用數(shù)學(xué)建模 以逆向求因

杜月嬌

探析萬(wàn)象，數(shù)學(xué)之理不可或缺。數(shù)學(xué)家能夠以一系列數(shù)學(xué)符號(hào)為依托，幾近全面地把浩瀚繁雜的世間面貌“濃縮”在一個(gè)個(gè)多維模型里。

“80后”青年導(dǎo)師、浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系研究員徐翔對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)概因如此。無(wú)論是以往對(duì)數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題的基礎(chǔ)理論研究，還是目前對(duì)納米材料體系的光、電以及機(jī)械能之間的轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)化研究，他始終聚焦于逆向求因，用邏輯推演，撥開(kāi)團(tuán)團(tuán)迷霧，形成條理清晰的數(shù)學(xué)之理。

多年來(lái)，他憑借持之以恒的科研態(tài)度、強(qiáng)烈的合作精神、開(kāi)朗樂(lè)觀的處事哲學(xué)，用數(shù)學(xué)這一“工具”對(duì)某些“既成”規(guī)律一遍遍反向推演，以驗(yàn)真?zhèn)?；?duì)諸多工業(yè)應(yīng)用問(wèn)題加以分析，建立一個(gè)個(gè)更準(zhǔn)確、真實(shí)的“縮微”模型；不斷拓寬與其他交叉學(xué)科的融合之域，把數(shù)學(xué)這一“萬(wàn)象根本”落到實(shí)處，為探討多種規(guī)律與科學(xué)提供理論支撐，同時(shí)腳踏實(shí)地把所學(xué)之識(shí)應(yīng)用于社會(huì)發(fā)展的浪潮中。

走上科研的“高塔”

興趣是最好的導(dǎo)師。徐翔對(duì)數(shù)學(xué)的分外熱愛(ài)，讓他一步步的攀登著科研的高峰。

高考后，他進(jìn)入東南大學(xué)數(shù)學(xué)系信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)。四年大學(xué)培養(yǎng)了他用數(shù)學(xué)思維“抽絲剝繭”的能力，即使在信息大爆炸的當(dāng)前社會(huì)中，也能條分縷析地把復(fù)雜變簡(jiǎn)單，化世間繁蕪為精確的數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，信息知識(shí)與計(jì)算機(jī)課程的學(xué)習(xí)，無(wú)疑讓他建立了更發(fā)散的科研思維，幫助他走上更寬闊科研之路。

2005年本科畢業(yè)后，為尋求更高層次的學(xué)術(shù)造詣，他入讀復(fù)旦大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)攻讀博士學(xué)位，開(kāi)始踏上了數(shù)學(xué)反問(wèn)題研究的真正旅程。讀博期間，一邊跟隨導(dǎo)師做科研，一邊訪問(wèn)幾所日本帝國(guó)大學(xué)，多年扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論根基在與一些實(shí)踐項(xiàng)目的對(duì)接過(guò)程中爆發(fā)了。他，如魚(yú)得水。

不過(guò)，對(duì)專業(yè)的熱愛(ài)，讓他在浙江大學(xué)讀了一年博士后之后，于2011年毅然辭職遠(yuǎn)赴美國(guó)密歇根州立大學(xué)繼續(xù)進(jìn)行博士后研究。

在美麗的紅衫河畔，徐翔在數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題的研究領(lǐng)域更上一層樓。他也開(kāi)始由基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究走向?qū)嶋H應(yīng)用領(lǐng)域。

在這位青年導(dǎo)師的心里，他在慢慢靠近科研這座“高塔”。

深耕反問(wèn)題研究

正問(wèn)題解釋的是時(shí)空域中順時(shí)針的物理變化過(guò)程，由因?qū)Ч?；而反?wèn)題恰恰相反，它探討的是由果至因。在規(guī)律與科學(xué)的既定區(qū)域，可以由因而果、由過(guò)去預(yù)測(cè)未來(lái)；但在模糊地帶，憑借現(xiàn)有結(jié)果現(xiàn)象來(lái)反向推演其中的邏輯理論，則會(huì)因諸多不適定問(wèn)題的存在而變得相當(dāng)復(fù)雜。

