謝寶昌

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海， 200240)

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電磁波極化的圖形化復(fù)數(shù)教學(xué)研究

謝寶昌

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海， 200240)

摘要：本文利用電磁波的基本特性，將空間任意方向傳播的電磁波變換到沿Z軸正方向傳播的形式，然后采用矢量空間和復(fù)平面重合的形式來描述電場(chǎng)強(qiáng)度矢量合成，從而將電磁波的極化問題轉(zhuǎn)換成正、反轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的分析，利用圖形直觀地展現(xiàn)電磁波的極化規(guī)律，實(shí)踐表明，圖形化復(fù)數(shù)教學(xué)方法有助于學(xué)生理解電磁波的極化，也為“電機(jī)學(xué)”課程空間磁勢(shì)分析方法打下基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：電磁波; 極化; 圖形化; 復(fù)空間

0引言

電磁波的極化是“電磁場(chǎng)”課程的重要內(nèi)容之一，極化是指空間固定點(diǎn)電磁波場(chǎng)強(qiáng)矢量端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，它取決于場(chǎng)源的性質(zhì)，與發(fā)射天線有關(guān)，同時(shí)影響接收天線的方向。電磁波的極化分為線極化、圓極化和橢圓極化，其中圓極化與橢圓極化又有左旋和右旋之分。如何在教學(xué)過程中，既強(qiáng)調(diào)基本概念，又能直觀地反映極化方式，同時(shí)充分利用學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)，是課堂教學(xué)的關(guān)鍵。教材通常采用的場(chǎng)強(qiáng)矢端軌跡解析表達(dá)法難以達(dá)到上述要求[1-4]。

本文針對(duì)場(chǎng)強(qiáng)矢量只有垂直于傳播方向的兩個(gè)分量的特點(diǎn)，采用復(fù)平面表達(dá)場(chǎng)強(qiáng)矢量端點(diǎn)軌跡，用圖形化形式形象而直觀地展現(xiàn)電磁波的極化方式，解決此問題。該圖形化教學(xué)方法也為電氣工程專業(yè)“電機(jī)學(xué)”課程空間磁勢(shì)波形分析打下基礎(chǔ)。

1電場(chǎng)強(qiáng)度的一般表達(dá)式

均勻平面電磁波的特點(diǎn)是波矢量、電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量相互正交，而且滿足右手螺旋關(guān)系。因此只要分析電場(chǎng)強(qiáng)度的極化方式，磁場(chǎng)強(qiáng)度具有類似的結(jié)論。

本文用粗體表示矢量，考慮一般形式的均勻平面電磁波，令θ=ωt-k·r，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量表示為

E=axEmxcos(θ+φx)+

ayEmycos(θ+φy)+azEmzcos(θ+φz)

(1)

其中，ω為角頻率，波矢量k=axkx+ayky+azkz，ak為波矢量的單位矢量，r為空間位置矢徑，E的各分量幅值Emx，Emy和Emz不等于零，初始相位分別為φx，φy和φz。波矢量與電場(chǎng)強(qiáng)度矢量滿足正交約束關(guān)系

k·E=0

(2)

2空間坐標(biāo)變換

由式(1)和(2)可以簡(jiǎn)化電場(chǎng)強(qiáng)度矢量

E=A1cos(θ+φx)+A2cos(θ+φy)

(3)

其中，矢量A1和A2分別以各自的單位矢量和模的積表示。

(4)

式(4)中矢量A1和A2既不重合也不垂直，但它們都與波矢量垂直，兩矢量夾角β滿足

a1·a2=cosβ

(5)

a1×a2=cosksinβ

(6)

如圖1所示，將空間直角坐標(biāo)系xyz變換為XYZ，使得Z軸正方向與波矢量方向一致，三個(gè)坐標(biāo)軸單位矢量分別為

ax=a1，ay=ak×a1，aZ=ak

(7)

由式(4)和圖1可得，單位矢量a1位于zox平面且與波矢量k及其zox平面上的投影矢量kzx=axkx+azkz垂直。單位矢量a2位于yoz平面且與k及其yoz平面上的投影矢量kyz=ayky+azkz垂直。

3復(fù)平面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的圖形描述

為了簡(jiǎn)便起見，利用標(biāo)量積不變性k·r=kZ，令θ=ωt-kZ，將式(4)代入式(3)后得到

E=a1A1cos(θ+φx)+a2A2cos(θ+φy)

(8)

