李瑞杰，包俊東

(內蒙古師范大學 數學科學學院，呼和浩特　010022)

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非線性奇異時滯系統(tǒng)的魯棒同時保性能優(yōu)化控制

李瑞杰，包俊東

(內蒙古師范大學 數學科學學院，呼和浩特010022)

摘要：針對一組非線性奇異時滯系統(tǒng)的魯棒同時保性能控制問題進行研究，用范數有界的不確定參數的微分方程組描述所考慮的系統(tǒng)；基于Lyapunov-Krasovskii泛函和線性矩陣不等式方法給出存在同時保性能控制器的充分條件；對具有線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問題求解,進而明確給出使得性能指標函數上界達到最優(yōu)值控制器的表達式；該控制器的設計方法不僅使得奇異時滯閉環(huán)系統(tǒng)組正則、無脈沖、同時魯棒穩(wěn)定，而且性能函數上界最優(yōu)；最后，給出算例驗證該方法的有效性。

關鍵詞：非線性奇異系統(tǒng)；時滯；不確定；同時保性能控制；線性矩陣不等式

奇異系統(tǒng)是比較廣泛的動態(tài)系統(tǒng)，與實際生產生活聯系密切，因此奇異系統(tǒng)控制問題引起學者的研究興趣。由于時滯現象以及外部擾動的出現影響了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，越來越多學者研究滿足系統(tǒng)穩(wěn)定各種性能的控制器。如徐勝元等[1]對范數有界的不確定項利用魯棒鎮(zhèn)定控制得到狀態(tài)反饋控制器設計方法，后來魯仁全,蘇宏業(yè)，俞立[2-4]提出魯棒控制、最優(yōu)保性能控制等。然而不足之處在于這些控制都是針對時滯奇異系統(tǒng)的單一目標進行設計，實際系統(tǒng)中常常需要滿足實際需要的更好性能?？刂葡到y(tǒng)多目標設計受到人們廣泛的重視，文獻[5]針對線性奇異時滯系統(tǒng)提出魯棒H∞控制，這種控制既保證了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定又使得外部擾動控制在γ衰減度內。文獻[6]對線性系統(tǒng)提出魯棒H∞最優(yōu)保性能控制。

非線性奇異系統(tǒng)相對于線性更能貼切描述實際工程中復雜系統(tǒng)。因此，學者對非線性時滯奇異系統(tǒng)的控制問題給予高度關注。非線性時滯奇異系統(tǒng)在魯棒控制、H∞控制、保性能控制問題上取得頗豐研究成果。比如徐勝元，楊成梧[7]研究了不確定非線性廣義系統(tǒng)的魯棒控制。王巖青，姜長生在文獻[8]對狀態(tài)為非線性的不確定線性變時滯系統(tǒng)的狀態(tài)控制器設計進行研究。文獻[9]中介紹當狀態(tài)和輸入均有時滯出現時非線性不確定廣義系統(tǒng)的保性能控制器設計。保性能控制也可以應用在非線性時滯廣義切換系統(tǒng)中[10]。最近幾年，陸續(xù)出現多種控制結合的方法滿足非線性閉環(huán)時滯奇異系統(tǒng)所期望的不同性能。文獻[11]利用魯棒控制、H∞控制與保性能控制研究非線性奇異系統(tǒng)。值得一提的是這些研究成果都沒有提到所設計控制器是否同時控制多個非線性時滯奇異系統(tǒng)。

同時鎮(zhèn)定問題首先由SAEKS等[12]源于實際工程中多模型特征系統(tǒng)穩(wěn)定的需要首先提出。在國內，曹永巖，孫優(yōu)賢[13]由狀態(tài)空間的互質分解提出同時鎮(zhèn)定問題研究。2011年關強，何冠男等[14]在回顧前人同時鎮(zhèn)定方法后，對“比利時巧克力問題”，“香檳問題”等進一步探討分析同時鎮(zhèn)定問題。至今，同時鎮(zhèn)定問題仍是學者關注的熱點領域。王德進[15]研究了線性不確定系統(tǒng)族的同時保代價控制，并沒有涉及到非線性。魯仁全等[16]研究了非線性時滯奇異Lurie系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，基于線性矩陣不等式給出系統(tǒng)存在保代價控制器的充分條件并利用優(yōu)化問題求出保代價函數的最小值。不足之處在于并沒有考慮多個非線性時滯奇異系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。