但徐翔卻認(rèn)為，“這是一件非常有趣的事情”。通過(guò)數(shù)學(xué)模型的反演，可以“恢復(fù)歷史的本來(lái)面目”。這也許是他癡心于數(shù)學(xué)推理的原因?！胺?hào)、邏輯即能由表及里”，撥開(kāi)現(xiàn)象看本質(zhì)，這就是獨(dú)屬于數(shù)學(xué)的神奇力量。

憑借科學(xué)研究上的天分、交流溝通上的擅長(zhǎng)，他讀博期間就開(kāi)始對(duì)日本東京大學(xué)、北海道大學(xué)、香港浸會(huì)大學(xué)等進(jìn)行學(xué)術(shù)訪問(wèn)，參與國(guó)際合作項(xiàng)目。

他訪問(wèn)日本東京大學(xué)，與東大山本昌宏教授合作，對(duì)一般分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的反源問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)研究，首次獲得了一類特殊情形下的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的Carleman估計(jì)。在驚喜的同時(shí)，他又乘勝追擊，以此估計(jì)為基礎(chǔ)，對(duì)Cauchy問(wèn)題、系數(shù)反演等經(jīng)典反問(wèn)題又進(jìn)行了一遍遍推演，最終得到了條件穩(wěn)定性估計(jì)。他把實(shí)驗(yàn)結(jié)果形成論文，于國(guó)際著名期刊《Inverse Problems》發(fā)表后，引起業(yè)內(nèi)廣泛關(guān)注，并于同年被編委選作亮點(diǎn)論文收錄。

他在訪問(wèn)北海道大學(xué)期間，全程參與北海道大學(xué)與新日鐵公司的燒結(jié)項(xiàng)目。在項(xiàng)目初始，設(shè)立假說(shuō)，通過(guò)鋼鐵的冶煉數(shù)量，如何確定所用材料及材料數(shù)量？這涉及到物理反問(wèn)題。他運(yùn)用逆向推理手段，針對(duì)鋼鐵冶煉過(guò)程中的鐵礦石、碳粉及石灰石的早期預(yù)處理過(guò)程進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，模擬了現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)際運(yùn)作，規(guī)避了潛在的早期威脅，極大地縮短了實(shí)驗(yàn)過(guò)程，從而創(chuàng)造了巨大的經(jīng)濟(jì)效益。

訪問(wèn)香港浸會(huì)大學(xué)期間，他在擬譜方法問(wèn)題上與湯濤教授合作，首次利用該方法對(duì)Volterra型積分方程的高精度算法進(jìn)行推演，導(dǎo)出嚴(yán)密的收斂性分析。并在此基礎(chǔ)上提出，對(duì)一般初值問(wèn)題可采用擬譜方法處理來(lái)提高精度。相關(guān)論文一經(jīng)發(fā)表，即吸引了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，短時(shí)間內(nèi)就被引用65次。

除進(jìn)行多次國(guó)際校間訪問(wèn)交流外，由于在反問(wèn)題上的顯著成績(jī)，也讓徐翔成為國(guó)際會(huì)議力邀的對(duì)象。2010年，被特邀在香港城市大學(xué)召開(kāi)的國(guó)際反問(wèn)題會(huì)議上進(jìn)行一小時(shí)報(bào)告；2013年，在第五屆國(guó)際反問(wèn)題理論與計(jì)算分析研討會(huì)上獲得曙光青年學(xué)術(shù)獎(jiǎng)；2014年，在美國(guó)德州農(nóng)工大學(xué)召開(kāi)的國(guó)際分?jǐn)?shù)階方程會(huì)議上被特邀做一小時(shí)報(bào)告；擔(dān)任中國(guó)計(jì)算數(shù)學(xué)會(huì)理事，同時(shí)兼任多個(gè)國(guó)際著名雜志特約審稿人……

現(xiàn)代科學(xué)與技術(shù)的快速發(fā)展，成為驗(yàn)證科學(xué)假說(shuō)的有力武器。由果索因，由已知解確定方程中的未知量，乃是反問(wèn)題的基本路徑。近20年來(lái)，我國(guó)反問(wèn)題研究的腳步日益加快，這一研究手段尤其被廣泛應(yīng)用于礦產(chǎn)探測(cè)領(lǐng)域、航空航天領(lǐng)域、納米材料等應(yīng)用領(lǐng)域，作用地位已不容小覷。

