方均斌，梁 凱，朱 玲

（溫州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江 溫州 325035）

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數(shù)學(xué)問題教學(xué)的五個(gè)探索點(diǎn)

方均斌，梁 凱，朱 玲

（溫州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江 溫州 325035）

摘要：隨著提問、說題、講題等一些話題的延伸，很多圍繞數(shù)學(xué)問題的教學(xué)形式研究已經(jīng)擺到日程上來．目前，數(shù)學(xué)問題教學(xué)過程中有5個(gè)探索點(diǎn)需要數(shù)學(xué)教師特別關(guān)注：選題、顯題、變題、鏈題、戀題，即：重新審視數(shù)學(xué)問題的題源，關(guān)注數(shù)學(xué)問題教學(xué)中的呈現(xiàn)策略，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問題變化訓(xùn)練，讓學(xué)生把相關(guān)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行必要的鏈接，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的反思教學(xué)活動(dòng)．

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}選擇；問題呈現(xiàn)；問題變化；問題鏈接；問題情結(jié)

中國(guó)目前在問題教學(xué)中出現(xiàn)了諸如提問、說題、講題等一些動(dòng)態(tài)研究的積極發(fā)展態(tài)勢(shì)，盡管中國(guó)在數(shù)學(xué)問題教學(xué)方面號(hào)稱“解題王國(guó)”，但受應(yīng)試教育、具體教學(xué)操作約束、傳統(tǒng)觀念等影響，使一些亟待研究的話題還沒有引起人們足夠重視．為了更好地提高數(shù)學(xué)問題的教育效果，目前中國(guó)數(shù)學(xué)問題教學(xué)中的選題、顯題、變題、鏈題、戀題5個(gè)探索點(diǎn)亟待開發(fā)．

1 選 題

與相對(duì)比較成熟的問題解決層面研究相比，中國(guó)基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)問題選題工作至少有以下3方面亟待完善．

首先，目前中國(guó)數(shù)學(xué)問題解決僅針對(duì)“‘沒有毛病’的數(shù)學(xué)問題”，使得學(xué)生對(duì)問題的批判意識(shí)普遍削弱．例如，2003年江蘇省高考數(shù)學(xué)題的第一個(gè)數(shù)學(xué)考題引起了很大爭(zhēng)議[1]，由于該題是選擇題且位于整個(gè)卷面的首位，一些數(shù)學(xué)成績(jī)不錯(cuò)的學(xué)生“紛紛中招”．從這個(gè)問題可以看出，學(xué)生對(duì)錯(cuò)題幾乎沒有“免疫力”．因?yàn)?，目前給學(xué)生所解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)大前提是所給的問題條件很少出現(xiàn)“殘缺”、“冗余”甚至“矛盾”等“錯(cuò)題”現(xiàn)象[2]，學(xué)生對(duì)出現(xiàn)這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)問題處理的批判性意識(shí)很差[3]，幾乎毫無(wú)“心理防備”，有學(xué)者曾經(jīng)對(duì)此提出自己的擔(dān)憂，認(rèn)為一些現(xiàn)實(shí)問題信息的“抽絲剝繭”任務(wù)絕大部分被數(shù)學(xué)家或者教師完成了，“錢學(xué)森之問”的困局或許就在于此[4]．也就是說，教師目前給學(xué)生解決的問題好比讓他們“消化”的是“精糧”而非“粗糧”，這對(duì)他們的“消化功能”提高不利．因此，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候可以出一些“錯(cuò)題”使學(xué)生在解決過程中提高審題能力，增加他們的批判性意識(shí)，如一個(gè)極端的例子“船長(zhǎng)年齡問題”．在歐洲，流傳著這樣一個(gè)笑話：“一條船上有75頭牛，32頭羊，問船長(zhǎng)幾歲？”法國(guó)的一份調(diào)查報(bào)告顯示，有64%的學(xué)生給出了“答案”：75-32=43歲．華東師大的張奠宙教授在中國(guó)一些中小學(xué)做了同樣的測(cè)驗(yàn)，得到上述答案的學(xué)生比例竟高達(dá)92%，甚至在上海市某重點(diǎn)中學(xué)的高三年級(jí)，也有10%的學(xué)生如此作答[5]．經(jīng)調(diào)查，大部分學(xué)生對(duì)在平時(shí)的練習(xí)中適當(dāng)放個(gè)別錯(cuò)題讓學(xué)生辨析這一做法持支持的態(tài)度[3]．

