AH于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AH交直線AH于點(diǎn)N，

則四邊形DFMA為平行四邊形，∠FMA=∠DAB，DF=AM=3m，F(xiàn)N=24m.

由題意：tan∠FMA=tan∠DAB= i =1∶025=4，

tan∠H= i =1∶15=23.

在Rt△FNH中，NH=FNtan∠H=2423=36（m），

在Rt△FNM中，MN=FNtan∠FMA=244=6（m）.

所以HM=HN-MN=36-6=30m，

所以AH=AM+HM=3+30=33m.

S梯形DAHF=12×FN×（DF+AH）=12×24×（3+33）=432（m2）.

故需要填筑的土石方共V=SL=432×100=43200（m2）.

設(shè)原計(jì)劃平均每天填筑xm3，則原計(jì)劃43200x天完成；

增加機(jī)械設(shè)備后，現(xiàn)在平均每天填筑32xm3.

根據(jù)題意列方程，得12x+（43200x-12-20）×1.5x=43200. 解得：x=600.

經(jīng)檢驗(yàn)：x=600是原分式方程的解，且滿足實(shí)際意義.

答：該施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑600 m3的土石方.

點(diǎn)評(píng)本題是三角函數(shù)與分式方程的綜合應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而運(yùn)用坡度及三角函數(shù)等知識(shí)求出填筑大壩需要的土石方，最后再尋找等量關(guān)系列出方程.