石川千周徐斌張永濤，2杜冬李昊

（1上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240）

（2上海利正衛(wèi)星應用技術有限公司，上海 200240）

點式連接航天器等效剛度模態(tài)分析方法

石川千1周徐斌1張永濤1，2杜冬1李昊1

（1上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240）

（2上海利正衛(wèi)星應用技術有限公司，上海 200240）

針對點式連接航天器受接觸影響而產(chǎn)生的非線性特性，提出了利用線性等效剛度代替非線性剛度以計算點式連接航天器模態(tài)的分析方法。首先采用有限元軟件對點式連接航天器的非線性剛度進行分析，并基于非線性振動和結(jié)構(gòu)動力學的原理，建立了等效剛度的計算方法。將等效剛度代入廣義彈簧單元，最終獲得點式連接航天器的簡化模型并分析其模態(tài)。模態(tài)分析結(jié)果與試驗結(jié)果對比顯示，相比于傳統(tǒng)分析方法，基于等效剛度的簡化模型精確地預測了點式連接航天器的模態(tài)，有利于提高點式連接航天器的動力學仿真分析精度。

航天器；點式連接；模態(tài)；等效剛度；非線性特性

1 引言

隨著航天技術應用時代和外層空間實用時代的到來，結(jié)構(gòu)大型化、復雜化和模塊化已成為航天器的一個發(fā)展趨勢［1］，點式連接多被應用在航天器本體和部件之間、艙段之間、航天器與運載火箭之間以及航天器之間。在保證強度和剛度的要求下，點式連接的螺栓數(shù)量（4～12個）一般少于普通艙段連接的螺栓數(shù)量（48～64個，參見國內(nèi)外典型衛(wèi)星平臺），而且點式連接結(jié)構(gòu)簡單輕便，滿足了航天器輕量化的指標要求，并具有可靠性高、承載能力強的特點。例如某大型高軌衛(wèi)星艙段間連接節(jié)圓直徑1.2m，采用6個爆炸螺栓連接；又如大型運載火箭長征五號（CZ－5）星箭連接節(jié)圓直徑3m，采用12個螺栓連接。由于連接結(jié)構(gòu)一般具有應力集中、邊界非線性的問題，還可能伴隨材料非線性、幾何非線性的情況，并與預緊力、摩擦力等因素密切耦合［2］，導致此類結(jié)構(gòu)的連接剛度下降，動力學特性分析較為困難，成為長期關注的研究熱點。特別是，連接剛度變化會直接影響航天器的模態(tài)特性［3－5］，比如文獻［6］發(fā)現(xiàn)連接剛度的損失對系統(tǒng)的彎曲模態(tài)有嚴重的影響。而航天器的基頻及其對應模態(tài)是航天器結(jié)構(gòu)設計的重要特性。因此，準確描述包含點式連接結(jié)構(gòu)的動力學行為是一個極具應用價值，同時也亟待解決的問題。