其次，即使是“正確的”數(shù)學(xué)問題，也只關(guān)注能夠“有評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)”的那些封閉題或者部分開放題，一些無(wú)法采取評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)問題（開放題）由于難以成為試題而淡出教師的教學(xué)視野．有研究者認(rèn)為，根據(jù)教材設(shè)置一些難度適中，具有可研究的開放題是實(shí)施教學(xué)內(nèi)容開放的有效手段[6]．其實(shí)，盡管像張奠宙教授等一些學(xué)者呼吁讓“開放題教學(xué)”成為“家常菜”[7]，但就目前的情況來看，效果并非理想，問題解決方法發(fā)散性、創(chuàng)新性的培養(yǎng)策略受到了應(yīng)試教育的限制．

第三，中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)由于應(yīng)試的影響，與實(shí)際情境掛鉤的數(shù)學(xué)問題明顯偏少，雖曾經(jīng)一段時(shí)間關(guān)注應(yīng)用題的教學(xué)，但后來因應(yīng)用題在考試中出現(xiàn)了諸如選題背景要公平[8]、學(xué)生認(rèn)知條件（如：生活經(jīng)驗(yàn)等）等原因，使應(yīng)用題的教學(xué)也受到了一定的局限．

選題是問題教學(xué)的起始點(diǎn)，新加坡的著名數(shù)學(xué)教育家李秉彝先生在談?wù)摂?shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)候，寓意深刻地指出：吃什么比怎么吃更重要，意在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)容選擇的重要性．中國(guó)數(shù)學(xué)問題的題源由于與實(shí)際問題聯(lián)系欠缺并且要求問題“不能出錯(cuò)”且有“評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)”，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決過程中固守于某些套路或者模式，思維的培養(yǎng)途徑窄化．這種現(xiàn)象的根本原因在于中國(guó)考試文化的負(fù)面影響．有學(xué)者通過研究認(rèn)為：從某種意義上講，“考試文化”深刻烙印學(xué)生而扭曲自己的信念而改變行為[9]．其實(shí)，根據(jù)觀察，教師的信念及相應(yīng)的行為也會(huì)受“考試文化”負(fù)面影響的，因?yàn)槌Ｂ牭綌?shù)學(xué)教師的觀點(diǎn)：“高考怎么考，我們就怎么教．”因此，建議教師不能只盯住考試題目類型，在平時(shí)選題時(shí)，必須擺脫傳統(tǒng)觀念的束縛，拓寬題源，適度組織一些諸如數(shù)學(xué)建模、出“錯(cuò)題”[3]、解決無(wú)絕對(duì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的開放題等活動(dòng)，可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題的來源以及培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)問題原始信息捕捉及處理能力，提高他們的創(chuàng)新意識(shí)和能力．

2 顯 題

選題觀念拓寬是一方面，隨之而來的問題是：如何將所選問題以恰當(dāng)?shù)男问秸故驹趯W(xué)生面前？那就是第二個(gè)話題：顯題．顯題是指數(shù)學(xué)問題信息呈現(xiàn)的策略研究．這個(gè)話題在課堂教學(xué)實(shí)踐中也不太引發(fā)教師的注意，一個(gè)數(shù)學(xué)問題經(jīng)教師選擇后該以怎樣的信息呈現(xiàn)順序以達(dá)到完美的教育功能？

學(xué)生平時(shí)接觸到的往往都是紙質(zhì)信息媒介（紙質(zhì)課本及練習(xí)），數(shù)學(xué)問題的信息呈現(xiàn)“一目了然”．但是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育常采用多媒體信息技術(shù)，由于它具有信息呈現(xiàn)的播放功能，教師可以設(shè)置數(shù)學(xué)問題信息呈現(xiàn)的不同方式，以增加或開發(fā)數(shù)學(xué)問題的教育功能．對(duì)此，研究者曾經(jīng)撰文探討，主要觀點(diǎn)是根據(jù)教學(xué)需要對(duì)例題信息進(jìn)行逐步呈現(xiàn)以發(fā)掘數(shù)學(xué)例題的教育功能[10]．

