隨機(jī)-區(qū)間混合不確定性分層序列化多學(xué)科可靠性分析方法

王若冰, 谷良賢, 龔春林

(西北工業(yè)大學(xué) 航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安　710072)

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隨機(jī)-區(qū)間混合不確定性分層序列化多學(xué)科可靠性分析方法

王若冰, 谷良賢, 龔春林

(西北工業(yè)大學(xué) 航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安710072)

摘要：針對多學(xué)科問題中隨機(jī)型與區(qū)間型不確定性共存的可靠性分析問題，基于序列化變量處理框架，將原問題分解為區(qū)間可靠性分析和概率可靠性分析2個(gè)子問題，并建立相應(yīng)的求解過程。其中，在區(qū)間可靠性分析中引入了學(xué)科間一致性約束，減輕多學(xué)科耦合分析帶來的計(jì)算負(fù)擔(dān)；在可靠性分析中集成先進(jìn)均值法、圓弧搜索法和有效集擬牛頓法，構(gòu)造了一套漸進(jìn)收斂的處理策略。最后，基于寬容分層思想構(gòu)造兩個(gè)子過程的迭代關(guān)系，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)型和區(qū)間型不確定性的同時(shí)處理。采用1個(gè)數(shù)值算例和1個(gè)飛行器多學(xué)科可靠性分析應(yīng)用算例，從不同角度驗(yàn)證所提出方法的有效性。結(jié)果表明：求解效率比已有方法有所提高，且該方法對各種約束函數(shù)的可靠性分析問題的適應(yīng)性能力更強(qiáng)。

關(guān)鍵詞：混合不確定性；多學(xué)科系統(tǒng)；可靠性分析；區(qū)間極值分析

隨著對復(fù)雜產(chǎn)品設(shè)計(jì)提出的安全性指標(biāo)要求，基于可靠性的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(reliability-based multidisciplinary design optimization,RBMDO)引起廣泛關(guān)注[1]。概率模型是量化隨機(jī)不確定性的常用方法，然而概率建模所需大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)往往難以獲得，需要采用分布未知、邊界可知的區(qū)間不確定性模型。在實(shí)際工程問題的可靠性分析過程中，由于數(shù)據(jù)缺乏和認(rèn)知不完全，需要同時(shí)考慮概率型和區(qū)間型不確定性因素。目前此類問題的研究主要集中在結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)領(lǐng)域[2-3]，所發(fā)展的方法僅適用于單學(xué)科問題，用于多學(xué)科問題時(shí)效率很低，無法滿足復(fù)雜的多學(xué)科耦合系統(tǒng)可靠性分析要求。

近年來，隨機(jī)與區(qū)間不確定性下的多學(xué)科系統(tǒng)可靠性分析(multidisciplinary reliability analysis,MRA)問題引起了一些學(xué)者的關(guān)注。Guo等[4]將基于可靠度指標(biāo)法(reliability index approach,RIA)的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法應(yīng)用于多學(xué)科系統(tǒng)，提出序列雙循環(huán)法(sequential double loops,SDL)、序列單循環(huán)法(sequential single loops,SSL)和序列單回路方法(sequential single-single loops,SSSL)。這些方法存在求解模型和求解流程2個(gè)方面的問題：在求解模型方面，由于采用RIA可靠性分析模型，難以求解復(fù)雜的極限狀態(tài)函數(shù)，且過于依賴隨機(jī)變量的概率分布類型，當(dāng)可靠度接近于1.0時(shí)計(jì)算量巨大；在求解流程方面，SDL方法雖然將概率可靠性分析與區(qū)間可靠性分析序列化執(zhí)行，但是直接在內(nèi)部嵌套多學(xué)科分析(multi-disciplinary analysis,MDA)導(dǎo)致求解效率很低；SSL應(yīng)用單學(xué)科可行(individual discipline feasible,IDF)方法，將MDA融入上層優(yōu)化以減少迭代次數(shù)，但概率可靠度求解難度增加，收斂效率降低；SSSL方法結(jié)合SDL和SSL方法，在概率可靠性分析時(shí)采用MDF方法而區(qū)間可靠性分析采用IDF方法，以平衡求解效率和收斂難度之間的矛盾，但由于RIA模型本身的缺點(diǎn)，以及傳統(tǒng)序列化方法在遠(yuǎn)離最優(yōu)點(diǎn)的區(qū)域浪費(fèi)太多計(jì)算資源，致使SSSL方法的效率和適應(yīng)性仍然不高。