目前，由于有限元軟件不具備直接計算非線性連接結(jié)構(gòu)模態(tài)的能力，傳統(tǒng)的方法重點關注連接部位的簡化建模方式，將非線性連接結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為線性結(jié)構(gòu)，主要有三種方式：第一種是全固連建模方法，忽略連接的存在，將模型建立成不考慮螺栓連接和接觸界面的全固連連續(xù)系統(tǒng)［6］，但是由于機械連接結(jié)構(gòu)是不連續(xù)的，加之摩擦對接觸界面的影響，使計算頻率明顯大于試驗數(shù)據(jù)，給結(jié)構(gòu)設計帶來風險；第二種是節(jié)點約束方法，僅約束螺栓孔附近的區(qū)域［7］，此方法確實有效降低了固有頻率，但由于結(jié)構(gòu)的接觸面積隨載荷變化，其忽略了結(jié)構(gòu)壓縮狀態(tài)和彎曲狀態(tài)接觸面積的變化情況，使點式連接結(jié)構(gòu)計算頻率偏低，增加了不必要的設計成本；第三種方法用桿單元、彈簧單元等模擬螺栓結(jié)構(gòu)［8］，這種方法同樣沒有考慮接觸面積隨載荷的變化情況；所以這三種簡化建模方法均不能真實反映連接特性。尤其針對點式連接結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)的計算結(jié)果往往與試驗結(jié)果相去甚遠，例如，當前國內(nèi)在研的某大型衛(wèi)星（上下串聯(lián)的雙星）的發(fā)射質(zhì)量是3.9t，采用長征三號丙運載火箭（CZ－3C）發(fā)射，雙星之間采用6個均布的分離螺母進行連接。運載火箭要求該衛(wèi)星的橫向一階頻率大于10Hz，基于傳統(tǒng)的模態(tài)分析方法，建立兩種線性模態(tài)分析模型：第一種僅將雙星連接界面的6個連接點節(jié)點約束，計算頻率為8Hz；第二種雙星界面全部固連，計算頻率為15Hz，兩者差別高達87.5%，根本無法通過傳統(tǒng)方法考量結(jié)構(gòu)的真實模態(tài)。近十余年來，伴隨著大規(guī)模工程結(jié)構(gòu)仿真預測，發(fā)展起來一種描述接觸界面間本構(gòu)關系模型的方法，以模擬連接結(jié)構(gòu)的動力學行為［9－10］，但是這些本構(gòu)關系模型對參數(shù)有嚴格的要求，往往需要從大量的試驗中獲得，因而難以推廣。

本文提出一種通過等效剛度計算航天器模態(tài)的方法。利用有限元模型［11－13］并結(jié)合非線性振動［14］和結(jié)構(gòu)動力學［15］的原理計算點式連接的等效剛度。然后將等效剛度賦予點式連接航天器簡化模型進行模態(tài)分析，與試驗數(shù)據(jù)對比，驗證了此方法的有效性。

2 點式連接航天器模態(tài)與等效剛度分析

2.1 模態(tài)分析

為了準確計算點式連接航天器的模態(tài)，本研究采用廣義彈簧單元［16］，建立點式連接航天器有限元簡化模型，通過給廣義彈簧單元賦予連接剛度，可以準確計算點式連接航天器的模態(tài)。具體步驟為：

（1）靜剛度計算：根據(jù)航天器結(jié)構(gòu)，采用有限元分析軟件進行接觸分析，選擇點式連接局部部位建立有限元接觸分析模型，計算其3個方向的力－位移曲線和力矩－轉(zhuǎn)角曲線，進一步計算拉壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)靜剛度曲線。

（2）等效剛度計算：根據(jù)本文2.2節(jié)所述的等效剛度計算方法，處理步驟1獲得的靜剛度曲線，分別計算軸向拉壓等效剛度和彎曲等效剛度。

（3）航天器模態(tài)計算：建立航天器有限元模態(tài)分析模型，將點式連接部位用廣義彈簧單元代替，將步驟2所得的等效剛度結(jié)果賦予廣義彈簧單元，計算航天器的模態(tài)。

但是連接剛度隨外激勵的變化具有非線性特性，通過商用有限元軟件對點式連接部位建立精細化有限元模型，能夠獲得點式連接的3條平動剛度曲線和3條轉(zhuǎn)動剛度曲線，大量研究表明，除了扭轉(zhuǎn)剛度曲線基本是線性的，其他連接剛度曲線都具有明顯的非線性特性。但廣義彈簧單元需要被賦予準確的剛度值才能計算點式連接的模態(tài)，如何通過非線性剛度曲線計算廣義彈簧單元的剛度值（本文稱為等效剛度），成為點式連接航天器模態(tài)分析的關鍵。因此，下文將圍繞等效剛度計算進行深入探討。

2.2 等效剛度分析

為了獲得等效剛度，這里采用非線性振動［14］和結(jié)構(gòu)動力學［15］的原理，計算非線性連接剛度曲線的等效剛度。圖1是某航天器的器箭艙段連接結(jié)構(gòu)示意圖，它采用螺栓－法蘭點式連接結(jié)構(gòu)。為了便于理解，以圖1坐標系為例介紹連接等效剛度的計算方法。因為航天器一般具有對稱性，剪切剛度Ky＝Kz（Ky是y方向的剪切剛度，Kz是z方向的剪切剛度），彎曲剛度Kθy＝Kθz（Kθy是y方向的彎曲剛度，Kθz是z方向的彎曲剛度，θ為轉(zhuǎn)角）。同時，點式連接航天器一般為長細結(jié)構(gòu)，剪切剛度Ky（Kz）對結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響較?。?7］，因此，本文將重點計算軸向拉壓等效剛度Kx、彎曲等效剛度Kθy（Kθz）和扭轉(zhuǎn)等效剛度Kθx，并假設剪切剛度為軸向拉壓剛度的10倍，即Ky（Kz）＝10 Kx。