其實(shí)，這個(gè)思想可以延拓到其它數(shù)學(xué)教育過程．一個(gè)數(shù)學(xué)問題往往具有題設(shè)（條件）和欲求（結(jié)論）部分，不同的呈現(xiàn)策略可以增加不同的教育功能．以課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)問題為例，從大的方面來說，數(shù)學(xué)問題可以按照題設(shè)（條件）信息和欲求（結(jié)論）信息分先后呈現(xiàn)，中間穿插教師的口語(yǔ)或體態(tài)語(yǔ)言信息．如，呈現(xiàn)問題條件信息后，教師輔之以口語(yǔ)“根據(jù)問題的條件，你能夠得到什么結(jié)論？”同樣，呈現(xiàn)欲求（結(jié)論）信息后，教師問“根據(jù)問題的結(jié)論，你認(rèn)為，需要補(bǔ)充什么條件？”

從小的方面說，數(shù)學(xué)問題千差萬(wàn)別，為實(shí)現(xiàn)教師的教學(xué)意圖，完全可以按照一定的順序呈現(xiàn)部分信息并輔之以口語(yǔ)及體態(tài)語(yǔ)言信息等，把封閉的數(shù)學(xué)問題變得開放．如，有不少的數(shù)學(xué)問題包括圖形信息，可以先呈現(xiàn)圖形信息后，教師提問：“根據(jù)這個(gè)圖形，你能夠提出什么問題？”也可以先呈現(xiàn)文字或者符號(hào)信息后問：“根據(jù)問題的條件和結(jié)論，你能夠作出需要的圖形嗎？”等等．這樣，能夠使數(shù)學(xué)問題從原先的封閉、一元到開放、多元，擴(kuò)大其教育功能．

如果數(shù)學(xué)問題用以練習(xí)，教師完全可以按照課堂教學(xué)的程序把一個(gè)數(shù)學(xué)問題出成“半拉子題”，把教師原先準(zhǔn)備用以輔助教學(xué)的口語(yǔ)用文字呈現(xiàn)，如，原先準(zhǔn)備用“冷冰冰”的“已知A，求證：B”改為“根據(jù)條件A，你覺得結(jié)論B可能成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由”，甚至改為“A是B的什么條件？請(qǐng)說明你的理由”等．

如果數(shù)學(xué)問題用以測(cè)試，則根據(jù)需要把數(shù)學(xué)題以不同的信息呈現(xiàn)，如有些選擇題，可以去掉選支信息而成為填空題等，也能夠體現(xiàn)一些測(cè)試功能和意圖上的變化．

顯題是問題教學(xué)展開的第一步，它的呈現(xiàn)策略是實(shí)現(xiàn)策略性教育功能聚焦的一種手段，有時(shí)不需要刻意去尋求所謂的“開放題”[11]，也不必拘泥于課本例題的“一覽無(wú)遺”，只要在問題信息呈現(xiàn)策略上“動(dòng)一些腦子”．當(dāng)然，顯題過程中教師的附加信息也很重要，帶有啟發(fā)式的提問、微笑的表情、期待的眼神等，都在某個(gè)程度上激發(fā)學(xué)生對(duì)問題本身的興趣．

數(shù)學(xué)問題信息呈現(xiàn)是一項(xiàng)教師的教學(xué)藝術(shù)，是引導(dǎo)學(xué)生思維從發(fā)散到收斂的過程，可以提高數(shù)學(xué)問題的教育價(jià)值，可以在實(shí)現(xiàn)教學(xué)意圖上做更多的工作，而且還可以把其思想推廣到其它教學(xué)環(huán)節(jié)．例如，一節(jié)課的課題呈現(xiàn)時(shí)機(jī)如果把握得好，可以讓學(xué)生從思維定勢(shì)中汲取教訓(xùn)和提高他們對(duì)這節(jié)課學(xué)習(xí)意圖的理解；一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的信息呈現(xiàn)順序如果構(gòu)思精妙，可以提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識(shí)和能力；一張?jiān)嚲淼脑囶}適度排序，可以把考核學(xué)生對(duì)知識(shí)、技能和能力掌握情況的工作做得更好一些，等等．

