□李慶社

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幾何平移快捷解題

□李慶社

利用圖形平移變換可以將幾何題中分散的條件匯聚到一個(gè)基本圖形中，也可以將題目中比較隱蔽的條件明朗化.下面本文略舉幾例說明.

例1某商場(chǎng)重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳的主樓梯上鋪設(shè)一種紅色的地毯，已知這種地毯的批發(fā)價(jià)為每平方米40元，已知主樓梯道的寬為3米，其側(cè)面如圖1所示，則買地毯至少需要多少元？

圖1

解析：先利用平移的知識(shí)分別將地毯水平方向的線段沿豎直方向平移到BC上，豎直方向的線段沿水平方向平移到AC上，于是鋪地毯的長(zhǎng)度之和至少為5.6米＋2.8米=8.4米，地毯的總面積為8.4米×3米= 25.2平方米，所以購買地毯至少需要25.2×40=1008元.

點(diǎn)評(píng)：此題若逐步計(jì)算，比較復(fù)雜且不易算出，若運(yùn)用平移的知識(shí)解題，則問題就變得容易多了.

例2某數(shù)學(xué)興趣小組開展動(dòng)手操作活動(dòng)，設(shè)計(jì)了如圖2所示的三種圖形，現(xiàn)計(jì)劃用鐵絲按照?qǐng)D形制作相應(yīng)的造型，則所用鐵絲的長(zhǎng)度關(guān)系是（）.

圖2

A．甲種方案所用鐵絲最長(zhǎng)

B．乙種方案所用鐵絲最長(zhǎng)

C．丙種方案所用鐵絲最長(zhǎng)

D．三種方案所用鐵絲一樣長(zhǎng)

解析：將甲、乙、丙三種圖形中的線段向四周平移，可得這三種圖形最終可形成同樣大小的矩形，故甲、乙、丙三種方案所用鐵絲長(zhǎng)度均為2a＋2b.故選D.

點(diǎn)評(píng)：利用平移的性質(zhì)得出各圖形中所用鐵絲的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵.

例3如圖3，多邊形的相鄰兩邊互相垂直，則這個(gè)多邊形的周長(zhǎng)為（）.

圖3

A. 21B. 26

C. 37D. 42

解析：把所有的短橫線移動(dòng)到最上方的那條橫線上，再把所有的豎線移動(dòng)到左、右兩條豎線上，這樣可以重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖4，故多邊形的周長(zhǎng)為2×（16＋5）= 42.故選D.

圖4

點(diǎn)評(píng)：通過將原圖形中不規(guī)則的邊局部平移，從而構(gòu)成規(guī)則的圖形是解這類題的關(guān)鍵.

例4如圖5，在長(zhǎng)方形ABCD中，橫向陰影部分是長(zhǎng)方形，另一陰影部分是平行四邊形，根據(jù)圖中標(biāo)明的數(shù)據(jù)，其中空白部分的面積是多少？

圖5

解析：四個(gè)空白四邊形經(jīng)過平移可以組成一個(gè)長(zhǎng)方形，其長(zhǎng)為ac，寬為b-c，所以空白部分的面積為（a-c）（b-c）.

點(diǎn)評(píng)：這里通過平移變換，避免了對(duì)圖形的分割，使求解簡(jiǎn)捷、方便.

例5如圖6，A、B兩地之間有一條國(guó)道，國(guó)道的寬為a，現(xiàn)要在國(guó)道上修建一座垂直于國(guó)道的立交橋，使通過A、B兩地的路程最近，請(qǐng)你設(shè)計(jì)建橋的位置，并說明理論依據(jù).

圖6

解析：不妨設(shè)國(guó)道的兩邊分別為l1，l2，橋?yàn)镸N，那么從A到B要走的路線就是A→M→N→B了.如圖6，MN=a為定值，于是要使路徑最短，只要AM＋BN最短即可.此時(shí)兩線段應(yīng)在同一平行方向上，若設(shè)想先過橋，即平移MN于AC，從C到B應(yīng)是余下的路程，連接BC即為最短的線段，這就說明線段BC與國(guó)道邊緣l2的交點(diǎn)N就是修橋的位置.

點(diǎn)評(píng)：本題是設(shè)計(jì)建橋的位置，卻隱含了平移的知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)與社會(huì)生活的緊密聯(lián)系.