圖1 點式器箭艙段連接結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Separation nuts and joined parts

由于扭轉(zhuǎn)剛度曲線是線性的，可以直接讀取剛度值，而拉壓剛度曲線和彎曲剛度曲線具有明顯的非線性特性，須要計算等效剛度。

令K為點式連接非線性系統(tǒng)（軸向拉壓或彎曲）的等效剛度，由結(jié)構(gòu)動力學［15］可知

式中：T是非線性系統(tǒng)（軸向拉壓或彎曲）自由振蕩的運動周期，m是外力作用點處的集中質(zhì)量。假設連接結(jié)構(gòu)為保守系統(tǒng)，采用非線性振動［14］中計算分段線性保守系統(tǒng)的方法計算等效剛度。

2.2.1 軸向拉壓等效剛度

大量研究表明，點式連接的拉伸和壓縮剛度通常存在較大差異，因此整體顯示出非線性特性［3］（參見3.1節(jié)）。忽略零點過渡段，點式連接在僅受拉或者受壓時均可簡化為獨立的線性保守系統(tǒng)。保守系統(tǒng)的動力學方程一般形式為

艙段連接系統(tǒng)的拉壓恢復力f（x）是位移x的分段函數(shù)，

式中：KxT和KxC分別是拉伸段和壓縮段的剛度，對應的勢能和相軌跡方程分別為

式中：V（x）是保守系統(tǒng)的勢能，Em1和Em2分別是系統(tǒng)的拉伸段和壓縮段的機械能。由相軌跡方程（6）可知，當速度y＝0時，得拉伸段和壓縮段的幅值分別為

2.2.2 彎曲等效剛度

前期試驗顯示，點式連接的彎曲剛度具有分段線性特征（參見3.1節(jié)）。當外載荷較小時，彎曲剛度較?。浑S著載荷的增加，彎曲剛度增大。忽略過渡段，將彎矩作用下的點式連接簡化為分段線性系統(tǒng)，則對應的彎曲恢復力f（θ）是轉(zhuǎn)角θ的分段線性函數(shù)：

式中：KI和KII分別是小剛度段和大剛度段線性系統(tǒng)的剛度，θ1是彎曲剛度改變時對應的角度值。

一般地，在力學模態(tài)試驗中，小剛度段范圍較窄，彎曲剛度很快從小剛度段過渡到大剛度段，所以彎曲等效剛度包括小剛度KI和大剛度KII兩部分，推導過程參考軸向拉壓等效周期的計算方法，彎曲方向運動的周期為

將式（12）代入式（1）獲得彎曲等效剛度為

3 典型衛(wèi)星承力筒結(jié)構(gòu)模態(tài)分析算例

考慮到承力筒是國內(nèi)外航天器極為常見的主承載結(jié)構(gòu)，如DFH－3、DFH－4、SAST3000、SAST5000、EuroStar3000、AlphaBus等衛(wèi)星平臺。因此參照航天器的典型艙段連接結(jié)構(gòu)，設計了一個衛(wèi)星承力筒模型（見圖2），由上承力筒1、下承力筒2和正方形配重塊組成，通過若干個M6的螺栓將兩筒連為一體（螺栓數(shù)目分別取4，8，16，24，32，48個），螺栓數(shù)目的遞增代表了從點式連接過渡到普通艙段連接。模型尺寸如圖2所示，材料參數(shù)見表1。