新形勢(shì)下，需開(kāi)拓創(chuàng)新。徐翔把自己在反問(wèn)題上的認(rèn)識(shí)貢獻(xiàn)于領(lǐng)域發(fā)展的同時(shí)，也確立了新的研究方向。

用數(shù)學(xué)思維解構(gòu)納米材料

雖埋頭于實(shí)驗(yàn)室科研，但徐翔卻常常關(guān)注社會(huì)前沿。如何把已知理論應(yīng)用于實(shí)踐，把已知科研成果惠澤于社會(huì)？他把眼光瞄準(zhǔn)了國(guó)內(nèi)外風(fēng)頭正盛的納米材料領(lǐng)域。

納米作為一個(gè)長(zhǎng)度單位，可以丈量微觀世界。一納米是1米的十億分之一，與一根頭發(fā)絲相較時(shí)，大約是其八萬(wàn)分之一。納米雖微小，但納米材料的各項(xiàng)特質(zhì)，讓人們見(jiàn)識(shí)到納米的神奇“威力”。近年來(lái)，納米技術(shù)的迅猛發(fā)展，讓人們?nèi)找媲宄卣J(rèn)識(shí)到納米材料的多項(xiàng)特性及在社會(huì)發(fā)展中的重要功用，因此被奉于航空航天、生物醫(yī)藥、能源及環(huán)境等諸多領(lǐng)域的“座上賓”。

在徐翔看來(lái)，納米“身形”過(guò)于嬌小，現(xiàn)存技術(shù)手段很難直接被測(cè)量出其物理性質(zhì)及力學(xué)性質(zhì)，借助電子顯微鏡等系列精密儀器做分析時(shí)，仍會(huì)存在不確定性的誤差，因此在納米材料的制備、材料的可操作性上就無(wú)法達(dá)到預(yù)期的效果。

那么，用數(shù)學(xué)思想如何攻克納米材料難題呢？

憑借多年數(shù)學(xué)反問(wèn)題研究經(jīng)驗(yàn)，徐翔深切地認(rèn)識(shí)到把納米材料與數(shù)學(xué)反問(wèn)題理論兩者相結(jié)合，建立合適模型，進(jìn)行數(shù)值反向求解，能夠更加準(zhǔn)確地分析出納米材料的力學(xué)特性。

確定新的研究方向后，徐翔把研究重點(diǎn)一分為二，一是復(fù)合納米體系中光能量的轉(zhuǎn)移與轉(zhuǎn)化計(jì)算；二為納米材料機(jī)械性質(zhì)的數(shù)學(xué)定量分析。把數(shù)學(xué)理論、物理知識(shí)均囊括其中。

在納米體系中機(jī)械能與電能的轉(zhuǎn)移與轉(zhuǎn)化方面，徐翔以宏觀彈性力學(xué)方程與微觀波爾茲曼的耦合下的電場(chǎng)變化為焦點(diǎn)，用數(shù)學(xué)理論對(duì)壓電電流的產(chǎn)生等某些物理現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)學(xué)刻畫(huà)。

在納米材料機(jī)械性質(zhì)的定量分析中，徐翔帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)在楊氏模量粗略估計(jì)、應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系及共振頻率法等現(xiàn)存研究方法的基礎(chǔ)之上，提出了在納米材料的非均一性中，基于此類模型測(cè)量之下的準(zhǔn)確性尚有爭(zhēng)議，“這為新研究方法的實(shí)施提供了空間”。

2014年，徐翔把這一想法訴諸筆端，申請(qǐng)主持國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目——“納米材料性質(zhì)定量分析中的反問(wèn)題”，并得到批準(zhǔn)。于是，他開(kāi)始把數(shù)學(xué)反問(wèn)題的研究思想“鑲嵌”于納米材料，走上新的一段科研征程。

那么，哪種數(shù)學(xué)理論更合適呢？

他首先想到了數(shù)學(xué)上的偏微分方程?！翱梢园阉?dāng)作一個(gè)偏微分方程系統(tǒng)中的參數(shù)識(shí)別問(wèn)題來(lái)看”。