劉繼紅等[5]在Guo研究的基礎(chǔ)上對其分析模型進(jìn)行改進(jìn)，將基于性能測度法(performance measurement approach,PMA)的可靠性分析模型應(yīng)用于SDL方法中，提出了序列化集成改良的先進(jìn)均值法

(sequential modified advanced mean value,SMAMV)。該方法在計(jì)算效率上有所提高，然而其區(qū)間可靠性分析采用MDA與凸模型分析串聯(lián)形式進(jìn)行運(yùn)算，在處理極限狀態(tài)函數(shù)輸入包含學(xué)科狀態(tài)變量時(shí)存在很大的計(jì)算誤差，且運(yùn)用拉格朗日乘子法進(jìn)行凸模型極值分析只在解析函數(shù)求解時(shí)具有較高效率。

面臨隨機(jī)與區(qū)間不確定性共存情況下的多學(xué)科可靠性分析問題，迫切需要發(fā)展能保證求解精度同時(shí)又提高計(jì)算效率和適應(yīng)性的方法。

本文在Guo等提出的SSSL求解框架的基礎(chǔ)上，綜合采用以下措施，提出了一種改進(jìn)方法：

1) 為了提高求解流程的效率，在2個(gè)問題迭代時(shí)采用寬容分層思想，在求解概率可靠性問題時(shí)，不是在迭代過程每次收斂到最優(yōu)值，而是分階段地采用先進(jìn)均值法[6](advanced mean value,AMV)、圓弧搜索法[7](arc search)和有效集擬牛頓法[8](active set Quasi-Newton algorithm,ASNA)，形成了一種漸進(jìn)的迭代模式，以減少搜索初期大量迭代分析，同時(shí)降低搜索初期陷入局部最優(yōu)解的風(fēng)險(xiǎn)。

2) 為了提高可靠性分析模型本身的效率和適應(yīng)性，采用PMA概率可靠性分析模型與區(qū)間極值分析模型相結(jié)合，形成新的混合變量可靠性分析模型[9-10]。

3) 為了提高求解多學(xué)科問題的效率，概率多學(xué)科可靠性分析時(shí)，將MDA從循環(huán)中剝離，以區(qū)間極值分析所得到的狀態(tài)變量作為MPP搜索時(shí)求解全局敏度方程的輸入，以提高求解效率。

通過采用以上措施，以提高多學(xué)科可靠性分析的計(jì)算效率和適應(yīng)性。

1基于PMA的MRA模型

當(dāng)可靠性問題的變量同時(shí)包含隨機(jī)和區(qū)間不確定性時(shí)，其功能函數(shù)可表示為

(1)

式中，U與V分別表示m維隨機(jī)不確定性設(shè)計(jì)向量和n維區(qū)間不確定性設(shè)計(jì)向量；G>0表示該約束函數(shù)處于可靠狀態(tài)，G<0表示約束函數(shù)處于失效狀態(tài)，G=0表示約束函數(shù)處于極限狀態(tài)。

處理可靠性分析可以采用RIA或PMA模型。RIA是給定極限狀態(tài)值以計(jì)算約束函數(shù)大于或小于極限狀態(tài)值的概率(可靠度)；PMA則是基于可靠性反問題策略而提出的，是給定失效概率以計(jì)算特定的約束函數(shù)極限狀態(tài)值。對包含N個(gè)學(xué)科的多學(xué)科系統(tǒng)，PMA模型可表示為：

(2)

(3)

對于Pf≥0.5情況，采用(2)式求解；對于Pf<0.5情況，需將(2)式的優(yōu)化目標(biāo)改為對U求極小值。

2寬容分層序列化MRA方法

當(dāng)同時(shí)考慮隨機(jī)與區(qū)間不確定性時(shí)，為了合理利用不確定信息，需要將2種不確定性分開處理，此時(shí)的MRA不僅要進(jìn)行MDA和概率可靠性分析，還需要進(jìn)行多學(xué)科區(qū)間可靠性分析?，F(xiàn)有的混合不確定性條件下的MRA方法主要有嵌套方法(見圖1)和序列化方法(見圖2)。

