基于卡爾曼濾波的GA-BP模型在大壩變形預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

郭志揚(yáng)，王 建，黃 慶(1.河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210098；2. 河海大學(xué)水利水電學(xué)院，南京 210098)

0 引 言

大壩變形預(yù)測(cè)對(duì)于建立完整的大壩安全監(jiān)測(cè)體系，保證大壩運(yùn)行安全意義重大。長(zhǎng)期以來，諸如統(tǒng)計(jì)模型、確定性模型和混合模型等經(jīng)典數(shù)學(xué)模型廣泛應(yīng)用于壩體變形監(jiān)測(cè)[1]。以統(tǒng)計(jì)模型為代表的傳統(tǒng)方法雖然在部分程度上能正確反映大壩變形與其影響因子之間的相關(guān)關(guān)系，但考慮到影響大壩變形的因素較為復(fù)雜，而傳統(tǒng)方法難以充分體現(xiàn)影響因子與效應(yīng)量之間的非線性映射，因而預(yù)測(cè)精度往往不高。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自適應(yīng)、自學(xué)習(xí)、強(qiáng)大的并行運(yùn)算和良好的非線性逼近能力，應(yīng)用于大壩變形預(yù)測(cè)前景廣闊[2]。但由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自身的局限性，算法效率較低且易收斂于局部極小，推廣能力也相對(duì)較差，影響了預(yù)測(cè)結(jié)果的精度。為此，蘇懷智等[3]提出先利用遺傳算法進(jìn)行全局尋優(yōu)，進(jìn)而搜索出一定的權(quán)值，再以此權(quán)值作為BP算法的初始權(quán)值，代入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行計(jì)算；儲(chǔ)誠(chéng)山等[4]利用具體的實(shí)例驗(yàn)證了遺傳算法改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的合理性；姜成科[5]系統(tǒng)地闡述了遺傳算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)(閾)值理論，并用大壩位移預(yù)測(cè)的實(shí)例加以論證。

但在實(shí)際位移監(jiān)測(cè)中，一定時(shí)期內(nèi)，由于外界不確定因素或人為影響，可能出現(xiàn)個(gè)別異常數(shù)據(jù)，將此類數(shù)據(jù)代入模型計(jì)算得到的預(yù)測(cè)值精度會(huì)有所下降。為此，本文引入卡爾曼濾波方法，首先，對(duì)大壩位移觀測(cè)值進(jìn)行濾波處理，減少由于原始數(shù)據(jù)中異常值造成的誤差，并結(jié)合遺傳算法思想對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)(閾)值進(jìn)行尋優(yōu)，進(jìn)而將濾波后的數(shù)據(jù)代入改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)參與訓(xùn)練，得到了基于卡爾曼濾波的GA-BP模型。

1 基本原理

1.1 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波是基于概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想，由當(dāng)前實(shí)際監(jiān)測(cè)值和上一時(shí)刻的最優(yōu)估計(jì)值出發(fā)，依據(jù)一步步遞推公式，計(jì)算得到新一時(shí)刻的估計(jì)值。該算法的一大特點(diǎn)是無需貯存已使用的觀測(cè)數(shù)據(jù)或估計(jì)信息。

狀態(tài)方程如下[6]：

Xk=Φk,k-1Xk-1+Γk,k-1Ωk-1

(1)

式中：Xk，Xk-1分別為k時(shí)刻和k-1時(shí)刻的狀態(tài)向量；Φk,k-1為k-1時(shí)刻到k時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Ωk-1為k-1時(shí)刻的噪聲向量；Γk,k-1為噪聲矩陣。

測(cè)量方程為：

Lk=BkXk+Δk

(2)

式中：Lk是k時(shí)刻的觀測(cè)向量；Bk為觀測(cè)向量矩陣；Δk為觀測(cè)噪聲。

離散系統(tǒng)的隨機(jī)模型如下[7,8]：

E(Ωk)=0;Cov(Ωk,Ωj)=DΩkδkj

E(Δk)=0;Cov(Δk,Δj)=DΔkδkj

(3)

Cov(Ωk,Δj)=0

式中：DΩk為動(dòng)態(tài)噪聲方差；DΔk為觀測(cè)噪聲方差；δkj為Kronecker函數(shù)。

E(X0)=μ0;Var(X0)=P0

(4)

Cov(X0,Ωk)=0;Cov(X0,Δk)=0

(5)

式中：E(X0)、Var(X0)、Cov(X0,Ωk)等統(tǒng)計(jì)特征量分表表示數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)系數(shù)。