沿襲以往的研究成果，徐翔帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)成員決定開(kāi)拓創(chuàng)新，將課題進(jìn)行拆分，細(xì)分成靜態(tài)與動(dòng)態(tài)兩種研究方法。其中，在靜態(tài)法研究中，他提出了正問(wèn)題的邊值問(wèn)題，將數(shù)學(xué)中的經(jīng)典反問(wèn)題與隨機(jī)過(guò)程相結(jié)合，為求發(fā)展一套具有隨機(jī)源項(xiàng)的偏微分方程來(lái)去除測(cè)量中產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差，并利用反問(wèn)題中的正則化技巧求解，對(duì)工程中的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行精準(zhǔn)分析，在理論上獲得一定置信度下的收斂性，使納米材料剛度、強(qiáng)度等的物理特質(zhì)的測(cè)量更加準(zhǔn)確。

在動(dòng)態(tài)法研究中，徐翔采用共振頻率來(lái)測(cè)量確定納米材料的力學(xué)性質(zhì)，即數(shù)學(xué)上的反譜問(wèn)題定理。他認(rèn)為，在反演過(guò)程中，若無(wú)法保證問(wèn)題的唯一性，就要發(fā)散考慮多組邊界條件下的共振頻率。

在納米材料特性的相關(guān)反演實(shí)驗(yàn)中，徐翔帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)還針對(duì)納米材料中最新提出的壓電電子學(xué)和壓電光子學(xué)進(jìn)行了深入研究，所提出的反問(wèn)題理論方法與數(shù)值模擬技術(shù)，宛若讓現(xiàn)階段納米材料制備與測(cè)量的研究沖破瓶頸，進(jìn)入到一個(gè)更加開(kāi)闊的發(fā)展階段。

持之以恒 腳踏實(shí)地

古語(yǔ)云：鍥而舍之，朽木不折；鍥而不舍，金石可鏤。對(duì)真正做科研的人來(lái)講，選擇科研，即是選擇了無(wú)窮盡的探索。

多年來(lái)，徐翔始終懷揣著對(duì)科研的敬畏與熱情，敏銳地觀察社會(huì)動(dòng)態(tài)，把手中的科研工具與社會(huì)發(fā)展結(jié)合起來(lái)，為一些科研難題尋找突破口。無(wú)論是數(shù)學(xué)反問(wèn)題的縱向挖掘，還是與其它學(xué)科的橫向交叉研究，他利用堅(jiān)實(shí)的理論知識(shí)、勇于創(chuàng)新的挑戰(zhàn)精神，一步一個(gè)腳印地克服困難，實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)。

審視以往，直面未來(lái)。自2013年入選青年“千人計(jì)劃”被引進(jìn)浙江大學(xué)以來(lái)，徐翔對(duì)科研、對(duì)教學(xué)都有著一番設(shè)想。

在科研上，他以多年實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，借助學(xué)校光電中心完整的微納制備加工和測(cè)量設(shè)備，在國(guó)家“千人計(jì)劃”包剛教授領(lǐng)導(dǎo)的反問(wèn)題研究團(tuán)隊(duì)的支持下，繼續(xù)把數(shù)學(xué)反問(wèn)題研究進(jìn)行深入挖掘，解決納米材料中多物理、多尺度量子電動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的建模和計(jì)算，期冀在納米材料特性的探索上更進(jìn)一步。另外，與社會(huì)需求接軌，著眼于科研成果的量化，對(duì)納米新材料的研制以及生物醫(yī)學(xué)早期診斷提供理論支持。

在教學(xué)上，踏實(shí)認(rèn)真教授課程的同時(shí)，徐翔還為學(xué)生積極創(chuàng)造國(guó)際交流的機(jī)會(huì)，拓展學(xué)生視野，也讓他們跳脫出傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，真正了解社會(huì)前沿，培養(yǎng)更加敏銳的科研洞察力。在他看來(lái)，建立一支技能高超、做事認(rèn)真、眼界開(kāi)闊的高效合作團(tuán)隊(duì)，也是未來(lái)規(guī)劃的重點(diǎn)。