3 變 題

顯題是對(duì)現(xiàn)有問題在信息呈現(xiàn)策略上改變使之教育功能發(fā)生變化，而“變題”則是指數(shù)學(xué)問題的變式．“變式教學(xué)”是中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)傳統(tǒng)，也是一大特色，備受廣大一線教師的推崇與青睞[12]．應(yīng)該說，教師在變式教學(xué)上所花的精力比較多，變式教學(xué)之所以受到重視應(yīng)該與考試文化有關(guān)，因?yàn)椴簧僭囶}都是命題人員絞盡腦汁對(duì)包括課本在內(nèi)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行的變式，自然促進(jìn)授課教師在平時(shí)教學(xué)也進(jìn)行變式．變式教學(xué)的“掌控權(quán)”基本上在數(shù)學(xué)教師手里，教師“我想變，就變”，固然，教師根據(jù)自己的教學(xué)意圖掌控變式教學(xué)未嘗不可，但在學(xué)生的眼里，有時(shí)摸不清教師變的意圖和變的手段，讓他們處于一種被動(dòng)狀態(tài)，他們思維主動(dòng)性受到不利的影響．

首先，要讓學(xué)生進(jìn)行“要我變”的訓(xùn)練，即：教師拿出一個(gè)數(shù)學(xué)問題，問學(xué)生：“針對(duì)這樣的數(shù)學(xué)問題，你準(zhǔn)備怎樣將其進(jìn)行變化，而成為另外的一個(gè)數(shù)學(xué)問題？”讓學(xué)生變題可以訓(xùn)練他們的類比、歸納、聯(lián)想等一些命題變化的基本技能，甚至可以在變化的過程中發(fā)現(xiàn)一些有趣的數(shù)學(xué)問題，既提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為他們認(rèn)清一些數(shù)學(xué)問題的來龍去脈，從而提高問題解決的參與感，為數(shù)學(xué)教師提供源源不斷的數(shù)學(xué)問題研究素材，一舉多得．例如，學(xué)生是通過一個(gè)實(shí)際情境問題來學(xué)習(xí)平方差公式的[13]，但在后續(xù)學(xué)習(xí)完全平方公式，教材又設(shè)置一個(gè)實(shí)際情境．強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與實(shí)際情境的聯(lián)系并無(wú)異議．但這里缺失了一個(gè)“要我變”的訓(xùn)練，即對(duì)學(xué)生提出：“對(duì)公式(a+b)( a-b)=a2-b2，你能不能進(jìn)行一些變化而得到其它等式？”甚至問學(xué)生：“針對(duì)這個(gè)公式，你有什么問題可提嗎？”

其次，在學(xué)生“要我變”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生主動(dòng)地產(chǎn)生“我要變”的欲望．學(xué)生拿到一個(gè)數(shù)學(xué)問題，解決完后往往沒有再思考諸如：“這個(gè)問題的條件要是變一下，會(huì)得到什么結(jié)果？”“根據(jù)這個(gè)問題的條件，還能夠得到什么結(jié)論？”等問題．例如，在一張?jiān)嚲淼淖詈蟛扇￠_放式加試題：請(qǐng)你針對(duì)本卷中的任何一個(gè)問題進(jìn)行變式，使之成為一個(gè)有趣的或者比較有意義的數(shù)學(xué)問題，并給出你的解答或發(fā)現(xiàn)、建議等．讓那些應(yīng)對(duì)考試能力“綽綽有余”的學(xué)生“有事可干”，而這些優(yōu)質(zhì)學(xué)生恰恰需要培養(yǎng)他們的發(fā)現(xiàn)能力，何樂而不為？只要長(zhǎng)期堅(jiān)持，這種測(cè)試導(dǎo)向往往會(huì)使學(xué)生特別是那些優(yōu)秀學(xué)生針對(duì)數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生“我要變”的意識(shí)．

第三，教師要對(duì)學(xué)生進(jìn)行一些數(shù)學(xué)問題變化技能的訓(xùn)練和探討，即對(duì)學(xué)生進(jìn)行“如何變”的教學(xué)，教師不僅是在學(xué)生面前展示“教師變題的成果”，而且要顯示變題的過程與方法．這樣，既增強(qiáng)了“變”的意識(shí)，也提高了“變”的技能．例如，對(duì)學(xué)生實(shí)施4種數(shù)學(xué)命題之間的變化（指原命題、否命題、逆命題、逆否命題之間的變化）而進(jìn)行的提問訓(xùn)練，還有諸如類比、歸納、實(shí)驗(yàn)、猜想等，也可以創(chuàng)設(shè)一種讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題變化的欲望情境等．如：勾股定理a2+b2=c2（其中，a，b，c分別為直角三角形的兩直角邊和斜邊），教師可以把學(xué)生已經(jīng)知道的結(jié)論“a+b＞c”挪在一起，問學(xué)生：“根據(jù)我們所知道的這兩個(gè)式子，你能夠提出什么問題？”以期引發(fā)學(xué)生探究“an+bn”與“cn”的關(guān)系問題．甚至，教師完全可以針對(duì)勾股定理設(shè)置要求學(xué)生對(duì)其進(jìn)行變化的更開放問題：“針對(duì)勾股定理，你能否將其條件或者結(jié)論進(jìn)行變化，使之成為另外一個(gè)數(shù)學(xué)問題？”余弦定理或許將納入學(xué)生的視野，盡管余弦定理屬于“高中數(shù)學(xué)教學(xué)范疇”，但初中生能夠自己提出這樣的問題，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)“可喜成果”．

