何燈，李云杰，郭曉輝

（1．全國不等式研究會，浙江海寧314400；2.福清第三中學(xué)，福建福清350315；3.福清元樵中學(xué)，福建福清350313）

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關(guān)于兩個三角函數(shù)平均的不等式

何燈1，李云杰2，郭曉輝3

（1．全國不等式研究會，浙江海寧314400；2.福清第三中學(xué)，福建福清350315；3.福清元樵中學(xué)，福建福清350313）

摘要：研究兩個三角函數(shù)平均與算術(shù)平均之間的比較，建立了若干不等式，針對類似的兩個雙曲函數(shù)平均提出了一個待解決的問題。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；平均；不等式；Hadamard不等式

當(dāng)a=b時，有

并給出基本結(jié)果

利用凸函數(shù)理論，文獻［2］證明了Msin（a，b）在［0，π/2］2上為Schur凹函數(shù)，Mtan（a，b）在［0，π/2）2上為Schur凸函數(shù)，并由此建立了如下不等式鏈

本文進一步研究上述兩個三角平均與算術(shù)平均之間的比較，并由此建立了一系列的不等式。本文主要結(jié)論的證明需要以下引理。

1　引理

引理1［3］（Hadamard不等式）設(shè)x）是區(qū)間［a，b］上的凸函數(shù)，則對于，有

引理2［4］設(shè)x∈［0，π/2］，則有

2主要結(jié)果及證明

定理1設(shè)a，b∈［0，π/2），α≥π/4，β≤1/2，則

證明由式（3），只需證明α=π/4及β=1/2的情形。

注意到F（a，b）=F（b，a），不妨設(shè)a＞b。計算得

其中

通過三角恒等變形可得

綜上，欲證F（a，b）≥0，只需證明F4（a，b）≥0，其中

據(jù)引理2，有F4（a，b）≥0，則F（a，b）≥0，從而式（4）左端成立。

，記算得

其中

計算得

從而

又

由定理1可得以下推論：

推論1設(shè)a，b∈［0，π/2），則

推論2設(shè)a，b∈［0，π/2），則

3一個待解決的問題

類似于式（1）、（2），文獻［5］定義了如下兩個關(guān)于雙曲函數(shù)的平均，當(dāng)a≠b時，有

當(dāng)a=b時，有

證得Msh（a，b）在［0，+∞）2上為Schur凸函數(shù)，Mth（a，b）在［0，+∞）2上為Schur凹函數(shù)，并建立了如下不等式鏈

類似于式（4），筆者發(fā)現(xiàn)如下雙邊不等式成立

參考文獻：

［1］TOADER GH, S魣NDOR J. Inequalities for general integral means［J］. Journal ofInequalities in Pure and Applied Mathematics, 2006, 7（1）: 1- 5.

［2］姜衛(wèi)東.兩個三角平均的Schur凸性［J］.高等數(shù)學(xué)研究, 2008, 11（2）: 46- 47.

［3］匡繼昌.常用不等式［M］. 4版.濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2010: 430.

［4］鄧繼恩,成軍祥. Jordan不等式的一個推廣［J］.中國科技信息, 2008（13）: 36- 37.

［5］李明,何燈.關(guān)于雙曲函數(shù)的兩個平均及其Schur凸性［J］.湖州師范學(xué)院學(xué)報, 2011, 33（1）: 11- 14.

【責(zé)任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

Inequality of two trigonometric means

HE Deng1, LI Yun- jie2, GUOXiao- hui3
（1．Chinese Societyof Inequalities and Applications，Haining314400，China; 2. Fuqing Number 3 Middle School，F(xiàn)uqing350315，China; 3. Fuqing Yuanqiao Middle School，F(xiàn)uqing350313，China）

Abstract:Through the analogy of the two trigonometric means and arithmetic mean, we obtain some inequality. At the end ofthis paper, we present a problemtobe solved about the similar twohyperbolic functions mean.

Keywords:trigonometric function; mean; inequality; Hadamard’s inequality

文章編號：1008- 0171（2016）01- 0040- 05

作者簡介：何燈（1984-），男，福建福清人，全國不等式研究會成員。

收稿日期：2014-09-28

中圖分類號：O174

文獻標志碼：A