圖1　三層嵌套MRA

圖2　傳統(tǒng)序列化MRA

嵌套方法的MDA處在最內(nèi)層，學(xué)科分析次數(shù)異常龐大，處理高擬真度學(xué)科模型存在很大困難；序列化方法進(jìn)行在一部分變量固定的前提下優(yōu)化另一部分變量，搜索初期在遠(yuǎn)離最優(yōu)點(diǎn)的區(qū)域浪費(fèi)大量計(jì)算資源，且容易陷入局部最優(yōu)點(diǎn)。

針對嵌套方法與傳統(tǒng)序列化方法所具有的求解困難和學(xué)科平衡困難，本文綜合2類方法的優(yōu)點(diǎn)，提出寬容分層序列化多學(xué)科可靠性分析方法(stratified sequencing multi-disciplinary reliability analysis method,SSMRAM)。

2.1基本原理

分層序列法是將問題中多個(gè)目標(biāo)函數(shù)按重要程度排序，以此序列求出各個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解，后一個(gè)目標(biāo)在前一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)階級內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化的。其應(yīng)用于混合不確定性MRA時(shí)，先固定V=V*值求解：

(4)

再固定U=U*求解：

(5)

然而該方法存在優(yōu)化早熟的問題，因此引入寬容的思想，即在求解后一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解時(shí)，對前一個(gè)目標(biāo)不求得嚴(yán)格最優(yōu)解，而是在前一個(gè)目標(biāo)最優(yōu)值附近一定范圍內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化。

(6)

當(dāng)γk≤ε+κ采用圓弧搜索方法求解逆MPP點(diǎn)，見(7)式，其中Vk由(5)式求解。

(7)

2.2主要算法

本文采用AMV和圓弧搜索方法在進(jìn)行概率可靠性分析時(shí)搜索逆MPP點(diǎn)，采用ASNA方法進(jìn)行區(qū)間極值分析。

1)AMV方法是一種運(yùn)算簡單，易于實(shí)現(xiàn)的逆MPP點(diǎn)搜索算法，如圖3所示，其原理是將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量指向極限狀態(tài)函數(shù)的梯度方向，采用以下迭代格式

(8)

圖3　逆MPP點(diǎn)求解示意圖

該方法在處理圖極限狀態(tài)函數(shù)時(shí)具有較好的效率，處理非凸函數(shù)效率不高。

2)圓弧搜索算法是將原來搜索逆MPP點(diǎn)問題中的等式約束‖U‖2=βt，通過幾何運(yùn)算引入U(xiǎn)k中，計(jì)算模型如下

(9)

3)ASNA方法是一種求解序列二次規(guī)劃問題的算法，它將有效集進(jìn)一步劃分為滿足KKT條件和違反KKT條件兩部分，使其具有全局收斂性質(zhì)，對初值不敏感，具有很好的適應(yīng)性。其在求解初值不在可行域內(nèi)的區(qū)間極值分析問題具有良好的求解效率和收斂特性。

2.3SSMRAM求解步驟

本文所提SSMRAM方法的求解流程如圖4所示，具體步驟如下：

步驟1將隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)u空間，將區(qū)間變量標(biāo)準(zhǔn)化。

步驟2設(shè)置初始值：k=1,U0,V0,βt,g0,εγ,ε0,κ=1。

步驟3令U=Uk-1，運(yùn)用ASNA求解具有系統(tǒng)一致性約束的區(qū)間可靠性極值問題，求出極小值gk對應(yīng)的Vk,Yk。

步驟4令V=Vk,Y=Yk，執(zhí)行系統(tǒng)靈敏度分析，將g看作系統(tǒng)狀態(tài)變量，利用全局靈敏度方程獲得Xg(Xk)，再由(10)式求出極限狀態(tài)函數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的梯度Ug(Uk)。

(10)

圖4　隨機(jī)與區(qū)間不確定性下的分層序列化的MRA混合算法流程

(11)

