張應(yīng)遷??

摘要：針對(duì)圓拱在徑向均布載荷下的屈曲問(wèn)題，在基于Boussinesq、Lamb方程求解圓拱徑向臨界載荷的基礎(chǔ)上，通過(guò)采用變分法、有限單元法并經(jīng)數(shù)值驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，BEAM3單元誤差較大，并且誤差隨中心角的增大而增大，而B(niǎo)EAM188以及SHELL181單元分析結(jié)果與理論解吻合相當(dāng)好。因此，可以在實(shí)際設(shè)計(jì)當(dāng)中采用BEAM188或SHELL181單元進(jìn)行結(jié)構(gòu)臨界載荷的確定。

關(guān)鍵詞：兩鉸拱；變分法；有限單元法；ANSYS

中圖分類(lèi)號(hào)：U448.22 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

Abstract： In traditional method， the critical load of circular arch buckling is obtained by solving Boussinesq and Lamb equations. The variational method and finite element method were used to study the radial critical load of the circular arch. By numerical verification， the error of the BEAM3 element is large， and the error grows with the increase of the central angle. The results of BEAM188 element and SHELL181 element are in good agreement with theoretical results. Therefore， the BEAM188 element or SHELL181 element can be used to identify the critical load of the structure.

Key words： two-hinged arch； variational approach； finite element method； ANSYS

0 引 言

在豎向載荷作用下產(chǎn)生水平反力的曲桿結(jié)構(gòu)稱(chēng)為拱。拱在工程中有很廣泛的應(yīng)用，在公路工程中拱橋是最基本的橋型之一。

拱與梁不僅是外觀不同，更重要的是在豎向載荷作用下產(chǎn)生水平反力，這種水平反力也稱(chēng)為推力。由于水平推力的存在，拱中各截面的彎矩比曲梁式簡(jiǎn)支梁的彎矩小得多，這使拱成為一種以受壓為主的結(jié)構(gòu)。因此，拱可以用抗壓強(qiáng)度較高而抗拉強(qiáng)度低的磚、石、混凝土等材料修建，這是拱結(jié)構(gòu)的主要優(yōu)點(diǎn)。拱的缺點(diǎn)是支座要承受水平推力，因而要求具有比梁更為堅(jiān)固的基礎(chǔ)支撐結(jié)構(gòu)[1-2]。

圓拱在徑向載荷下的屈曲問(wèn)題一直是眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)。Kirchhoff最早提出拱穩(wěn)定的數(shù)學(xué)理論；Bryan第一個(gè)系統(tǒng)研究了拱的平衡穩(wěn)定；Southwell進(jìn)一步研究了彈性體的穩(wěn)定性問(wèn)題；Nikolaii對(duì)圓環(huán)和圓拱的穩(wěn)定性做了大量的研究；還有對(duì)圓拱彈性穩(wěn)定做出巨大貢獻(xiàn)的Timoshenko。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)值方法在圓拱穩(wěn)定性研究方面起的作用越來(lái)越大，Smirnov在這方面做了大量的工作，Gaber、Dinnik、Morgaevsky等在圓拱穩(wěn)定性試驗(yàn)驗(yàn)證方面進(jìn)行了很多探索。本文基于Boussinesq、Lamb方程求解圓拱徑向臨界載荷，并將變分法和有限單元法運(yùn)用到圓拱徑向臨界載荷的研究中。

1 圓拱徑向載荷作用下的面內(nèi)失穩(wěn)

圓拱在徑向載荷作用下的面內(nèi)失穩(wěn)研究主要基于2類(lèi)方程，即Boussinesq方程和Lamb方程。前者研究的重點(diǎn)是徑向位移，后者研究的重點(diǎn)則是切向位移。研究圓拱在徑向載荷下的屈曲問(wèn)題，對(duì)拱有以下3點(diǎn)基本假設(shè)：圓拱所采用的材料需滿足線彈性（即滿足胡克定律）；拱的中心線不可壓縮；作用在拱上的載荷均為保守力系。

