基于時(shí)頻差測(cè)量的雙機(jī)無源定位的線性解析方法

郁　濤

(中國(guó)電子科技集團(tuán)第五十一所，上?！?01802)

郁　濤(1957—)，男，上海人，高級(jí)工程師，主要研究領(lǐng)域?yàn)闊o源定位；

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工程與應(yīng)用

基于時(shí)頻差測(cè)量的雙機(jī)無源定位的線性解析方法

郁濤

(中國(guó)電子科技集團(tuán)第五十一所，上海201802)

摘要：先將多普勒頻移方程中的三角函數(shù)同時(shí)用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的變量表示，然后通過聯(lián)解對(duì)應(yīng)于雙機(jī)位置處的兩個(gè)多普勒頻移方程，消去多普勒頻移方程中所包含的直角坐標(biāo)系分量，可得到一個(gè)僅包含未知徑向距離的方程。在此基礎(chǔ)上，利用基于極坐標(biāo)系的時(shí)差方程，即可直接解得目標(biāo)的距離。更進(jìn)一步，利用多普勒頻移與時(shí)差之間的關(guān)系可消去方程中所包含的多普勒頻移。由此得到僅基于時(shí)差和頻差測(cè)量的無模糊測(cè)距解析解。

關(guān)鍵詞：多普勒定位；時(shí)差；頻差；測(cè)距；機(jī)載無源定位

0引言

利用雙平臺(tái)測(cè)量目標(biāo)的TDOA-FDOA信息，理論上進(jìn)行單次測(cè)量即可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的二維定位，現(xiàn)有的關(guān)于時(shí)差和頻差的組合定位算法是在單一的直角坐標(biāo)系中進(jìn)行分析的，由此將涉及高階非線性方程，不僅得不到顯式解[1-3]，而且在求解中還會(huì)出現(xiàn)多值即模糊的現(xiàn)象，無法實(shí)現(xiàn)單次實(shí)時(shí)定位[4]。本文的分析表明，如直接在極坐標(biāo)系中對(duì)時(shí)差和多普勒頻移方程進(jìn)行分析求解，且利用時(shí)差與多普勒頻移間的關(guān)系，就能得到與多普勒頻移無關(guān)的、僅基于時(shí)差和頻差測(cè)量的單值解析解。

1頻移的時(shí)差檢測(cè)

如圖1所示，設(shè)雙機(jī)A和B同向同速沿x軸直線移動(dòng)，且限定雙機(jī)之間距離的量級(jí)，則根據(jù)幾何關(guān)系，近似有時(shí)差測(cè)向公式：

(1)

由此可得到基于角度測(cè)量的近似時(shí)差檢測(cè)公式：

(2)

式中：Δt為時(shí)差；θ目標(biāo)的到達(dá)角；vc為光速；d為短基線的長(zhǎng)度。

進(jìn)一步設(shè)目標(biāo)為固定或低速運(yùn)動(dòng)，通過利用多普勒頻移：

λfd=vsinθ

(3)

即可得到時(shí)差與頻移間的關(guān)系：

(4)

式中：λ為信號(hào)波長(zhǎng)；fd是多普勒頻移；v為探測(cè)平臺(tái)的飛行速度。

圖1　基于時(shí)頻差的雙機(jī)無源定位

2線性測(cè)距解

2.1對(duì)頻移方程的變量變換

根據(jù)圖1所示的幾何關(guān)系，由三角函數(shù)的定義，將多普勒頻移方程中的三角函數(shù)同時(shí)用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的變量來表示，對(duì)應(yīng)于兩次測(cè)量的頻移值可列出如下方程：

(5)

(6)

式中：x為直角坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)；ri為極坐標(biāo)系中的徑向距離；d為機(jī)載平臺(tái)的移動(dòng)距離。

移項(xiàng)整理后有：

(7)

(8)

兩式相減，消去未知的直角橫坐標(biāo)分量后可得到僅和未知徑向距離相關(guān)的方程：

(9)

2.2與頻移無關(guān)的測(cè)距式

一旦將時(shí)差方程：

r1-r2=vcΔt

(10)

代入頻移-距離方程(9)，可直接解出在機(jī)載平臺(tái)B處的徑向距離：

(11)

式中：Δfd=fd1-fd2為多普勒頻差，可以用實(shí)測(cè)的信號(hào)頻率的差值取代。

如將頻移與時(shí)差之間的關(guān)系式(4)代入，即可得到與多普勒頻移無關(guān)、僅基于時(shí)差和頻差測(cè)量的無源測(cè)距式：

(12)

