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      數(shù)列遞推思想的應(yīng)用

      2016-05-14 14:05:06黃旭東
      高中生學(xué)習(xí)·高三版 2016年5期
      關(guān)鍵詞:涂色個數(shù)解析

      黃旭東

      數(shù)列作為高考的考點(diǎn)與熱點(diǎn),在歷年的高考中所占比例較大,特別在綜合題中的應(yīng)用,能力要求越來越高.其中數(shù)列遞推思想,具有很強(qiáng)的邏輯性,是學(xué)習(xí)邏輯推理和化歸能力的好素材,也是數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的好載體,其遞推思想在解題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛.下面對數(shù)列遞推思想的應(yīng)用作簡要梳理,供參考.

      在歸納推理中應(yīng)用

      例1 如圖,一白珠下面掛一黑珠,每一黑珠下掛一黑珠與一白珠,則第11行黑珠的個數(shù)為________.

      […第一行][…第二行][…第三行][…第四行][…第五行][…第六行]

      解析 設(shè)第行黑珠的個數(shù)為個,則,則第行黑珠的個數(shù)為等于第行黑珠的個數(shù)為與第行白珠的個數(shù)之和,由于第行白珠的個數(shù)即為第行中黑珠個數(shù),故有.

      點(diǎn)撥 此題通過運(yùn)用遞推思想得到一個遞推關(guān)系,正是著名的“斐波拉契數(shù)列”. 在一些數(shù)列歸納通項(xiàng)的推理中,利用遞推思想,構(gòu)建遞推公式,使有限拓展到無限,由特殊變成一般規(guī)律,這是解決此類問題常見思路與方法,同理這也體現(xiàn)了合理推理的精髓所在.

      構(gòu)建“遞推公式”,巧證數(shù)列不等式

      例2 已知函數(shù)設(shè)滿足 ,,數(shù)列滿足,.證明:.

      解析 本題可不用數(shù)學(xué)歸納法證,直接應(yīng)用遞推公式證更加簡潔,簡證如下.

      時,顯然成立.

      時,由題意得,,且,

      綜上所述,.

      點(diǎn)撥 此題由兩邊結(jié)構(gòu)中都有,故聯(lián)想遞推關(guān)系,類比“已知等比數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)方法”,適當(dāng)放縮使問題得以解決.在中學(xué)階段某些壓軸數(shù)列不等式的證明中,常利用此遞推思想結(jié)合放縮法進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸.

      構(gòu)建遞推數(shù)列模型,求無限往復(fù)數(shù)學(xué)問題

      例3 設(shè)是正三角形的邊上的任意一點(diǎn),從 向邊引垂線,垂足為,再從向邊引垂線,垂足為;再從向邊引垂線,垂足為,再從重復(fù)以上操作,得當(dāng)時, 能否無限趨近于某一點(diǎn)?若能,請指出這一點(diǎn)的位置;若不能,請說明理由.

      解析 此題為典型的無限往復(fù)問題,其本質(zhì)為求極限點(diǎn),看似很復(fù)雜,我們先不妨構(gòu)建遞推關(guān)系,如圖.

      不妨設(shè) ,正三角形邊長設(shè)為1,

      .

      故當(dāng)時,無限趨近于的距的等分處.

      點(diǎn)撥 在無限反復(fù)問題中,過程較繁瑣. 這類問題通過構(gòu)建相鄰過程的二元數(shù)量的遞推關(guān)系,由“理不斷”的無限反復(fù)變成相對固定的數(shù)列遞推模型來解決,問題解答順利而流暢!

      用遞推思想解決一些濃度混合應(yīng)用題

      例4 現(xiàn)有流量均為300m3/s的兩條河流匯合于某處后,不斷混合,它們的含沙量分別為2kg/m3和0.2kg/m3. 假設(shè)從匯合處開始,沿岸設(shè)有若干觀測點(diǎn),兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個觀測點(diǎn)的過程中,其混合效果相當(dāng)于兩股水流在1秒鐘內(nèi)交換100m3的水量,即從股流入股100m3水,經(jīng)混合后,又從股流入股100m3的水量并混合.問:從第個觀測開始,兩股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3(不考慮泥沙沉淀).