1.1 Boussinesq方程

3 有限單元法

有限單元法是一種有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題方法。其基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫(xiě)成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)或插值函數(shù)形式構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來(lái)隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。ANSYS作為強(qiáng)大的有限元分析商業(yè)軟件，是世界范圍內(nèi)增長(zhǎng)最快的計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）軟件，能與多數(shù)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）軟件接口，如Creo、NASTRAN、Alogor、I-DEAS、AutoCAD等，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的共享和交換。同時(shí)，ANSYS軟件也是融結(jié)構(gòu)、流體、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、聲場(chǎng)分析于一體的大型通用有限元分析軟件，在核工業(yè)、鐵道、石油化工、航空航天、機(jī)械制造、能源、汽車(chē)交通、國(guó)防軍工、電子、土木工程、造船、生物醫(yī)學(xué)、輕工、地礦、水利、日用家電等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

4 數(shù)值驗(yàn)證

分別采用ANSYS中常用的3種單元來(lái)研究圓拱在徑向載荷下的屈曲問(wèn)題，即BEAM3、BEAM188、SHELL181。BEAM3單元共有3個(gè)自由度，面內(nèi)的2個(gè)平動(dòng)自由度以及垂直于該面的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，而B(niǎo)EAM188和SHELL181單元共有6個(gè)自由度，即3個(gè)平動(dòng)自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

為了驗(yàn)證ANSYS的3種單元對(duì)圓拱屈曲載荷模擬的準(zhǔn)確度，選用工程中常用的矩形截面b×h=001×0.01，材料為Q235鋼，彈性模量為2×1011 Pa，圓拱半徑R=1 m。表3、4分別列出了不同中心角α下3種單元模擬的屈曲載荷與理論解的對(duì)比，其中表3對(duì)應(yīng)的是反對(duì)稱(chēng)模態(tài)，表4對(duì)應(yīng)的是對(duì)稱(chēng)模態(tài)。圖2～4分別對(duì)應(yīng)30°、60°、90°圓拱屈曲模態(tài)，圖5、6為不同有限元單元計(jì)算結(jié)果與理論解的對(duì)比。

5 結(jié) 語(yǔ)

在求解Boussinesq以及Lamb方程的基礎(chǔ)上得到圓拱徑向臨界載荷，同時(shí)將變分法運(yùn)用到圓拱徑向臨界載荷的研究上來(lái)。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)3種方法的結(jié)果一致，在研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)通過(guò)Lamb方程可以很容易分別得到圓拱屈曲對(duì)應(yīng)的反對(duì)稱(chēng)和對(duì)稱(chēng)臨界載荷，而B(niǎo)oussinesq方程以及變分法相對(duì)要繁瑣一些。

從表3、4可以看出BEAM3單元模擬圓拱在徑向載荷作用下的屈曲載荷精度相對(duì)較差，誤差隨著角度的增加也有所增加；而B(niǎo)EAM188以及SHEL-L181單元精度較高，最大誤差不超過(guò)3%，能較好地滿足任意角度下圓拱臨界載荷的確定。從圖5、6可以看出，有限元分析中不同單元計(jì)算結(jié)果雖然和理論解有所差異，但是臨界載荷隨中心角α的變化趨勢(shì)卻是一致的。

當(dāng)然關(guān)于兩鉸圓拱在徑向載荷下的屈曲問(wèn)題還有許多考慮的因素，比如由于制造誤差導(dǎo)致的截面不均勻、安裝過(guò)程中出現(xiàn)的預(yù)應(yīng)力、施工過(guò)程導(dǎo)致的各截面曲率半徑不相等、初始缺陷、材料非線性、后屈曲等，這些都是下一步需要研究的重點(diǎn)內(nèi)容。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王勖成.有限單元法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.

[2] 張應(yīng)遷，張洪才.ANSYS有限元分析從入門(mén)到精通[M].北京：人民郵電出版社，2010.

[責(zé)任編輯：譚忠華]