步驟6判斷γk≤εγ?若是,則轉(zhuǎn)步驟7;若否,轉(zhuǎn)步驟8。

步驟7判斷|gk-gk-1|≤ε0?,若是,則轉(zhuǎn)步驟10;若否,則Uk=Uk-1轉(zhuǎn)步驟9。

步驟8判斷γk≥εγ+κ?若是,則運(yùn)用AMV更新Uk,如(6)式所示;若否,則運(yùn)用圓弧搜索方法更新Uk,如(7)式所示。

步驟9令k=k+1,轉(zhuǎn)步驟3。

步驟10UMPP=Uk,Vmin=Vk,結(jié)束。

2.4SSMRAM特點(diǎn)

本文所提的SSMRAM具有以下特點(diǎn):

1) 采用的PMA模型求解效率更高、適應(yīng)性更強(qiáng),從可靠性分析模型本身提高多學(xué)科的概率可靠性分析的效率。

2) 采用IDF方法將原來由區(qū)間可靠性分析和MDA組成的2層循環(huán)轉(zhuǎn)化為單層二次規(guī)劃問題,并采用學(xué)科分析并行執(zhí)行,提高了計(jì)算效率;并采用ASNA求解該問題。ASNA將有效集進(jìn)一步劃分為滿足KKT條件和違反KKT條件兩部分,可降低對初值的敏感度,具有很好的收斂特性。

3) 區(qū)間可靠性分析所得結(jié)果滿足系統(tǒng)一致性約束,其設(shè)計(jì)變量和狀態(tài)量可以直接用于全局靈敏度分析,為搜索MPP省去了MDA過程,提高了效率。

4) 搜索初期以寬容分層序列法的思想,不搜索精確MPP點(diǎn),只運(yùn)用AMV方法進(jìn)行單步更新,以快速確定搜索方向,搜索后期迭代采用圓弧搜索方法以加快收斂速度。

3算例驗(yàn)證

通過以下2個(gè)算例對SSMRAM做如下驗(yàn)證:以算例1驗(yàn)證其求解精度和計(jì)算效率;以算例2驗(yàn)證其在實(shí)際工程問題中的有效性和適應(yīng)性。

3.1測試算例1:解析函數(shù)

1) 試驗(yàn)點(diǎn)1:U=(x1,x2)～N(μx,σx)為隨機(jī)設(shè)計(jì)變量,其中μx=(-2.2,0.1),σx=(0.2,0.1);V=x3∈[0.1,0.2]為區(qū)間設(shè)計(jì)變量。給定失效概率Pf=1.5%,換算為可靠度指標(biāo)βt=2.170 1。

2) 試驗(yàn)點(diǎn)2:U=(x1,x2)～N(μx,σx)為隨機(jī)設(shè)計(jì)變量,其中μx=(-1.5,0.1),σx=(0.1,0.1);V=x3∈[0.1,0.2]為區(qū)間設(shè)計(jì)變量。給定失效概率Pf=99%,換算為可靠度指標(biāo)βt=2.326 3。

對極限狀態(tài)函數(shù)g1進(jìn)行可靠性分析。對試驗(yàn)點(diǎn)1和試驗(yàn)點(diǎn)2分別采用本文所提方法,蒙特卡羅方法、SDL方法、SSL方法、SSSL方法和SMAMV方法進(jìn)行可靠性分析。計(jì)算MPP點(diǎn)坐標(biāo),極限狀態(tài)函數(shù)值,迭代次數(shù)和學(xué)科函數(shù)分析次數(shù)如表1所示。

表1　解析函數(shù)算例中g(shù)1可靠性分析結(jié)果

由表1各方法的計(jì)算結(jié)果可知,除SMAMV方法外,與蒙特卡羅法所得結(jié)果差距甚微,說明SSMRAM方法計(jì)算精度值得信任。在相同收斂精度條件下,SSMRAM方法所需分析次數(shù)遠(yuǎn)小于蒙特卡羅法、SDL、SSL、SSSL方法,對學(xué)科函數(shù)的分析次數(shù)減少47%以上,因此在分析多學(xué)科可靠性時(shí)具有更高的效率。