圖2 衛(wèi)星承力筒幾何模型Fig.2 Assembled structure with bolted joints

表1 衛(wèi)星承力筒模型材料特性Table 1 Material properties of bolted joints

為了計算連接部位的等效剛度，取螺栓法蘭區(qū)域建立三維有限元分析模型，尺寸如圖3所示。外力作用點位于承力筒1上表面中點，與承力筒1上表面耦合約束，承力筒2的下表面固支約束。采用ABAQUS有限元軟件對模型進行分析。有限元模型中，上下承力筒、法蘭和螺栓均采用8節(jié)點實體單元。螺栓與法蘭界面、上下法蘭界面之間建立接觸（如圖3的粗實線所示），接觸特性為法向硬接觸、切向庫倫摩擦（摩擦因數(shù)根據(jù)機械設計手冊取0.05）。在每組工況下，參考緊固件擰緊力矩標準，螺栓的預緊力取4000N。模型約有293 472個單元和364 928個節(jié)點，可以滿足計算收斂性的需求。

圖3 螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.3 FEM bolted flange joints

3.1 衛(wèi)星承力筒連接剛度曲線

如圖4所示，拉力FxT施加在外力作用點處，通過ABAQUS軟件計算得到作用點的拉伸位移uxT，拉伸剛度KxT是拉力－拉伸位移曲線（圖4（a）虛線右側(cè)拉伸段）的斜率，即

同理，壓縮剛度KxC是壓力FxC和壓縮位移uxC曲線（圖4（a）虛線左側(cè)壓縮段）的斜率，即

圖4（b）是拉壓剛度曲線，虛線右端是拉伸剛度，虛線左端是壓縮剛度?？梢钥闯觯瓑簞偠染哂忻黠@的非線性特性，即拉伸剛度遠小于壓縮剛度［3］。同時，壓縮剛度與螺栓的數(shù)目基本無關，而拉伸剛度隨螺栓數(shù)目的增加而增加。

在外力作用點施加±y（±z）方向的彎矩和±x方向的扭矩，獲得相應的轉(zhuǎn)角，參考式（14）或式（15）計算彎曲剛度Kθy（Kθz）和扭轉(zhuǎn)剛度Kθx，計算結(jié)果見圖5和圖6所示。圖5（a）是彎矩My和轉(zhuǎn)角θy的曲線，圖5（b）是彎曲剛度Kθy曲線，虛線左右分別是－θy轉(zhuǎn)角和＋θy轉(zhuǎn)角，彎曲剛度具有非線性特性。圖6（a）是扭矩Mx和轉(zhuǎn)角θx的曲線，圖6（b）是扭轉(zhuǎn)剛度Kθx曲線，虛線左右分別是－θx轉(zhuǎn)角和＋θx轉(zhuǎn)角，扭轉(zhuǎn)剛度是線性的。與拉伸剛度類似，彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度隨螺栓數(shù)目的增加而增加。

圖4 軸向拉壓靜剛度曲線Fig.4 Tension and compression stiffness curves

圖5 彎曲靜剛度曲線Fig.5 Bending stiffness curves

圖6 扭轉(zhuǎn)靜剛度曲線Fig.6 Torsional stiffness curves

3.2 衛(wèi)星承力筒等效剛度計算

圖4是拉壓剛度曲線，忽略零點的過渡區(qū)域，拉伸剛度和壓縮剛度近似看作恒定的，可采用式（10）計算軸向等效剛度。圖5中彎曲剛度曲線具有兩條線性段，當外載荷較小時，彎曲剛度幅值較小且近似看作恒定的；隨著載荷增加，彎曲剛度幅值成階梯狀增加，穩(wěn)定后的結(jié)果也近似看作線性的；忽略過渡區(qū)域，將彎矩作用下的點式連接簡化為分段線性系統(tǒng)，采用式（13）計算彎曲等效剛度。切向等效剛度取軸向等效剛度的10倍，扭轉(zhuǎn)剛度直接從圖6所示扭轉(zhuǎn)剛度曲線讀取，等效剛度具體數(shù)值見表2。

表2 等效剛度Table 2 Equivalent joint stiffness

從圖4、圖5和圖6可以看出，連接結(jié)構(gòu)的連接剛度隨螺栓數(shù)目的增加而增加，表2也列出不同螺栓數(shù)目的等效剛度取值，為了進一步分析螺栓數(shù)目對連接剛度的影響，對等效剛度的取值歸一化得