教師把數(shù)學(xué)問題的“變式”掌握在自己的手里很可能基于這樣的兩個(gè)顧慮：一是考試中并沒有考學(xué)生的變題技能，教師所變的問題一般經(jīng)過自己的“篩選”后才展示在學(xué)生面前的，這樣可以“掌控教學(xué)”；二是萬(wàn)一學(xué)生變題中出現(xiàn)了自己解決不了的問題，很可能導(dǎo)致教學(xué)的“失控”，怎么辦？

可以這樣認(rèn)為，變題是問題教學(xué)的高潮．盡管中國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)問題的變式教學(xué)比較重視，也取得了一些豐碩的實(shí)踐性成果．但在“為什么要變？”“如何變？”“何時(shí)變？”“誰(shuí)是變的主體？”等方面的研究確實(shí)存在短板現(xiàn)象．讓學(xué)生從學(xué)會(huì)解題到學(xué)會(huì)變題，從“要我變”到“我要變”，讓學(xué)生從被動(dòng)的解題者到主動(dòng)的變題者，讓“應(yīng)變能力”不再停留在“應(yīng)付變的能力”，而是一種“應(yīng)該變的能力”，進(jìn)而形成一種主動(dòng)求變的良好意識(shí)，這是創(chuàng)新性人才培養(yǎng)的必然訴求，也是今后很重要的一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展研究領(lǐng)域．

4 鏈 題

數(shù)學(xué)問題解決中的遷移，很大程度上依賴于問題之間的抽象關(guān)系[14]．變題是將問題“打散”的過程，讓多如牛毛的數(shù)學(xué)問題成為“一盤散沙”絕不是我們教育工作者的本意，變題之后的一項(xiàng)舉措就是要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清不同數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系，“鏈題”工作自然納入研究者的視野．研究者查閱到的提及“鏈題”一詞最早的一篇文獻(xiàn) “鏈題——高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的有效途徑之一”[15]，但該文及后續(xù)文獻(xiàn)中對(duì)“鏈題”概念并無(wú)明確界定．鏈題主要有兩個(gè)層面的含義：一是指數(shù)學(xué)問題與其它問題的鏈接，也就是把相關(guān)數(shù)學(xué)問題從知識(shí)、條件、結(jié)論、命題變化、思想方法等方面進(jìn)行鏈接；二是指一個(gè)數(shù)學(xué)問題與諸如教材等學(xué)習(xí)材料中的相關(guān)知識(shí)鏈接．

鏈題是問題解決者對(duì)命題者意圖猜測(cè)及尋求這個(gè)問題源頭的一項(xiàng)舉措．也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決綜合能力的一種重要手段．

加強(qiáng)鏈題訓(xùn)練，可以提高學(xué)生問題解決的能力．因?yàn)?，學(xué)生通過顯題后很可能就會(huì)聯(lián)想到之前解決過類似的數(shù)學(xué)問題，從而提高問題解決的效率．同時(shí)，鏈題訓(xùn)練，可以讓學(xué)生在知識(shí)、思想方法上對(duì)已經(jīng)解決過的數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)化，這也是一種數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的有效梳理手段．

