王　珊(天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300072)

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保險(xiǎn)公司VaR約束下的最優(yōu)投資問(wèn)題

王珊(天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300072)

摘要：研究VaR約束下的具有隨機(jī)現(xiàn)金流的保險(xiǎn)公司投資問(wèn)題.假設(shè)一個(gè)連續(xù)時(shí)間的金融市場(chǎng)存在一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).分別研究在僅有一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)下的投資和在一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間投資的問(wèn)題.針對(duì)指數(shù)效用函數(shù)，在終端財(cái)富最大化的目標(biāo)下，結(jié)合相應(yīng)的VaR約束，通過(guò)建立和求解相應(yīng)的HJB方程，得到相應(yīng)問(wèn)題的最優(yōu)投資策略.

關(guān)鍵詞：VaR約束；HJB方程；最優(yōu)投資策略

如何合理運(yùn)用暫時(shí)閑置的大量準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)基金經(jīng)營(yíng)運(yùn)作的重要的一個(gè)環(huán)節(jié).投資能增加保險(xiǎn)公司的收益，增強(qiáng)其賠付能力，減弱保險(xiǎn)公司因巨額賠付而破產(chǎn)的可能性.

Browne[1]用連續(xù)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模擬出保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程，最早研究了指數(shù)效用函數(shù)最大化以及破產(chǎn)概率最小化目標(biāo)下的最優(yōu)投資策略問(wèn)題.Hipp和Taskar[2]用復(fù)合Poisson模型模擬盈余過(guò)程，得到以最小化破產(chǎn)概率為目標(biāo)的保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資策略.Hipp和Plum[3]運(yùn)用經(jīng)典的Cramer-Lundberg模型刻畫(huà)了保險(xiǎn)盈余過(guò)程，假設(shè)保險(xiǎn)基金僅投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，當(dāng)賠付分布是指數(shù)分布時(shí)，得到最優(yōu)投資策略的顯性表示.Liu和Yang[4]對(duì)該模型進(jìn)行了改進(jìn)，引入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，得到不同賠付分布下以最大化生存概率為目標(biāo)的保險(xiǎn)人最優(yōu)投資策略的數(shù)值解.Yang和Zhang[5]將目標(biāo)函數(shù)一般化，假設(shè)賠付過(guò)程是跳躍-擴(kuò)散過(guò)程，用HJB方程研究了使保險(xiǎn)人期望效用最大化的投資策略.Wang[6]利用不同方法將其推廣到賠付過(guò)程是一般的單增純跳躍過(guò)程，并指出最優(yōu)投資策略與賠付過(guò)程無(wú)關(guān).但上述研究多數(shù)僅考慮一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).Bai和Guo[7]將一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資推廣到多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，用HJB方程研究了最優(yōu)比例再保險(xiǎn)和投資的關(guān)系.

然而如果只考慮投資者的終端財(cái)富最大化，得出的投資決策往往會(huì)導(dǎo)致終端財(cái)富相當(dāng)大的概率出現(xiàn)在取值較小的區(qū)域，這意味著最佳的終端財(cái)富可能會(huì)出現(xiàn)大的缺口風(fēng)險(xiǎn).為了防止極端局面出現(xiàn)給投資者造成重大損失，本文考慮引入風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量工具―在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)，限制暴露于市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn).

VaR方法已為各領(lǐng)域的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估者所廣泛使用，其是指在正常的市場(chǎng)條件和一定的置信水平下，某一證券組合在未來(lái)特定的一段時(shí)間內(nèi)的最大可能損失.VaR衡量風(fēng)險(xiǎn)簡(jiǎn)單易操作，可事前計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)，其易于計(jì)算組合風(fēng)險(xiǎn)的特點(diǎn)使得其在眾多金融機(jī)構(gòu)與監(jiān)管機(jī)構(gòu)中被廣泛使用.

認(rèn)識(shí)到限制風(fēng)險(xiǎn)通常不是一個(gè)投資者的主要目的， 投資者想限制他們的風(fēng)險(xiǎn)但希望預(yù)期效用最大化.這引出了在風(fēng)險(xiǎn)約束下的最優(yōu)隨機(jī)控制問(wèn)題.Alexander和Baptista[8-9]研究了靜態(tài)(單階段)VaR與CVaR約束下的最優(yōu)組合決策問(wèn)題.Basak和Shapiro[10]通過(guò)加入在一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的約束限制研究了效用最大時(shí)的最優(yōu)投資策略.Yiu[11]在全部資產(chǎn)上運(yùn)用約束得到了最優(yōu)交易策略. Pirvu[12]研究了約束下對(duì)數(shù)和指數(shù)效用下的最優(yōu)投資和消費(fèi)問(wèn)題.