3.2測試算例2:航空飛行器

本算例為航空飛行器總體參數(shù)優(yōu)化問題[11]?？紤]氣動、質(zhì)量、性能3個(gè)學(xué)科的相互影響,以飛行器總質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo),并滿足失速速度和航程的約束要求。其極限狀態(tài)函數(shù)如(15)式所示,3個(gè)學(xué)科的輸入輸出關(guān)系分別如(16)～(18)式所示。

(15)

氣動學(xué)科:

GivenAR,Sw,Lf,Df

(16)

ReturnL/D

質(zhì)量學(xué)科:

(17)

性能學(xué)科:

GivenL/D,Wto,Wfuel,ρc,Sw

(18)

ReturnR,Vs

式中,L/D為升阻比;Swet為浸濕面積;Sfuse為機(jī)身面積;Sw為機(jī)翼面積;Wto為起飛總重;Wfuse為機(jī)身質(zhì)量;R為航程;Vs為失速速度。發(fā)動機(jī)耗油率c=2.551kg/(daN·h-1),發(fā)動機(jī)效率η=0.85,最大升力系數(shù)CLmax=1.4。

為了驗(yàn)證本文所述方法在飛行器這類多變量、多耦合的多學(xué)科系統(tǒng)中進(jìn)行可靠性分析的有效性、計(jì)算效率和收斂特性,對上述算例的設(shè)計(jì)變量改造如下:

1) 試驗(yàn)點(diǎn)1:隨機(jī)設(shè)計(jì)變量U=(AR,Lf,Df,ρc)～N(μU,σU),μU=(8.52,5.85,1.01,0.92),σU=(0.15,0.02,0.01,0.05),區(qū)間設(shè)計(jì)變量V=(Sw,Vc,Wfuel)∈[aV,bV],aV=(27.50,59.16,150.00),bV=(27.87,60.96,156.00)。

2) 試驗(yàn)點(diǎn)2:隨機(jī)設(shè)計(jì)變量U=(AR,Lf,Df)～N(μU,σU),μU=(9.11,6.19,1.22),σU=(0.10,0.01,0.01)。區(qū)間設(shè)計(jì)變量V=(ρc,Sw,Vc,Wfuel)∈[aV,bV],aV=(0.95,26.87,59.96,152.08),bV=(0.98,27.85,60.16,155.98)。

給定失效概率Pf=0.13%,換算為可靠度指標(biāo)βt=3.0。分別對極限狀態(tài)函數(shù)g1和g2進(jìn)行多學(xué)科可靠性分析,獲得MPP點(diǎn)、極限狀態(tài)函數(shù)值、迭代次數(shù)、學(xué)科分析次數(shù)和約束函數(shù)g評價(jià)次數(shù)如表2和表3所示。

表2　航空飛行器算例中g(shù)1可靠性分析

表3　航空飛行器算例中g(shù)2可靠性分析

由表2和表3可以看出，在隨機(jī)變量和區(qū)間變量個(gè)數(shù)發(fā)生變化、試驗(yàn)點(diǎn)不同的情況下，本文所述方法對試驗(yàn)點(diǎn)1和試驗(yàn)點(diǎn)2均可以正常求解，說明本文所述方法是有效可行的；對于含有7個(gè)設(shè)計(jì)變量、3個(gè)子系統(tǒng)的多學(xué)科系統(tǒng)求解僅需迭代3～4步，收斂特性良好；與表1中所示3個(gè)設(shè)計(jì)變量、2個(gè)子系統(tǒng)的多學(xué)科問題的學(xué)科分析次數(shù)增長不到2倍，說明本文所提方法在處理多變量多學(xué)科問題時(shí)具有較好的求解效率。

另外，為了驗(yàn)證本文所提方法求解的魯棒性，隨機(jī)產(chǎn)生100個(gè)初值(取值范圍為[-1 000,1 000])對試驗(yàn)點(diǎn)1和試驗(yàn)點(diǎn)2進(jìn)行可靠性分析，求解成功率均為100%，且平均迭代次數(shù)為5.78次，說明本文所述方法具有很好的魯棒性，對初值不敏感，進(jìn)而證明了本文所提分層序列化方法在初始搜索階段具有較高搜索效率。