加強(qiáng)學(xué)生的鏈題訓(xùn)練方法：一是在解題過程進(jìn)行知識(shí)、思想方法鏈接．如：“之前我們?cè)?jīng)見過類似的數(shù)學(xué)問題嗎？”“這個(gè)數(shù)學(xué)問題牽涉到哪些知識(shí)？”“這個(gè)問題你準(zhǔn)備嘗試哪些方法？這些方法以前在解決其他問題時(shí)的成功率是多少？”等，從而啟發(fā)學(xué)生通過鏈題達(dá)到對(duì)相關(guān)知識(shí)方法復(fù)習(xí)鞏固的目的，提高了數(shù)學(xué)問題解決的成功率．二是問題解決成功后進(jìn)行的鏈接．如：“這個(gè)問題可以與之前的哪些數(shù)學(xué)問題一起歸類？請(qǐng)說明你的歸類理由．”“請(qǐng)你把課本里面的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行必要的歸類，并說明你的歸類理由．”等，這樣的鏈接往往能夠使學(xué)生把問題解決系統(tǒng)化，做到既見樹木又見森林，完善其認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

鏈題是問題教學(xué)的整合，將一題一題的教學(xué)，從知識(shí)與方法上串合起來，像一顆顆珍珠串成美麗的珠鏈．在問題教學(xué)如此普遍的今天，這項(xiàng)工作也應(yīng)該引起廣大教師的關(guān)注．

5 戀 題

前面討論了數(shù)學(xué)問題教學(xué)應(yīng)該引起大家注意的4個(gè)方面，但還有一點(diǎn)更需要教師注意，那就是對(duì)數(shù)學(xué)問題的情感．?dāng)?shù)學(xué)情感需要培養(yǎng)，數(shù)學(xué)所蘊(yùn)涵的深刻文化內(nèi)涵需要數(shù)學(xué)教育工作者們?nèi)グl(fā)掘、去創(chuàng)造、去推陳出新[16]，引起聯(lián)想的是“戀題”二字．研究者查到提及“戀題”的文獻(xiàn)是一位考生的咨詢[17]，該文所提“戀題”大意是學(xué)生考試時(shí)老是對(duì)之前某個(gè)未解決的數(shù)學(xué)問題“耿耿于懷”而影響了其它問題的解決．與此負(fù)面提法相反，這里所提的戀題概念是指當(dāng)學(xué)生解決（完）一個(gè)問題后，對(duì)問題進(jìn)行反思和回味，顯示出對(duì)已經(jīng)解決的數(shù)學(xué)問題的一種“依依不舍”心態(tài)．這種心態(tài)可以引領(lǐng)學(xué)生對(duì)問題解決過程進(jìn)行認(rèn)真總結(jié)，揣摩編題者的意圖，為編題者的精妙構(gòu)題而“拍案叫絕”．根據(jù)了解，一些學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題采取的態(tài)度是做一題拋一題，使自己深陷題海而迷失數(shù)學(xué)問題解決之根本目的．導(dǎo)致他們往往對(duì)數(shù)學(xué)問題感情淡薄甚至“恨之入骨”，體會(huì)不到編題者的“苦口良心”．

戀題可以分為問題未能夠解決和能夠解決兩種情況．

如果學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)問題由于解決不順而戀戀不舍，不言放棄，這絕對(duì)是一個(gè)好現(xiàn)象，教師只要適度指導(dǎo)，此類學(xué)生肯定“大有前途”．但因遇到一個(gè)難題而影響其它問題的解決或者缺乏整體的學(xué)習(xí)規(guī)劃，則需要在學(xué)習(xí)策略上進(jìn)行必要的指導(dǎo)甚至進(jìn)行心理疏導(dǎo)．

與因問題解決遇到不順情況相比，學(xué)生如果能夠在問題解決后還繼續(xù)保持一種割舍不下的心態(tài)而對(duì)其進(jìn)行研究，這應(yīng)該是數(shù)學(xué)問題教學(xué)的“理想狀態(tài)”．

首先，戀題讓學(xué)生問題解決后不急于拋棄，而是認(rèn)真總結(jié)和反思，把握問題解決的根本規(guī)律，并且對(duì)自己在解決過程中出現(xiàn)的相關(guān)知識(shí)和方法進(jìn)行回顧，與其它問題進(jìn)行必要的鏈接，能夠達(dá)到做一題而對(duì)相關(guān)內(nèi)容融會(huì)貫通的目的，增加了問題解決的收獲．

其次，戀題也是揣摩命題者意圖的過程，通過戀題，往往能夠使學(xué)生有針對(duì)性地進(jìn)行相關(guān)的復(fù)習(xí)，查漏補(bǔ)缺．