圖7 剛度變化趨勢曲線Fig.7 Stiffness trend curves

特別是，點式連接呈現(xiàn)明顯的剛度衰減現(xiàn)象，相比于48個螺栓的等效剛度，4個螺栓的衰減幅值高達85%。顯然，若不在建模過程中加以考慮點式連接的剛度衰減現(xiàn)象，將直接影響動力學分析結(jié)果的正確性。

3.3 衛(wèi)星承力筒模態(tài)分析與試驗驗證

圖8是衛(wèi)星承力筒的有限元簡化模型，采用MSC／Nastran有限元軟件建模并分析模態(tài)。與圖2中幾何模型相同，結(jié)構(gòu)由承力筒1、承力筒2和質(zhì)量為22.92kg的配重組成。其中螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)（見圖3）由廣義彈簧單元（Nastran中即為Bush單元，其剛度矩陣是由6個自由度的對角陣組成［16］）代替。Bush單元的兩端與承力筒1和2通過Mpc約束連接，Bush單元的剛度取表2中的等效剛度（根據(jù)螺栓數(shù)目的不同計算6組工況）。承力筒采用4節(jié)點殼單元，配重采用8節(jié)點實體單元，殼單元與實體單元通過Mpc約束連接［18］。承力筒2下表面48個螺栓孔附近的區(qū)域固支約束，材料參數(shù)與表1相同。

圖9是螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的模態(tài)試驗示意圖，試驗系統(tǒng)包含試驗件、加速度傳感器（靈敏度是40mV／g）、力錘、LMS公司數(shù)據(jù)采集設備、LMS公司軟件分析系統(tǒng)等。承力筒與配重的安裝方式與圖2相同。增加加速度傳感器數(shù)量可以提高測試精度，但由于傳感器質(zhì)量增加對模態(tài)有影響，這里采用13個傳感器，1個布置在配重頂部中心位置，另12個布置在承力筒1的上法蘭根部、腹部和下法蘭根部，均沿周向呈90°分布。力錘的錘擊點分為A、B兩處，點A在配重上表面中點，點B在配重側(cè)面中點，每個測點用力錘敲擊5次取樣，通過LMS軟件求均值，根據(jù)螺栓數(shù)目的不同測試6組工況。

圖8 有限元模型示意圖Fig.8 FEM mode analytical specimen

圖9 模態(tài)試驗示意圖Fig.9 Modal test specimen

表3列出了6組工況下試驗和仿真的模態(tài)頻率對比結(jié)果，航天器模態(tài)分析重點關注橫向一階彎曲模態(tài)、縱向一階模態(tài)、橫向二階彎曲模態(tài)和扭轉(zhuǎn)一階模態(tài)，試驗和仿真結(jié)果顯示，頻率誤差基本在15%以內(nèi)，仿真結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)吻合很好，等效剛度法適用于艙段連接結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析。尤其對于點式連接航天器，因為采用傳統(tǒng)建模方法無法獲得精確的模態(tài)，而等效剛度模態(tài)分析方法解決了連接剛度非線性對模態(tài)分析精度的影響。

表3 仿真與試驗模態(tài)頻率對比Table 3 Frequency obtained from simulation and test Hz

從表3可以看出模態(tài)頻率隨螺栓數(shù)目的增加而增加，但增加的幅度隨螺栓數(shù)目的增加而減小。對比點式連接（4個螺栓）和普通艙段連接（48個螺栓），頻率下降高達30%，說明點式連接的螺栓數(shù)量對結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響很大，考慮螺栓數(shù)目變化引起連接剛度的變化，準確分析點式連接航天器的模態(tài)是很有必要的。

雖然螺栓數(shù)目有所不同，但不同工況下的振型基本相同，圖10列出了8個螺栓仿真和試驗振型的對比，證明仿真結(jié)果的正確性。

圖10 仿真與試驗振型對比Fig.10 Mode of vibration obtained from simulation and test

3.4 等效剛度模態(tài)法與傳統(tǒng)分析方法對比

以4個螺栓的衛(wèi)星承力筒點式連接計算模型為例，分別采用全固連建模方法和連接節(jié)點約束方法計算點式連接模型的模態(tài)，并與等效剛度模態(tài)分析方法和模態(tài)試驗結(jié)果比較。全固連方法將上下承力筒連接部分節(jié)點融合，使其成為一個線性結(jié)構(gòu)；連接節(jié)點約束方法僅將上下承力筒對應節(jié)點通過MPC約束，這里僅建立4個約束（見表4）。