卡爾曼濾波依據(jù)的遞推方程如下：

濾波估計(jì)矩陣：

(6)

濾波增益矩陣：

Jk=DXk,k-1BTk(BkDXk,k-1BTk+DΔk)-1

(7)

預(yù)測(cè)協(xié)方差陣：

DXk,k-1=Φk,k-1DXk,k-1ΦTk,k-1+Γk,k-1DΩk-1ΓTk,k-1

(8)

濾波協(xié)方差陣：

DXk,k=(I-JkBk)DXk,k-1

(9)

1.2 遺傳算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理

當(dāng)前BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在多個(gè)領(lǐng)域都得到推廣與應(yīng)用，其基本思想是通過將輸入信號(hào)正向傳遞與誤差逆向傳播相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)輸入到輸出的非線性映射。以三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為例，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of the BP neural network

首先給定一組輸入樣本P以及目標(biāo)樣本T。輸入樣本依次經(jīng)過三層網(wǎng)絡(luò)(輸入層、隱含層、輸出層)處理，即正向傳播過程，得到輸出的預(yù)測(cè)結(jié)果。將該結(jié)果與目標(biāo)樣本比較，以最小化誤差為依據(jù)，沿原網(wǎng)絡(luò)路徑返回，逐次修正各節(jié)點(diǎn)的連接權(quán)(閾)值，實(shí)現(xiàn)誤差反向傳播。當(dāng)預(yù)測(cè)輸出逼近目標(biāo)樣本滿足要求時(shí)，上述迭代過程終止。由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法權(quán)(閾)值初始隨機(jī)給定，尋優(yōu)結(jié)果易落入局部極小，因而引入遺傳算法加以改進(jìn)。

遺傳算法具有良好的并行運(yùn)算與全局尋優(yōu)能力，可利用其確定網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)(閾)值，優(yōu)化思路如下：

針對(duì)本文的三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，遺傳編碼完成后的個(gè)體可表示為X={W11,W12,…,Wij,a1,…,ai,V11,V12,…,Vmn,b1,…bj} (其中Wij、Vmn代表輸入層到隱含層、隱含層到輸出層權(quán)值，ai、bj代表隱含層與輸出層閾值)。若干這樣的個(gè)體即構(gòu)成種群，種群規(guī)模需根據(jù)實(shí)際情況而定。將每個(gè)個(gè)體所包含的權(quán)值、閾值代入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行計(jì)算，比較所得到的實(shí)際輸出值與期望值之間的誤差，以誤差平方和最小作為判定權(quán)閾值最優(yōu)的依據(jù)。選擇、交叉和變異等手段是基于概率思想的隨機(jī)操作，搜索覆蓋面大，靈活性強(qiáng)。重復(fù)此類遺傳操作，當(dāng)滿足終止條件時(shí)運(yùn)算結(jié)束，將得到的最優(yōu)初始權(quán)(閾)值賦予網(wǎng)絡(luò),即實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化過程。

1.3 基于卡爾曼濾波的GA-BP模型

針對(duì)大壩變形觀測(cè)數(shù)據(jù)量較大，且一定時(shí)期內(nèi)觀測(cè)值存在異常波動(dòng)的情況，可首先用卡爾曼濾波方法平滑觀測(cè)值，剔除掉原始數(shù)據(jù)中的隨機(jī)波動(dòng)誤差，從而獲得與真實(shí)情況較為接近的位移值[9]。此時(shí)將處理后的位移數(shù)據(jù)代入改進(jìn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參與訓(xùn)練，改進(jìn)思路如1.2節(jié)所述，即以遺傳算法實(shí)現(xiàn)初始權(quán)(閾)值的全局最優(yōu)，從而建立起預(yù)測(cè)精度較高，基于卡爾曼濾波的GA-BP模型。

預(yù)測(cè)模型的具體步驟如下：

步驟1：根據(jù)監(jiān)測(cè)位移情況，確定卡爾曼濾波的初值、參數(shù)等，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，得到處理后的平穩(wěn)位移序列；

步驟2：確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即層數(shù)與各層節(jié)點(diǎn)數(shù)，以及訓(xùn)練參數(shù)等，將環(huán)境量作為輸入，濾波后的位移序列作為輸出目標(biāo)，歸一化處理后代入網(wǎng)絡(luò)；

步驟3：對(duì)網(wǎng)絡(luò)權(quán)(閾)值進(jìn)行遺傳編碼，產(chǎn)生包含網(wǎng)絡(luò)各層全部權(quán)(閾)值在內(nèi)的遺傳個(gè)體，定義適應(yīng)度函數(shù)，并利用遺傳算子(選擇、交叉、變異)尋找最優(yōu)個(gè)體；

