具有飽和接觸率的隨機(jī)SIR模型的正解存在唯一性及滅絕性

張秋梅，文香丹，李映紅

(1.長(zhǎng)春大學(xué)理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022；

2.延邊大學(xué)數(shù)學(xué)系，吉林 延吉 133002)

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具有飽和接觸率的隨機(jī)SIR模型的正解存在唯一性及滅絕性

張秋梅1，文香丹2，李映紅1

(1.長(zhǎng)春大學(xué)理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022；

2.延邊大學(xué)數(shù)學(xué)系，吉林 延吉 133002)

[摘要]建立并分析了具有飽和接觸率的隨機(jī)SIR模型，應(yīng)用Lyapunov方法得到了隨機(jī)SIR模型正解的存在性、唯一性和滅絕性.

[關(guān)鍵詞]隨機(jī)微分方程；飽和接觸率；存在唯一性；滅絕性

0引言

自從Kermack和Mckendrick建立傳染病的艙室模型后，傳染病動(dòng)力學(xué)便得到了迅速發(fā)展，并在預(yù)防與治療疾病方面起到了不同程度的指導(dǎo)作用. 基于經(jīng)典的假設(shè)，我們將種群分成易感者(S)，染病者(I) 和移出者(R). 一個(gè)易感個(gè)體一旦感染便瞬間變成染病者，最后成為移出者獲得暫時(shí)的免疫.[1-3]如果疾病的發(fā)生率是飽和接觸率，則SIR模型可描述為

(1)

(2)

本文研究每次接觸傳染的概率β在環(huán)境白噪聲干擾下的隨機(jī)傳染病系統(tǒng)(SIR)正解的存在唯一性及滅絕性.

1正解的存在唯一性

證明考慮具有初值(u0=logS0，v0=logI0，w0=logR0)的如下方程

(3)

顯然方程(3)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件，從而存在唯一局部解(u(t)，v(t)，w(t))(t∈[0，τe))，其中τe表示爆破時(shí)間.由It公式容易驗(yàn)證(S(t)=eu(t)，I(t)=ev(t)，R(t)=ew(t))是系統(tǒng)(2)具有初值(S0，I0，R0)的正解.下面證明解是全局存在的，即只需證明τe=∞ a.s..選取m0≥1，使得S0，I0，R0都位于區(qū)間中.對(duì)任給整數(shù)m≥m0，定義停時(shí)：或max{S(t)，I(t)，R(t)}≥m}，其中約定inf?=∞.顯然τm關(guān)于m單調(diào)遞增，令，則τ∞≤τea.s..若能證得τ∞=∞ a.s.，則τe=∞，從而定理結(jié)論得證.若不然，則存在常數(shù)T>0和ε∈(0，1)，使得P{τ∞≤T}>ε.于是存在整數(shù)m1≥m0，使得當(dāng)所有的m≥m1時(shí)，P{τm≤T}≥ε.

2滅絕性

(4)

由強(qiáng)大數(shù)定律[8]得

再根據(jù)(4)式

(5)

根據(jù)系統(tǒng)(2)

d(S+I+R)=[A-μ(S+I+R)-α0I]dt.

(6)

由(6)式解得

利用洛必達(dá)法則和(5)式，

[參考文獻(xiàn)]

[1]ZHANG J，MA Z E.Global dynamics of an SEIR epidemic model with saturating contact rate [J].Mathematical Biosciences，2003，185：15-32.

[2]馬知恩，周義倉(cāng)，王穩(wěn)地，等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].北京：科學(xué)出版社，2004:156-160.

[3]王冰杰.基于潛伏期有傳染力的SEIR傳染病模型的控制策略[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，46(1):28-32.

[4]YANG Q S，JIANG D Q，SHI N Z，et al.The ergodicity and extinction of stochastically perturbed SIR and SEIR epidemic models with saturated incidence[J].J Math Anal Appl，2012，388：248-271.

[5]JI C Y，JIANG D Q，YANG Q S，et al.Dynamics of a multigroup SIR epidemic model with stochastic perturbation [J].Automatica，2012，48：121-131.

[6]JI C Y，JIANG D Q，SHI N Z.Multigroup SIR epidemic model with stochastic perturbation[J].Physica A，2011，390：1747-1762.

[7]ZHAO Y N，JIANG D Q，O’REGAN D.The extinction and persistence of the stochastic SIS epidemic model with vaccination[J].Physica A，2013，392：4916-4927.

[8]MAO X R. Stochastic differential equations and their applications[M]. Chichester：Horwood Publishing，1997：51-59.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Existence，uniqueness and extinction of stochastic SIR model with saturating contact rate

ZHANG Qiu-mei1，WEN Xiang-dan2，LI Ying-hong1

(1.School of Science，Changchun University，Changchun 130022，China；2.Department of Mathematics，Yanbian University，Yanji 133002，China)

Abstract:A perturbed SIR model with saturating contact rate by white noise is proposed and analyzed. By Lyapunov analysis methods，the existence and uniqueness of the positive solution are given，as well as the extinction of stochastic SIR model.

Keywords:stochastic differential equation；saturating contact rate；existence and uniqueness；extinction

[中圖分類號(hào)]O 211.63[學(xué)科代碼]110·44

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[作者簡(jiǎn)介]張秋梅(1980—)，女，博士，講師，主要從事隨機(jī)微分方程研究；通訊作者：文香丹(1965—)，女，碩士，教授，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)和優(yōu)化理論研究.

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371085)；吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20140101005JC)；吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(2014LY508L40，吉教科合字[2015]第10號(hào))；吉林省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題項(xiàng)目(GH150104).

[收稿日期]2014-07-23

[文章編號(hào)]1000-1832(2016)01-0026-03

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.007