Cuoco[13]研究了風(fēng)險(xiǎn)約束下的投資者的動(dòng)態(tài)連續(xù)情況下的投資策略.他假設(shè)投資者要滿足連續(xù)的風(fēng)險(xiǎn)限制.Chen[14]研究了VaR約束下以最小破產(chǎn)概率為目標(biāo)的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)策略.Ye和Li[15]考慮了VaR約束下的最小均值―方差模型下的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資問(wèn)題.假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)中只有一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可供投資者選擇投資.而實(shí)際上，為使保險(xiǎn)公司安全運(yùn)行，往往要求其必須將部分資金投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上.

本文在Ye和Li的研究的基礎(chǔ)上，擴(kuò)充了資本市場(chǎng)資產(chǎn)的種類，考慮了當(dāng)市場(chǎng)中擁有一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)的投資策略.同時(shí)考慮了兩種特殊情形時(shí)的投資問(wèn)題，包括Ye和Li的研究的僅投資于一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形，以及投資于一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)的情形.本文選擇指數(shù)效用函數(shù)研究最大化財(cái)富終端問(wèn)題.最大化財(cái)富終端效用滿足投資者的收益最大的需求，VaR約束又限制了風(fēng)險(xiǎn)使其在投資者可接受的風(fēng)險(xiǎn)范圍內(nèi).

1投資于一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)的投資模型

1.1連續(xù)時(shí)間投資模型

本文假設(shè)所有的隨機(jī)過(guò)程都適應(yīng)于過(guò)濾空間(Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t,P)，這里Ft是通常概率空間中的過(guò)濾.

本文假設(shè)市場(chǎng)中僅有一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可供選擇，其中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)包括債券或銀行賬戶，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)包括股票或基金.假設(shè)初始時(shí)刻為0，終止時(shí)刻為T.無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格為Bt，且滿足如下方程：

dBt=r0Btdt

(1)

這里r0是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格分別為St，服從幾何布朗模型：

(2)

將公司的資產(chǎn)看成一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)金流，相應(yīng)的問(wèn)題簡(jiǎn)化為在隨機(jī)現(xiàn)金流的基礎(chǔ)上的投資問(wèn)題.假設(shè)公司在t時(shí)刻的資產(chǎn)(即隨機(jī)現(xiàn)金流)為Vt，它可以用帶漂移率α，擴(kuò)散系

(3)

將保險(xiǎn)公司的消費(fèi)也同樣看成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，記為：

(4)

這里c>0；k>0.假設(shè)消費(fèi)過(guò)程與盈余過(guò)程和投資問(wèn)題之間沒(méi)有聯(lián)系.

(5)

1.2在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)

(6)

為了得到Xt+τ-Xt，將式(6)改寫(xiě)為積分形式

(7)

這里x > 0為資產(chǎn)的最初價(jià)值，由式(7)有

(8)

假設(shè)投資策略在[t,t+τ]內(nèi)為固定的，即投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)fs≡f.

由式(8)得，在給定[t,t+τ]固定的投資策略f和時(shí)刻t的資產(chǎn)價(jià)值Xt=X的情況下，

(9)

命題1(VaR的計(jì)算)

(10)

這里Φ和Φ-1(.)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其逆分布.

命題的證明：

P(Xt+τ-Xt≤L|Ft)

這里

Z=

經(jīng)整理有，

1.3問(wèn)題的闡述

(11)

取效應(yīng)函數(shù)為保險(xiǎn)數(shù)學(xué)中常用的指數(shù)函數(shù)

(12)

命題2(VaR約束的計(jì)算)滿足式(11)中VaR約束的f為：

(13)

命題的證明：

要計(jì)算出滿足以下VaR約束的f：

等價(jià)于計(jì)算

將方程改寫(xiě)為

(14)

方程有兩個(gè)相異的解，分別為

1.4無(wú)約束時(shí)的投資策略

在無(wú)VaR約束時(shí)，只需解決

(15)

定理1在沒(méi)有VaR約束情況下，t時(shí)刻終端財(cái)富最大的最優(yōu)策略為

(16)

公司最優(yōu)價(jià)值為

(17)

其中

(18)

定理的證明：由Fleming和Rishel，相應(yīng)的HJB方程可寫(xiě)為：

(19)

為求解最優(yōu)投資策略f*，可對(duì)f求一階偏導(dǎo)，

(20)

將式(20)代入式(1)，有

(21)

積分，并考慮初值h(0)=0.可得式(18).再將Vx，Vxx代入f*，得到最優(yōu)投資策略.