第三，戀題不僅是問題解決、揣摩命題意圖的過程，而且還帶著欣賞的眼光看待數(shù)學(xué)問題，拉近學(xué)生與命題者的心理距離，培養(yǎng)學(xué)生問題解決的積極心態(tài)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣．

戀題是需要教師積極引導(dǎo)的，在諸如試卷點(diǎn)評(píng)課等對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的相關(guān)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師往往只停留在問題解決答案、方法層面，很少對(duì)數(shù)學(xué)問題采取欣賞性總結(jié)．戀題工作主要有：一是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行評(píng)價(jià)．如：“你認(rèn)為這組（個(gè)）數(shù)學(xué)問題命題者的意圖是什么？”“這些（個(gè)）問題命題者是如何構(gòu)思出來的？”“這些（個(gè)）問題的精彩地方在哪里？”“這份試卷有哪幾個(gè)問題是最漂亮的？請(qǐng)你說說理由．”等，在平時(shí)的作業(yè)布置上增加對(duì)數(shù)學(xué)問題的評(píng)價(jià)這一要求．二是組織學(xué)生進(jìn)行說題或者講題，說題、講題是近幾年在中學(xué)悄然升起的一種教研活動(dòng)，盡管目前還沒有一種有關(guān)說題、講題相關(guān)概念及它們之間嚴(yán)格界定的權(quán)威文獻(xiàn)．但，糧草未到，兵馬先行，很多數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐都是這樣展開的．站在不純粹是為了問題解決的角度去審視數(shù)學(xué)問題很值得嘗試．這種嘗試不應(yīng)局限于教師之間，也可以在教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間進(jìn)行[18]，在說題或者講題過程中可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題評(píng)價(jià)和理解訓(xùn)練．三是在必要的時(shí)候，教師可以進(jìn)行戀題示范，讓學(xué)生慢慢學(xué)會(huì)如何戀題以及如何在戀題過程中增加一些收獲．四是讓學(xué)生提出以自己命名的猜想，然后根據(jù)問題的“質(zhì)量”給予評(píng)價(jià)（例如，只能夠難倒自己的賦予一顆星，把全班同學(xué)難倒的賦予兩顆星，把授課教師難倒的賦予3顆星；以此類推．還可以根據(jù)難倒的時(shí)間長(zhǎng)短進(jìn)行“二級(jí)評(píng)價(jià)”），把這些“難題”或者“猜想”掛在班級(jí)、學(xué)校宣傳欄甚至網(wǎng)站上，在學(xué)生中形成戀題風(fēng)氣．如果一位學(xué)生提出一個(gè)以自己命名的難題，在這位學(xué)生就學(xué)期間內(nèi)，將包括老師在內(nèi)無(wú)人解決，絕對(duì)可能讓這位學(xué)生甚至所有師生對(duì)這個(gè)問題“終生難忘”．戀題是問題教學(xué)的延伸與深化，陳景潤(rùn)就是在他的老師引導(dǎo)下，對(duì)哥德巴赫猜想“戀上一輩子”．

問題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，其過程是一個(gè)有機(jī)的整體．這個(gè)“整體”中的“5個(gè)探索點(diǎn)”需要教師投以更多的關(guān)注．值得指出的是，這“5個(gè)探索點(diǎn)”之間并非獨(dú)立的，而是存在一定的關(guān)系，而且，5個(gè)探索點(diǎn)之“排列組合”將產(chǎn)生針對(duì)數(shù)學(xué)問題教育的眾多探索話題，非一文所能解決．寄希望大家對(duì)這些問題進(jìn)行必要的探索．如，選題中如果注意適度出現(xiàn)一些“錯(cuò)題”以及原始數(shù)學(xué)問題情境，可以促進(jìn)學(xué)生的變題、戀題意識(shí)．加強(qiáng)戀題、鏈題、變題、顯題等教學(xué)也往往能夠幫助學(xué)生認(rèn)清一些數(shù)學(xué)問題的源頭和本質(zhì)，不被千差萬(wàn)別的數(shù)學(xué)問題所迷惑，做到“以不變應(yīng)萬(wàn)變”．又如，“顯題”工作似乎只是教師教學(xué)中對(duì)問題信息顯示的教學(xué)策略，但如果教師在顯示過程中“附加信息”運(yùn)用得當(dāng)，絕對(duì)可以讓學(xué)生產(chǎn)生變題欲望以及產(chǎn)生“鏈題”和“戀題”效應(yīng)，甚至對(duì)“選題”產(chǎn)生濃厚的興趣，等等．其實(shí)，如果引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)問題的來源，也很自然地涉及戀題、鏈題、變題、顯題及選題這5個(gè)環(huán)節(jié)．所以，平時(shí)教學(xué)不應(yīng)讓學(xué)生的視野僅局限在問題解決層面，應(yīng)該讓他們開始關(guān)心數(shù)學(xué)問題的來源，與命題者進(jìn)行“對(duì)話”，提高批判性意識(shí)和創(chuàng)新精神．