本文創(chuàng)新之處在于所設計魯棒保性能控制器不再局限于單一系統(tǒng)而是能同時適用于多個非線性不確定時滯奇異系統(tǒng)，或者說設計出的控制器可以使多個非線性時滯奇異系統(tǒng)共用。本文針對一組非線性奇異時滯系統(tǒng)的魯棒同時保性能控制問題展開討論。所考慮系統(tǒng)中非線性項位于有限的霍爾維茨角域且不確定的參數滿足范數有界。在狀態(tài)變時滯有界的情況下，給出同時保性能控制器以及保性能函數的定義，基于Lyapunov-Krasovskii泛函和線性矩陣不等式方法給出存在同時保性能控制器的充分條件。進而用線性矩陣不等式形式給出使系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且使得最優(yōu)保性能指標函數有最小上界控制器的充分條件。所得結果不僅保證閉環(huán)系統(tǒng)組魯棒漸近穩(wěn)定，而且使得性能指標函數上界達到最小值，即實現系統(tǒng)的優(yōu)化控制。最后，用算例結合matlab 工具箱求得可行解來說明本文方法的有效性。

1系統(tǒng)描述與預備知識

考慮下面非線性不確定Lurie時滯奇異系統(tǒng)：

(1)

其中x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u(t)∈Rm為系統(tǒng)控制輸入，E∈Rn×n是奇異陣，不失一般性，假設rankE=r

(2)

(3)

其中kij>0是標量，注意到由系統(tǒng)描述式(1)和式(3)，式(3)可等價下面的表達式：

非線性時滯系統(tǒng)組式(1)的標稱系統(tǒng)可以寫成如下形式：

(4)

由于E是奇異陣，不失一般性，可以假設

(5)

其中Ir表示r×r階的單位陣，對任何形式的E滿足rankE=r

(6)

與系統(tǒng)組式(1)相關聯的的性能指標函數取為

(7)

其中對稱正定矩陣Q，R為加權陣。

本文的目的是討論非線性不確定時滯Lurie奇異系統(tǒng)的魯棒同時保性能控制問題，首先給出該問題的定義：

定義1考慮系統(tǒng)組(1)，如果存在狀態(tài)反饋控制律

(8)

Kc∈Rm×n為狀態(tài)反饋增益陣和標量J*滿足允許的不確定性，使得閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且性能函數式(7)閉環(huán)值滿足J

引理1[17]給定適當維數的矩陣U，V，W，其中W是對稱的，則

W+UFV+VTFTUT<0

對所有滿足FTF≤I的矩陣F成立，當且僅當存在一個常數ε>0，使得

引理2[18]對于任意矩陣P，R和對稱正定矩陣Q，有以下不等式成立：

PTR+RTP≤PTQP+RTQ-1R

引理3[19]奇異系統(tǒng)

Ex′(t)=Ax(t)

的解是正則、無脈沖，當且僅當存在矩陣X滿足

XTE=ETX≥0，XTA+ATX<0

引理4[20-21]非線性時滯奇異系統(tǒng)組的標稱系統(tǒng)(4)在u(t)=0時是魯棒穩(wěn)定的，如果存在正定對稱陣N>0，和矩陣L，以及標量ε>0滿足

ELT=LET≥0

(9)

證明：由schur補性質及式(9)，容易得到ALT+LAT<0。利用引理3可知矩陣對(E,A)是正則、無脈沖，即標稱系統(tǒng)組式(4)是正則、無脈沖。系統(tǒng)組的魯棒穩(wěn)定性可由文獻[4]中定理1的證明過程推出。

2主要結果

下面給出非線性時滯標稱閉環(huán)系統(tǒng)存在同時保性能控制器的充分條件以及相關性能函數的上界。

定理1如果存在正定對稱矩陣S，可逆陣P，以及正常數ε滿足如下的矩陣不等式：

LET=ELT

(10)

(11)

其中Ac=A+BKc，i=1,2,…，m，L=P-1，矩陣P具有形式

(12)

P11∈Rr×r是正定對稱陣，P12∈Rr×(n-r)，P22∈R(n-r)×(n-r)是可逆陣。則u(t)=Kcx(t)是標稱系統(tǒng)組式(8)的同時保性能控制律，且此時相關的保性能函數有

證明：首先考慮狀態(tài)反饋控制下，標稱系統(tǒng)構成的閉環(huán)系統(tǒng)組：

(13)

下證閉環(huán)系統(tǒng)式(13)的魯棒穩(wěn)定性。

由式(5)和式(12)中矩陣E，P具有的形式可知：

PE=ETPT>0

(14)

在式(14)兩邊左乘P-1，右乘P-T，由P-1=L，得到式(9)。

取閉環(huán)系統(tǒng)式(12)的同時候選的Lyapunov-Krasovskii泛函：

因為矩陣PE和S均為正定對稱陣，所以泛函V(x(t))正定。

定義如下輔助函數：

(15)

V(x(t))沿著閉環(huán)系統(tǒng)(13)對t求導得：

由引理1和引理2可以得到下面不等式：

(16)

(17)