1.5帶有VaR約束的最優(yōu)投資問(wèn)題

(22)

(23)

由于情況1)概率較小，且與情況2)、3)具有相似性，所以我們僅求解情況2)、3).由上述分析可知，當(dāng)f*∈[f2,+∞)時(shí)，最優(yōu)投資策略仍為f*，計(jì)算不用重復(fù).現(xiàn)只需將時(shí)f

將f2代入式(19)有，

其中，λ>0,γ>0,θ>0.分別對(duì)其求關(guān)于x,t的偏導(dǎo)數(shù)，代入上述方程有：

(at+r0a(t))x+ht+F1a(t)-G1θa2(t)=0

由分立變量法，對(duì)任意x等式都成立，將等式分解成兩部分，解出

同理可求得情況3)的解.所以情況2)、3)的投資價(jià)值方程為：

V(t,x)=

V(t,x)=

2僅有一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資模型

2.1連續(xù)時(shí)間投資模型

假設(shè)市場(chǎng)中只有一項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可供選擇，其中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)包括股票或基金.假設(shè)初始時(shí)刻為0，終止時(shí)刻為T.因此投資者的財(cái)富過(guò)程為：

(24)

2.2在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)

命題1(VaR的計(jì)算)

(25)

這里Φ(·)和Φ-1為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其逆分布.

2.3問(wèn)題的闡述

可以將問(wèn)題描述為：

(26)

取效應(yīng)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，形式如式(12).

命題2(VaR約束的計(jì)算)滿足(26)中VaR約束的f為：

(27)

2.4無(wú)VaR約束時(shí)的投資策略

在無(wú)約束時(shí)，只需解決

(28)

定理3使得中觀財(cái)富最大的t時(shí)刻最優(yōu)策略為

(29)

公司最有價(jià)值為

(30)

其中

(31)

2.5帶有VaR約束的最優(yōu)投資問(wèn)題

(32)

由于情況一概率較小，且與情況二三具有相似性，所以我們僅求解情況二三.由上述分析可知，當(dāng)f*∈[f2,+∞)時(shí)，最優(yōu)投資策略仍為f*，計(jì)算不用重復(fù).現(xiàn)只需將f

整理方程，有

應(yīng)用傅里葉變換，將終端財(cái)富化為初始財(cái)富，有：

假設(shè)解的形式為V(t,x)=(x-a)2+Axt+Bt2+Ct，分別求關(guān)于x,t的偏導(dǎo)數(shù)，解出

同理可求得情況3)的解.所以最優(yōu)投資方程為

V(t,x)=

V(t,x)=

其中h(T-t)形式如式(31).

3結(jié)語(yǔ)

現(xiàn)有對(duì)保險(xiǎn)公司的研究多集中于投資與再保險(xiǎn)策略的研究，但是多數(shù)僅以終端財(cái)富效應(yīng)最大化為目標(biāo)函數(shù)，很少考慮到將最小化風(fēng)險(xiǎn)作為選擇最優(yōu)投資策略的必要條件.本文在最小化VaR風(fēng)險(xiǎn)下約束下，針對(duì)指數(shù)效用, 在最大化終端財(cái)富目標(biāo)下，探討了保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資策略，還有進(jìn)一步改進(jìn)的地方， 比如用其他風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法表示風(fēng)險(xiǎn)，如CVaR，TCE條件下的最優(yōu)投資策略.還可以同時(shí)考慮再保險(xiǎn)政策，分紅政策等，使研究更為豐富，更貼近實(shí)際.

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Optional investment problem of insurance company underVaRconstraints

WANG Shan

(School of Science, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Abstract：In this paper, the investment problem of the insurance company which has stochastic cash flow under the VaR constraints was studied. Assumed that there was a riskless asset and a risky asset in the financial market and the financial market was a continuing market.In this paper the problem of investment were studied in two cases. One was that there was only one risky asset in the market and the other was that there was a riskless asset and a risky asset in the market. According to the exponential utility function and the goal of maximizing the terminal wealth,get the optimal investment strategy by establishing and solving the corresponding HJB equation under the corresponding VaR constraints.

Key words：VaR constraints; HJB equation;optional investment strategy

中圖分類號(hào)：O29

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-0946(2016)01-0112-07

作者簡(jiǎn)介：王珊(1989-)，女，碩士，研究方向：金融數(shù)學(xué).

收稿日期：2014-12-23.