［參 考 文 獻(xiàn)］

[1] 孫新峰，孫展．江蘇省“高考錯(cuò)題”風(fēng)波[J]．新聞周刊，2003，（30）：36-37．

[2] 方均斌．例說“錯(cuò)題”及其教育功能[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2006，（5）：54-56．

[3] 方均斌．?dāng)?shù)學(xué)信息處理的批判性意識(shí)的調(diào)查與思考．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（1）：48-50．

[4] 陳清梅，鄔瑞光，邢紅軍．追尋“錢學(xué)森之問”[J]．教育科學(xué)研究，2012，（12）：38-42．

[5] 劉靜波．繁雜與復(fù)雜[J]．未來教育家，2013，（Z1）：104．

[6] 杜慶宏．開展高效數(shù)學(xué)教學(xué)的行動(dòng)研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（3）：40-43．

[7] 張奠宙．讓“開放題教學(xué)”成為“家常菜”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2004，（1）：封底．

[8] 任子朝．創(chuàng)設(shè)應(yīng)用情境考查學(xué)生素質(zhì)—談高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的考查[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1998，（1）：1-2，6．

[9] 肖春梅，喻平，顏麗增．高中生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)信念的現(xiàn)狀及對(duì)學(xué)習(xí)的影響[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（5）：87-89．

[10] 楊秋紅，方均斌．?dāng)?shù)學(xué)例題的信息呈現(xiàn)方式及其教育功能的發(fā)掘[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2013，（12）：35-38．

[11] 方均斌．用開放的眼光審視數(shù)學(xué)題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2002，（5）：19-22．

[12] 阮偉強(qiáng)．走出“變式教學(xué)”的三個(gè)誤區(qū)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2013，（9）：55-57．

[13] 范良火．義務(wù)教育教科書（數(shù)學(xué)，八年級(jí)上冊(cè)）[M]．杭州：浙江教育出版社，2012．

[14] 喻平．加工水平對(duì)具有廣義抽象關(guān)系數(shù)學(xué)問題遷移的影響[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（3）：5-8．

[15] 陳文遠(yuǎn)．鏈題——高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的有效途徑之一[J]．新疆教育，1995，（4）：209-217．

[16] 沈亞軍．略論數(shù)學(xué)教育情感領(lǐng)域教學(xué)目標(biāo)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003，12（1）：33-36．

[17] 田中偉．幸福信箱[J]．高考金刊（理科版），2012，（5）：65．

[18] 周俊敏．初中數(shù)學(xué)“說題”的探究[J]．中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2013，（6）：31．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Five Exploring Points in Mathematics Problem Teaching

FANG Jun-bin, LIANG Kai, ZHU Ling
(Wenzhou University, Zhejiang Wenzhou 325035, China)

Abstract:With the extensions of topics such as questioning, narrating problems, explaining problems, many instructional mode researches centering on mathematics problems has been put on the agenda.We think that there are currently five exploring points that we mathematics teachers need to pay particular attention to during the process of mathematics problem teaching, namely selecting, presenting, changing, linking and reflecting topics, which means reexamining the source of our mathematics problems, focusing on the presenting strategies of mathematics problems, letting students do variant training, making necessary links on related mathematics problems and strengthening reflective teaching activities on solutions of mathematics problems.

Key words:selecting; presenting; changing; linking; reflecting

作者簡(jiǎn)介：方均斌（1964—），男，浙江洞頭人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)論研究．

基金項(xiàng)目：2013年浙江省高等教育課堂教學(xué)改革研究項(xiàng)目——基于中小學(xué)教師參與實(shí)時(shí)互動(dòng)的《數(shù)學(xué)教學(xué)論》課堂教學(xué)改革（kg2013366）

收稿日期：2015–10–09

中圖分類號(hào)：G420

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004–9894（2016）01–0047–04