式(8)表明電場(chǎng)強(qiáng)度在XYZ坐標(biāo)系中只有兩個(gè)分量，分別沿單位矢量a1和a2變化且幅值分別為A1和A2，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量端點(diǎn)軌跡是這兩個(gè)分量的合成。

現(xiàn)以X軸為實(shí)軸，Y軸為虛軸建立復(fù)平面，單

(a) xyz坐標(biāo)系　　　 (b) XYZ坐標(biāo)系圖1　波矢量與電場(chǎng)強(qiáng)度分量單位矢量

位矢量a1和a2的復(fù)數(shù)形式分別為1和ejβ，由式(5)得到β=cos-1(a1·a2)，電場(chǎng)強(qiáng)度表示為復(fù)數(shù)形式

E=A1cos(θ+φx)+ejβA2cos(θ+φy)

(9)

式(9)是電場(chǎng)強(qiáng)度矢量在復(fù)平面中的形式，與電磁場(chǎng)理論中時(shí)諧場(chǎng)復(fù)數(shù)形式是完全不同的[1-4]。

利用歐拉公式將正弦量表示為復(fù)數(shù)形式

2cos(θ+φ)=ej(θ+φ)+e-j(θ+φ)

(10)

式(10)表明一個(gè)正弦量可以看成是兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之和，由于角度θ是隨時(shí)間增長(zhǎng)而增大的，因此這兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上是旋轉(zhuǎn)的，旋轉(zhuǎn)角速度等于時(shí)間變化角頻率ω，這里的φ表示φx或φy。

式(9)中電場(chǎng)強(qiáng)度的a1分量用式(10)表示為

(11)

式(11)表明沿X軸隨時(shí)間變化的正弦波可以表示為以X軸為對(duì)稱軸的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)分量E1p、E1n之和，它們的幅值相等但大小等于正弦波幅值一半，旋轉(zhuǎn)角速度都等于時(shí)間角頻率而轉(zhuǎn)向相反的復(fù)數(shù)表示，如圖2(a)所示。

類似地，式(9)中電場(chǎng)強(qiáng)度的a2分量表示為

(12)

式(12)表明沿單位矢量a2方向隨時(shí)間變化的正弦量可以表示為以a2為對(duì)稱軸的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)分量E2p、E2n之和，它們的幅值相等但大小等于正弦波幅值一半、旋轉(zhuǎn)角速度都等于時(shí)間角頻率而轉(zhuǎn)向相反，如圖2(b)所示。

圖2表明，一個(gè)線極化波由兩個(gè)幅值和轉(zhuǎn)速相同但轉(zhuǎn)向相反的圓極化波合成，線極化波矢量位置是這兩個(gè)圓極化波矢量的對(duì)稱軸。

復(fù)平面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度有兩個(gè)逆時(shí)針正向旋轉(zhuǎn)的分量E1p和E2p，以及兩個(gè)順時(shí)針反向旋轉(zhuǎn)的分量E1n

(a) a1分量旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)表示 (b) a2分量旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)表示

和E2n，它們分別合成正向和反向旋轉(zhuǎn)分量，如圖3所示。合成后，電場(chǎng)強(qiáng)度正反轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)形式分別為

(13)

(14)

4電磁波的極化方式

由幾何圖形可以知道，復(fù)平面上兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角速度相同而旋轉(zhuǎn)方向相反的復(fù)數(shù)合成是橢圓，但當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的幅值相同時(shí)，橢圓退化為直線段，當(dāng)其中一個(gè)復(fù)數(shù)的模等于零時(shí)，橢圓變?yōu)閳A。

4.1復(fù)數(shù)模相同

如圖4所示，兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相同，那么可以得到

sin(φy-φx)=0

(15)

解得φy-φx=nπ，其中n為整數(shù)。這表明式(8)是兩個(gè)相位相同或相反的線極化波合成，于是得到

E=[a1A1+(-1)na2A2]cos(θ+φx)

(16)

式(16)表明電場(chǎng)強(qiáng)度矢量是方向固定而大小隨時(shí)間正弦規(guī)律變化的線極化波。兩個(gè)相位相同或相反的線極化波合成一個(gè)線極化波。

4.2復(fù)數(shù)模乘積等于零

若Ep=0，由式(13)得φy-φx+β=(2n-1)π且A1=A2，電場(chǎng)強(qiáng)度只有反轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)，代入式(14)可得E=En=A2e-j(θ+φx-β-π/2)sin(φx-φy)

(17)