上述3個(gè)算例及其計(jì)算結(jié)果可以看出：

1)在方法可行性方面，算例1和算例2中可靠性分析問題的成功求解，說明在隨機(jī)不確定性和區(qū)間不確定性共存情況下，本文所述方法在進(jìn)行可靠性分析是有效可行的。

2)在求解效率方面，算例1中對各種現(xiàn)有的可靠性分析方法與本文所述方法進(jìn)行了比較，證明本文方法在滿足求解精度的同時(shí)，學(xué)科分析次數(shù)少50%以上，具有更高的求解效率；3個(gè)算例的設(shè)計(jì)變量、學(xué)科個(gè)數(shù)和耦合程度依次增加，但求解迭代次數(shù)沒有明顯增加，學(xué)科分析次數(shù)變化不大，說明隨著設(shè)計(jì)變量及學(xué)科的增加、耦合的加強(qiáng)，本文所述方法均能具有良好的求解效率。

3)在方法的適應(yīng)性方面，對于算例3中不同試驗(yàn)點(diǎn)和不同初值的情況，本文所述方法均能有效求解最小極限狀態(tài)函數(shù)，證明該方法對試驗(yàn)點(diǎn)和初值點(diǎn)不敏感，具有良好的適應(yīng)性。

4結(jié)論

本文結(jié)合寬容分層序列法的思想，提出了隨機(jī)與區(qū)間不確定性下的分層序列化MRA方法。將嵌套與序列化流程相結(jié)合，前期搜索采用概率可靠性分析嵌套區(qū)間機(jī)制分析的方式搜索初始區(qū)域，后期搜索采用序列化執(zhí)行概率可靠性分析與區(qū)間機(jī)制分析的方式加快收斂過程。在區(qū)間模型可靠性分析中引入系統(tǒng)一致性約束，將MDA從概率多學(xué)科可靠性分析和區(qū)間多學(xué)科可奧性分析中剝離，并引入有效集擬牛頓法，在提高求解效率的同時(shí)確保了算法的適應(yīng)性和全局收斂性能。通過算例驗(yàn)證了該方法求解混合不確定性下的多學(xué)科可靠性分析問題是可行且有效的，所提出的分層序列化MRA方法具有較好的計(jì)算效率、精度、收斂特性和適應(yīng)性。該方法在前人的基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善了隨機(jī)與區(qū)間不確定性下的多學(xué)科可靠性分析方法。

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A Stratified Sequencing Multi-disciplinary Reliability Analysis Method under Random and Interval Uncertainty

Wang Ruobing, Gu Liangxian, Gong Chunlin

(National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics, Northwest Polytechnical University, Xi′an 710072)

Abstract:For the reliability analysis problems in multidisciplinary systems with stochastic and interval uncertainty models in coexistence, based on the sequence of variable processing framework, the original problem is decomposed into the interval reliability analysis and probabilistic reliability analysis sub-problems, and the corresponding solution procedure is established. Among them, interdisciplinary consistency constraints are introduced into the interval reliability analysis to reduce the calculation burden of multidisciplinary coupling analysis; advanced mean value method, arc search method and active set quasi Newton method are integrated into reliability analysis process to construct a set of asymptotic convergence processing strategy. Finally, we build the iterative relationship between the two sub-processes based on the idea of tolerance hierarchical structure and process random and interval uncertainty simultaneously. A numerical example and a reliability analysis application in multidisciplinary system of flight vehicle are demonstrated to verify the validity of the proposed method from different aspects. Simulation results show that the efficiency is increased and adaptability is rather strong in the mode of various initial values and design points.

Keywords:reliability analysis, stochastic models, computational efficiency, adaptive systems, calculations, computer simulation, Monte Carlo methods, MRA(Multi-disciplinary Reliability Analysis), hybrid uncertainty, interval extreme analysis, multi-disciplinary system, PMA(Performance Measurement Approach), SSL(Sequential Single Loop), AMV(Advanced Mean Value)

中圖分類號：V219

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號:1000-2758(2016)01-0139-08

作者簡介：王若冰(1986—)，西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事飛行器多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化、可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。

收稿日期：2015-09-22