2.3相對(duì)計(jì)算誤差

圖2給出了在不同基線長(zhǎng)度時(shí)，相對(duì)測(cè)距計(jì)算誤差隨目標(biāo)到達(dá)角的變化曲線，且目標(biāo)到達(dá)角是以機(jī)載平臺(tái)B位置處為基準(zhǔn)的。由于在推導(dǎo)過程中利用了近似時(shí)差測(cè)向方法，所以測(cè)距計(jì)算準(zhǔn)確度有所降低，模擬計(jì)算表明，相對(duì)測(cè)距計(jì)算誤差和基線長(zhǎng)度成正比，對(duì)300 km遠(yuǎn)的目標(biāo)，在基線長(zhǎng)度小于30 km 時(shí)，相對(duì)計(jì)算誤差可小于5%。

圖2　不同站距時(shí)的相對(duì)測(cè)距計(jì)算誤差

3誤差分析

用全微分方法分析由頻移、時(shí)差、速度以及平臺(tái)運(yùn)動(dòng)距離的測(cè)量誤差所產(chǎn)生的相對(duì)測(cè)距誤差，當(dāng)各觀察量的誤差都是零均值，相互獨(dú)立而標(biāo)準(zhǔn)差分別為σΔf、σΔt、σv和σd時(shí)，相對(duì)測(cè)距誤差公式為：

(13)

式中：σΔf、σΔt、σv和σd分別為頻差、時(shí)差、速度和基線距離的測(cè)量誤差均方根值。

徑向距離對(duì)各個(gè)變量的偏微分是：

(14)

(15)

(16)

(17)

圖3給出了在不同測(cè)頻均方根值時(shí)的相對(duì)測(cè)距誤差。模擬計(jì)算表明，頻差測(cè)量誤差是相對(duì)測(cè)距誤差的主要因素，且僅在頻差測(cè)量誤差小于100 Hz時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)小于5%R的技術(shù)要求。

模擬計(jì)算式所用的各個(gè)變量的測(cè)量誤差的均方根值為：σΔt=100 ns，σv=0.1 m/s，σd=20 m，其余的參量有：r1=300 km，v=100 m/s，d=3 km，λ=0.03 m。

圖4計(jì)算結(jié)果說明增大兩探測(cè)平臺(tái)之間的距離能降低測(cè)距誤差，計(jì)算所用的頻差測(cè)量誤差均方根值為1000 Hz。

圖3　不同頻差測(cè)量誤差時(shí)的相對(duì)測(cè)距誤差

圖4　不同站距時(shí)的相對(duì)測(cè)距誤差

4結(jié)語(yǔ)

本文的分析表明，如對(duì)多普勒頻移方程采用變量變換，恰當(dāng)?shù)南苯亲鴺?biāo)系的變量，則就能在極坐標(biāo)系中直接獲得目標(biāo)距離的無模糊解析解。且誤差分析表明，只要頻差測(cè)量的誤差能控制在100 Hz之內(nèi)，則在基線長(zhǎng)度較短的情況就能滿足5%R的技術(shù)要求。如頻差測(cè)量精度較低，則可通過加大兩探測(cè)平臺(tái)之間的距離來提升對(duì)目標(biāo)的測(cè)距精度。

參考文獻(xiàn)：

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郁濤(1957—)，男，上海人，高級(jí)工程師，主要研究領(lǐng)域?yàn)闊o源定位；

E-mail:18001648180@163.com

Linear Analytic Method for Double-plane Passive LocationBased on TDOA and FDOA

YU Tao

(The 51th Research Institute of CETC, Shanghai 201802 China )

Abstract:If the circular function in Doppler shift equation can be expressed concurrently as the variable in rectangular coordinate system and polar coordinate system, an equation only containing unknown radial distance can be obtained by expunging the variable in rectangular coordinate system making use of simultaneous inference for two Doppler shift equations corresponding to the location of two airplanes. On this basis, the object distance can be derived by using time difference equation based on polar coordinate system. What’s more, by expunging the Doppler shift in equation making use of the relationship between Doppler shift and time difference, we can obtain an unambiguous analytic solution of passive ranging which is only associated with time difference and frequency difference.

Key words:Doppler location; time difference; frequency difference; ranging; airborne passive location

作者簡(jiǎn)介

中圖分類號(hào)：TN953

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-5692(2016)01-029-03

收稿日期：2015-10-29

修訂日期：2015-12-29

doi:10.3969/j.issn.1673-5692.2016.01.006