只有

(18)

(19)

由式(14)和(19)結合定理1可知：非線性時滯奇異閉環(huán)系統(tǒng)式(13)魯棒穩(wěn)定。

下證性能指標函數有上界：

若Γ<0，即xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)<-V′(x(t))成立。

在上式兩端對t進行0到∞積分，有：

因閉環(huán)系統(tǒng)式(13)魯棒穩(wěn)定，則V(x(∞))→0。故

即保性能函數指標有上界。

只需

即

(20)

由schur引理知：式(20)與式(11)等價，定理證畢。

下面給出帶有不確定項的非線性時滯系統(tǒng)式(1)閉環(huán)系統(tǒng)存在魯棒同時保性能控制器的充分條件并給出此時相關保性能函數的上界。

定理2如果存在正定對稱陣W，可逆矩陣X，矩陣Y以及正常數ε,ε1滿足下面矩陣不等式：

(21)

X11∈Rr×r是正定對稱陣，X12∈Rr×(n-r)，X22∈R(n-r)×(n-r)是可逆陣。進而若式(21)有一組可行解W，X，Y，ε，ε1，則非線性時滯奇異系統(tǒng)式(1)的閉環(huán)系統(tǒng)的同時魯棒保性能控制器為：u(t)=YX-Tx(t)，且閉環(huán)系統(tǒng)保性能函數的上界為

(22)

證明：在定理2中式(11)加入不確定項，并用schur引理有

(23)

利用式(2)中定義的不確定項代入式(23)，得到等價的不等式：

(24)

式(24)由引理1，存在ε1>0可以得到等價的不等式

由schur引理上式等價于

(25)

定理中式(21)提供了一組魯棒同時保性能控制器的設計參數方法，下面給出通過解決優(yōu)化問題得到使保代價函數閉環(huán)值最小最優(yōu)同時保性能控制器的設計方法。

定理3考慮非線性不確定時滯奇異系統(tǒng)(1)，如果下面的優(yōu)化問題：

(26)

證明：由E,P的具體形式可知，系統(tǒng)的保性能函數的上界式(21)等價于

(27)

Trace(VVTW-1)=Trace(VTW-1V)

因此式(27)可以得到

J*<ρ+Trace(Z)

即對式(26)求最小值也就是對式(22)求最小值上界，證畢。

3仿真算例

考慮非線性不確定時滯奇異系統(tǒng)(1)，取m=2，相關參數如下：

利用Matlab工具箱對定理3中優(yōu)化問題式(25)求解，結果如下：

ρ=-246.207 2Z=9.583 4

ε=10.315 4ε1=442.822 0

非線性時滯奇異閉環(huán)系統(tǒng)式(1)的同時保性能控制律為：

此時得到的保性能函數上界為：J*=-236.623 8，所得保性能控制律不僅保證具有所允許的不確定性的非線性時滯奇異系統(tǒng)組(1)魯棒漸近穩(wěn)定，而且確保性能函數的上界最優(yōu)。

4結論

本文研究了非線性時滯奇異系統(tǒng)的魯棒同時保性能控制問題。給出同時保性能控制器以及保性能函數的定義，基于Lyapunov-Krasovskii泛函以線性矩陣不等式形式給出同時保性能控制器存在的充分條件，并通過對具有線性矩陣不等式的凸優(yōu)化問題求解得到保性能函數上界最小值的控制器設計方法，使得閉環(huán)系統(tǒng)組魯棒穩(wěn)定且性能函數上界最優(yōu)。利用Matlab工具箱得到可行解，并通過算例驗證本文方法的可行性。

參考文獻：

[1]XU S Y,DOOREN P V,STEFAN R,et al.Robust stability and stabilization for singular systems with state delay and parameter uncertainty[J].IEEE Transaction on Automatic Control,2002,47(7):1122-1128.

[2]LU R Q,SU H Y,CHU J.A memoryless robust stabilizing controller for a class of uncertain singular time delay systems[J].Int Journal of Systems Science,2004,36(10):973-981.

[3]YU L,XU J M,HAN Q L.Optimal guaranteed cost control of singular systems with Time-delay and parameters uncertain[C]//Proc of American Control Conf,2004(5):4811-4816.

[4]LU R Q,SU H Y,CHU J.RobustH∞control for a class of uncertain Luire singular systems with time-delays[C]//Decision and Control,Proc.42ndIEEE Conf.,2003(6):5585-5590.

[5]JI X F,SU H Y,CHU J.An LMI approach to robustH∞control for uncertain singular time-delay systems[J].Journal of Control Theory andApplication,2006(4):361-366.

[6]XUE A K,WANG J Z,JIANG N,et.alH∞robust optimal guaranteed cost control with disturbance attenuation performance for uncertain systems[C]//WCICA Fifth World Congress,HangZhou,2004(1):525-529.