圖3　正、反轉(zhuǎn)復(fù)數(shù) 　　圖4 復(fù)數(shù)模相同的線極化波

反轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的模恒定，因此空間固定點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量端點(diǎn)軌跡在復(fù)平面上隨時(shí)間變化是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圓，電磁波是左旋圓極化波，如圖5(a)所示。

若En=0，由式(14)得φy-φx-β=(2n-1)π且A1=A2，電場(chǎng)強(qiáng)度只有正轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)，代入式(13)可得

E=Ep=A2ej(θ+φx+β-π/2)sin(φx-φy)

(18)

電場(chǎng)強(qiáng)度矢量端點(diǎn)軌跡在復(fù)平面上是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圓，電磁波是右旋圓極化波，如圖5(b)所示。

(a) 反轉(zhuǎn)左旋圓極化波 (b) 正轉(zhuǎn)右旋圓極化波圖5　復(fù)數(shù)模乘積為零的電磁波圓極化

4.3復(fù)數(shù)模不同且不等于零

將式(13)和(14)改寫為模和復(fù)角形式，再合成電場(chǎng)強(qiáng)度矢量得到

E=Ep+En=Apej(θ+φx+φp)+Ane-j(θ+φx+φn)

(19)

當(dāng)2(θ+φx)+φp+φn=2nπ時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)到重合位置，電場(chǎng)強(qiáng)度最強(qiáng)，數(shù)值上等于Ap+An。

當(dāng)2(θ+φx)+φp+φn=(2n-1)π時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)到相反方向的位置，電場(chǎng)強(qiáng)度最弱，數(shù)值上等于|Ap-An|，方向處在模大的復(fù)數(shù)位置。因此合成電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)數(shù)的轉(zhuǎn)向取決于模大的復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)向。

令θe=θ+φx+(φp+φn)/2，將式(19)改寫為

E=(Apejθe+Ane-jθe)ej(φp-φn)/2

(20)

式(20)表明場(chǎng)強(qiáng)矢端軌跡是傾角等于(φp-φn)/2的橢圓。橢圓的旋轉(zhuǎn)方向取決于兩個(gè)旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的模。若Ap>An>0，則兩個(gè)幅值不同、旋轉(zhuǎn)角速度相同但轉(zhuǎn)向相反的復(fù)數(shù)合成一個(gè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的右旋橢圓極化波，如圖6(a)所示。若An>Ap>0，則合成一個(gè)左旋橢圓極化波，如圖6(b)所示。

(a) 正轉(zhuǎn)右旋橢圓極化波 (b) 反轉(zhuǎn)左旋橢圓極化波圖6　復(fù)數(shù)模非零且不同的電磁波橢圓極化

(謝寶昌文)

5結(jié)語

本文利用電磁波場(chǎng)矢量與傳播方向正交的特性，將任意方向傳播的電磁波變換到沿Z軸正方向傳播的形式，使得電場(chǎng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量位于XY復(fù)平面內(nèi)，從而將電磁波的極化問題轉(zhuǎn)換成分析兩個(gè)正、反轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)合成的矢端軌跡的問題，利用圖形直觀地展現(xiàn)電磁波的極化規(guī)律，實(shí)踐表明，圖形化復(fù)數(shù)教學(xué)方法有助于學(xué)生理解電磁波的極化，也為“電機(jī)學(xué)”課程空間磁勢(shì)與磁場(chǎng)合成分析方法打下基礎(chǔ)。

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Research on Graphic Visualization Complex Teaching of Electromagnetic Wave Polarization

XIE Bao-chang

(SchoolofElectronicInformationandElectricalEngineering,ShanghaiJiaoTongUniversity,Shanghai200240，China)

Abstract：Spatial coordinate transformation is firstly introduced to make the wave propagation align with the direction of Z-axis based on orthogonal property of field and wave vectors in this paper. Then combination of vector and complex space is adopted to describe the electric field waveform as rotating complex vectors in counterparts. Thus graphic visualization is illustrated to analyze the polarization of the electromagnetic wave, which helped students to deeply understand the concept of polarization and solidify foundation for further analyzing spatial magneto-motive force of Electric Machinery.

Keywords：electromagnetic wave; polarization; graphic visualization; complex space

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-0686(2016)01-0046-04

中圖分類號(hào)：TM151

作者簡(jiǎn)介：謝寶昌(1965-)，男，博士，副教授，主要從事電機(jī)與電器的教學(xué)與研究工作，E-mail：bcxie@sjtu.edu.cn

收稿日期:2015-02-08;修回日期:2015-09-21