表4 模態(tài)分析結(jié)果Table 4 Results of modal analyses Hz

從表4模態(tài)分析結(jié)果的比較來看，全固連的模態(tài)計算結(jié)果與試驗結(jié)果誤差高達64%，連接節(jié)點約束方法無法計算出真實的模態(tài)頻率，誤差高達99%。因此，等效剛度模態(tài)分析方法對于連接結(jié)構(gòu)的計算精度與其他方法的相比具有顯著的優(yōu)勢，同時也說明傳統(tǒng)的分析方法過于粗放和保守，不能滿足現(xiàn)代航天器精細化設計計算的需求。

4 結(jié)論

點式連接已廣泛應用于大型航天器艙段及部件級結(jié)構(gòu)，本文針對模態(tài)分析中存在的技術難題，提出了一種采用等效剛度計算點式連接航天器模態(tài)的方法。運用非線性振動和結(jié)構(gòu)動力學相關理論，計算出非線性連接結(jié)構(gòu)的等效剛度，結(jié)合廣義彈簧單元計算點式連接航天器的模態(tài)。主要結(jié)論有：

（1）采用廣義彈簧單元計算的模態(tài)結(jié)果與模態(tài)試驗數(shù)據(jù)對比，航天器的橫向一階、二階彎曲，縱向一階，一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)誤差小于15%，基本上在10%左右，證明了該方法計算點式連接航天器的有效性。

（2）本文定量地證明了點式連接的連接剛度隨著螺栓數(shù)量的減少將呈現(xiàn)明顯衰減，衰減幅度高達85%。

（3）仿真與試驗結(jié)果均顯示，點式連接與普通艙段連接相比，航天器整體的固有頻率下降幅度高達30%，說明航天器設計中點式連接的靜／動力學分析應予以高度重視。

（4）等效剛度模態(tài)分析方法可以準確分析航天器的模態(tài)，尤其針對連接點數(shù)目較少的點式連接航天器，解決了傳統(tǒng)的全固連建模方法或連接節(jié)點約束方法計算不準確的問題。

本文所提出的等效剛度方法對于提高點式連接的航天器模態(tài)計算精度具有參考意義。

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（編輯：張小琳）

Modal Analysis of Spacecraft with Dotted Joints Based on Equivalent Stiffness

SHI Chuanqian1ZHOU Xubin1ZHANG Yongtao1，2DU Dong1LI Hao1
（1Shanghai Institute of Satellite and Engineering，Shanghai 200240，China）（2Shanghai Lizheng Satellite Application Technology Co.，Ltd.，Shanghai 200240，China）

To include the interaction effect in modal analysis，a novel model analysis method employing the equivalent stiffness of dotted joints is proposed in this paper.Firstly，a full－size finite element model of a dotted joint for a spacecraft structure is established.The nonlinear connection stiffness of dotted joint corresponding to different bolt quantities and loads are predicted.A novel method based on nonlinear dynamic theory is proposed to calculate the equivalent stiffness of dotted joints.Then，a simplified FE model of the spacecraft structure is established by employing the generalized spring element and the calculated equivalent stiffness.The modes of the spacecraft structure are predicted by the simplified FE model and are also measured in experiments.The predicted modes coincide quite well with the experimental results.The proposed modal analysis method is proven to be accurate and will facilitate the dynamic analysis of spacecraft structure with dotted joints.

spacecraft；dotted joints；mode；equivalent stiffness；nonlinearity

V414.1

：ADOI：10.3969／j.issn.1673－8748.2016.01.005

2015－10－30；

：2015－12－28

國家重大航天工程

石川千，女，碩士研究生，從事衛(wèi)星結(jié)構(gòu)設計和結(jié)構(gòu)非線性動力學研究工作。Email：shichuanqian＠163.com。