      解析 設(shè)第個觀測點(diǎn)兩股水流含沙量分別為kg/m3與kg/m3,

      則,

      且 =①,

      =②.

      ①-②得, =.

      故從第9個觀測點(diǎn)開始,兩股水流含沙量之差小于0.01kg/m3.

      點(diǎn)撥 在濃度混合問題中,不斷地“混合”,使問題變得較為“混沌”,此類問題可通過構(gòu)建交叉遞推數(shù)列,再利用遞推數(shù)列的解法去化“混沌”為“清晰”,使思路明了而清晰.

      遞推思想在計(jì)數(shù)方面的應(yīng)用

      例5 將一個圓分成個扇形部分,依次為,每一扇形分別用種不同顏色中任一種涂色,其中相鄰部分涂不同顏色,則不同的染色方案有多少種?

      解析 設(shè)有種涂色方案,則表示用這種不同的顏色按同樣的規(guī)則填涂類似的塊區(qū)域.

      顯然,先涂區(qū)域有種;再涂區(qū)域,不能與區(qū)域同色,有種,再涂區(qū)域,不能與區(qū)域同色,也有種,按照這種方式一直涂到區(qū)域.

      我們不妨只考慮區(qū)域與區(qū)域不同色,則共有種.

      但其中包含區(qū)域與區(qū)域同色的情形,當(dāng)區(qū)域與區(qū)域同色時,可將此二區(qū)域視為一個區(qū)域來涂色,這種情形下的涂色方法恰為于是就得出了一個遞推關(guān)系:

      上式可改寫成:.

      即數(shù)列()是一個公比為-1的等比數(shù)列.

      綜上所述,

      點(diǎn)撥 在一些復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題中,運(yùn)用數(shù)列遞推思維組建遞推關(guān)系可起到“皰丁解?!钡淖饔?,使問題清晰而明了.需要說明的是,此題涉及到計(jì)數(shù)中的染色問題,通過遞歸關(guān)系得到一個一般化的通式,此式在染色問題中應(yīng)用相當(dāng)廣泛.

      遞推思想在某些概率問題方面的應(yīng)用

      例6 已知,正四面體中,一枚棋子從一個頂點(diǎn)出發(fā),選任何一條棱移動的概率都相等,每次移動前,擲一次骰子,出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn),則棋子原地不動;若出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),則移動. 一枚棋子從點(diǎn)開始移動到點(diǎn),求擲次骰子,才到達(dá)點(diǎn)的概率.

      解析 設(shè)擲次骰子時到達(dá)點(diǎn)的概率為,由題意知,在點(diǎn)選擇任一條棱的概率均為,向前移動一次概率為 ,則分二類:(1)擲第次時不在點(diǎn),則到達(dá)必順擲奇數(shù)點(diǎn)且從該點(diǎn)移動到,則其概率為;(2)擲第次時在點(diǎn),則第次必順擲偶數(shù)點(diǎn)且不移動,則其概率為.

      故由(1)(2)知,

      則有,

      故數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為

      公比為的等比數(shù)列.

      則有,即即擲次骰子,才到達(dá)點(diǎn)的概率.

      點(diǎn)撥 此題位置不確定,擲點(diǎn)奇偶不定,關(guān)系復(fù)雜,利用遞推思想是最有郊的方法,通過構(gòu)建遞推數(shù)列,問題迎刃而解.一般存在相互依存關(guān)系問題的概率都可運(yùn)用遞推思路去解決.

      綜上所述,靈活運(yùn)用遞推思維,構(gòu)造遞推數(shù)列解決某些問題,可以起到化繁為簡、化抽象為具體的奇效. 其運(yùn)用過程中,融高度的邏輯性于一體,是數(shù)學(xué)中化歸思想的深度體現(xiàn),因此在平時高考復(fù)習(xí)中,應(yīng)引起我們足夠的重視.

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