步驟4：將上一步得到的適應(yīng)度最優(yōu)個(gè)體作為網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)(閾)值，實(shí)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化，得到基于卡爾曼濾波的GA-BP模型；

步驟5：選取訓(xùn)練數(shù)據(jù)之后一段時(shí)期的監(jiān)測(cè)位移，利用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)比預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)際位移。

2 工程實(shí)例

陳村水庫(kù)坐落于安徽省黃山市與宣城市境內(nèi)，青弋江上游，主體工程包含大壩、溢洪道、電廠等。壩體類型為混凝土重力拱壩，壩高76.3 m，頂部高程126.3 m，弧長(zhǎng)為419.0 m，寬8.0 m。壩內(nèi)設(shè)有灌漿、排水和檢查廊道各一條，左右岸分別設(shè)有開敞式溢洪道。水庫(kù)總庫(kù)容達(dá)26.9 億m3，正常蓄水位119.0 m，汛期限制水位為117.0 m，設(shè)計(jì)洪水位122.2 m，控制流域面積約為2 800 km2，多年平均徑流量27.7億m3,電站裝機(jī)容量15萬kW。是一座以發(fā)電為主，兼有灌溉、航運(yùn)及旅游功能的綜合性水電工程。

根據(jù)實(shí)際情況，這里采取三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。由于影響大壩變形的主要因素包括水位、溫度和時(shí)效，因此這里的輸入層因子分別取H1、H2、H3、T1～T5、t、log(t+1)(其中H為上游水位，T1～T5分別為前10 d、前11～20 d、前21～35 d、前36～50 d、前51～70 d的平均溫度，t為測(cè)值日的累計(jì)天數(shù))。以上共10個(gè)因子，故神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)取為10，隱含層節(jié)點(diǎn)設(shè)為20，輸出層為水平位移值，此時(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可表示為10-20-1。最大學(xué)習(xí)步數(shù)取2 000次，學(xué)習(xí)速率為0.05，期望目標(biāo)為10-6。借助于Matlab遺傳算法工具箱[11]，實(shí)現(xiàn)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化過程，其中權(quán)(閾)值編碼取決于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各層節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為10、20和1，故權(quán)值個(gè)數(shù)為10×20+20×1=220，閾值個(gè)數(shù)為20+1=21，個(gè)體編碼長(zhǎng)度即為220+21=241。

圖2 卡爾曼濾波數(shù)據(jù)殘差圖Fig.2 Residual data of Calman Filter

適應(yīng)度函數(shù)定義為：

種群尺度設(shè)為50，進(jìn)化代數(shù)設(shè)為100，其余參數(shù)取默認(rèn)值。由此建立起優(yōu)化預(yù)測(cè)模型。

分別將經(jīng)由卡爾曼濾波后的數(shù)據(jù)和未經(jīng)濾波處理的原始數(shù)據(jù)代入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參與訓(xùn)練，并對(duì)所選訓(xùn)練數(shù)據(jù)后10天的位移進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)3種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果見表1、圖3。

表1 3種模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比 mmTab.1 Comparison of prediction results of three kinds models

圖3 3種模型預(yù)測(cè)結(jié)果殘差對(duì)比Fig.3 Comparison of residual for prediction results of three kinds models

可見利用卡爾曼濾波法可以去除原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差干擾，將處理后的數(shù)據(jù)代入遺傳算法優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，可獲得更接近實(shí)測(cè)值的預(yù)測(cè)結(jié)果。

3 結(jié) 語

本文針對(duì)原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中存在的隨機(jī)波動(dòng)干擾，采用卡爾曼濾波方法進(jìn)行處理，進(jìn)而將處理后的值代入遺傳算法優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，建立起基于卡爾曼濾波的GA-BP預(yù)測(cè)模型。通過工程實(shí)例計(jì)算表明其預(yù)測(cè)精度比常規(guī)模型有所提高，驗(yàn)證了模型的正確性。通過引入卡爾曼濾波的方法，有效剔除了原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中的隨機(jī)誤差，對(duì)于一定時(shí)期內(nèi)變形監(jiān)測(cè)值數(shù)據(jù)多且波動(dòng)較大的情況適用性較好，有助于提高實(shí)際工作中的預(yù)測(cè)精度。

表2 3種模型預(yù)測(cè)精度對(duì)照表Tab.2 Comparison of prediction precision of three kinds models

綜上所述，該模型對(duì)于大壩變形預(yù)測(cè)精度較高，是對(duì)常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法的補(bǔ)充與發(fā)展，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

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