[7]徐勝元，楊成梧.一類不確定性廣義非線性系統(tǒng)的魯棒控制[J].控制理論與應用，2000，17(4):624-625.

[8]王巖青，姜長生.一類非線性不確定時滯系統(tǒng)的魯棒H∞控制[J].信息與控制，2005,34(2):147-151.

[9]謝麗萍，金朝永.非線性不確定時滯廣義系統(tǒng)的保性能控制[D].廣州：廣東工業(yè)大學，2015.

[10]張立俊.非線性不確定多時滯切換奇異系統(tǒng)的魯棒H∞保性能控制[J].河北科技大學學報，2015,36(2):150-156.

[11]劉樹娜，仇計清.非線性廣義系統(tǒng)的魯棒H∞保性能控制研究[D].石家莊：河北科技大學，2013.

[12]SAEKS R,MURRAY J.Fractional representation,algebraic geometry,and the simultaneous stabilization problem[C].IEEE Trans.Automat.Control,1982,27:895-903.

[13]曹永巖，孫優(yōu)賢.同時鎮(zhèn)定問題研究[J].信息與控制，1998， 27(3)：161-166.

[14]關強，何冠生，王龍，等.線性系統(tǒng)的同時鎮(zhèn)定問題[J].控制理論與應用，2011，28(1)：1-10.

[15]王德進.線性不確定系統(tǒng)族同時保代價控制[C]//proceedings of the 25thChinese control conference，Harbin，Heilongjinag，2006，698-700.

[16]LU R Q,SU H Y,WANG J Z,et.al.Robust Optimal Control for a class of Nonlinear Uncertain Singular Systems with Time-delay[C]//proceedings of the 2006 American Control Conference,Minneapolis,Minnesota,USA,2006,5020-5024.

[17]LU R Q,SU H Y,CHU J.A memoryless robust stabilizing controller for a class of uncertain singular time delay systems[J].Int Journal of Systems Science,2004,36(10):973-981.

[18]XIE L,DE SOUZA C E.RobustH∞control for linear time-invariant systems with norm-bounded uncertainty in the input matrix[J].Sys Control Letter,1990,14(5):389-396.

[19]MASUBUCHI I,SUDA N,OHARA A.LMI-Based controller synthesis:a unified formulation solution[C]//Proc American Control Conf,1995:3476-3477.

[20]戶永清.基于模糊自適應PID控制的汽油發(fā)電機逆變電源設計[J].重慶工商大學學報(自然科學版)，2014，31(7)：50-55.

[21]魯仁全，蘇宏業(yè)，薛安克，等.奇異系統(tǒng)的魯棒控制理論[M].北京：科學出版社，2008.

(責任編輯楊繼森)

本文引用格式：李瑞杰，包俊東.非線性奇異時滯系統(tǒng)的魯棒同時保性能優(yōu)化控制[J].兵器裝備工程學報，2016(4):149-154.

Citation format:LI Rui-jie, BAO Jun-dong.Robust Simultaneous Guaranteed Cost Control for Nonlinear Singular Systems with Time-Delay[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(4):149-154.

Robust Simultaneous Guaranteed Cost Control for Nonlinear Singular Systems with Time-Delay

LI Rui-jie, BAO Jun-dong

(Mathematics Science College, Inner Mongolia Normal University, Hohhot 010022, China)

Abstract:The simultaneous guaranteed cost control problem for a group of nonlinear singular systems with time-delay robust was studied. The systems under consideration were described by differential equations which were with norm-bounded and uncertain parameters. A sufficient condition for the existence of simultaneous guaranteed cost controller was derived by the approach which based on Lyapunov-Krasovskii functional and linear matrix inequality(LMI). A convex optimization problem with LMI constraints was formulated, and controller which minimizes upper bound of cost index function was designed exactly. This design method makes sure that closed-loop of singular systems with time delay is not only regular, impulse free, robust stable but also upper bound of cost index function up to minimum. Finally, a numerical example was provided to demonstrate the availability of the proposed method.

Key words:nonlinear singular systems; time-delay; uncertain; simultaneous guaranteed cost control; linear matrix inequality(LMI)

文章編號：1006-0707(2016)04-0149-06

中圖分類號：O231.2

文獻標識碼：A

doi:10.11809/scbgxb2016.04.036

作者簡介：李瑞杰(1990—)，女，碩士研究生，主要從事時滯奇異系統(tǒng)的同時鎮(zhèn)定與控制研究。

基金項目：內蒙古師范大學2014年度研究生科研創(chuàng)新基金(CXJJS14054)

收稿日期：2015-10-18；修回日期：2015-11-23

【基礎理論與應用研究】